高中数学讲义Word文档格式.docx
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元素的确定性如:
世界上最高的山
元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示
用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集（即自然数集）记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R列举法:
{a,b,c……}
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.{x,R|x-3>
2},{x|x-3>
2}
语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
（1）A是B的一部分，;
（2）A与B是同一集合。
,,,反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2（“相等”关系:
A=B（5?
5，且5?
5，则5=5）
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
如果A,B,B,C,那么A,C
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算交集并集补集类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合，A是
义于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集，由S中
的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做所有不属于A的元素
A,B的并集（记作:
组成的集合，叫做S中:
交集（记作AB子集A的补集（或余:
B（读作‘A并A（读作‘A交B’），集）
CA:
:
S,即AB=,x|xA，B’），即AB，即记作
,,且xB,（={x|xA，或xB}）（S{x|x,S,且x,A}CSA=A
韦SAA恩BBA
图
图2图1示
性:
AA=AA=A（CuB）A（CuA）
AΦ=ΦAΦ=A=Cu（AB）
质:
AB=BAAB=BA（CuA）（CuB）
,ABAAB,=Cu（AB）
,ABBABBA（CuA）=U
A（CuA）=Φ（
二、函数的有关概念
1（函数的概念:
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数（记作:
y=f（x），x?
A（其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x?
A}叫做函数的值域（
1（定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
（1）分式的分母不等于零;
（2）偶次方根的被开方数不小于零;
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）;
定义域一致（两点必须同时具备）
2（值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法
（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义:
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x?
A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x?
A）的图象（C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法
描点法:
图象变换法
常用变换方法有三种
伸缩变换
对称变换
4（区间的概念
（1）区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
2）无穷区间（
（3）区间的数轴表示（
5（映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的
任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:
AB为
从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（对应关系）:
A（原象）B（象）”对于映射f:
B来说，则应满足:
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况（
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集（
补充:
复合函数
如果y=f（u）（u?
M）,u=g（x）（x?
A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x?
A）称为f、g的复合函数。
二（函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）<
f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<
x2时，都有f（x1）,f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法:
1任取x1，x2?
D，且x1<
x2;
2作差f（x1）,f（x2）;
3变形（通常是因式分解和配方）;
4定号（即判断差f（x1）,f（x2）的正负）;
5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）（
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8（函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数（
（2）（奇函数
一般地，对于函数fx）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,
数（
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称（
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
2确定f（,x）与f（x）的关系;
3作出相应结论:
若f（,x）=f（x）或f（,x）,f（x）=0，则f（x）是偶函数;
若f（,x）=,f（x）或f（,x），f（x）=0，则f（x）是奇函数（
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）由f（-x）?
f（x）=0或f（x）,f（-x）=?
1来判定;
（3）利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有:
凑配法、待定系数法、换元法、消参法。
10（函数最大（小）值
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2利用图象求函数的最大（小）值
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值:
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）;
例题:
1.求下列函数的定义域:
2xx,,215x,12y,y,,1（）x，,33x，1?
?
2fx（）[]01，fx（）2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__
fx
（1），fx（21）,[],23，3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
xx，,,2
（1）,,2fxxx（）（12）,,,,,,2
（2）xx,fx（）3,,x4.函数，若，则=5.求下列函数的值域:
22x,[1,2]yxx,，,23yxx,，,23（）xR,?
2yxx,,,12yxx,,，，45（3）（4）
2fx（）fx（21），fxxx
（1）4,,,6.已知函数，求函数，的解析式
fx（）fx（）2（）（）34fxfxx，,,，7.已知函数满足，则=。
3fx（）fx（）x,,,（,0）x,，,[0,）fxxx（）
（1）,，8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=fx（）在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间:
222yxx,,,61yxx,，，23yxx,,，，23?
3y,,x，110.判断函数的单调性并证明你的结论（
21，x1f（x）,f（）,,f（x）21,xx11.设函数判断它的奇偶性并且求证:
（
第二章基本初等函数一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
nNx,axannn1（根式的概念:
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>
1，且?
*（
n0,0负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0，记作。
a（a,0）,nna,|a|,,nn,a（a,0）a,ann,当是奇数时，，当是偶数时，2（分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定:
m,11*na,,（a,0,m,n,N,n,1）mmnm*nmnana,a（a,0,m,n,N,n,1）a，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3（实数指数幂的运算性质
rrr，s（a,0,r,s,R）a,aa
（1）?
;
rsrsrrs（a,0,r,s,R）（a,0,r,s,R）（a）,a（ab）,aa
（2）;
（3）（
（二）指数函数及其性质
xy,a（a,0,且a,1）1、指数函数的概念:
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R（
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1（2、指数函数的图象和性质a>
10<
a<
1
66554433221111-4-2246-4-224600-1-1定义域R定义域R
值域y,0值域y,0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意:
利用函数的单调性，结合图象还可以看出:
x[f（a）,f（b）][f（b）,f（a）]f（x）,a（a,0且a,1）
（1）在[a，b]上，值域是或;
f（x）,1f（x）x,0x,R
（2）若，则;
取遍所有正数当且仅当;
xf
（1）,af（x）,a（a,0且a,1）（3）对于指数函数，总有;
二、对数函数
（一）对数
x（a,0,a,1）Na,Nxa1（对数的概念:
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，
x,logNlogNNaaa记作:
（—底数，—真数，—对数式）
a,0a,1说明:
1注意底数的限制，且;
xa,N,logN,xa?
2;
logNa?
3注意对数的书写格式（
两个重要对数:
lgN?
1常用对数:
以10为底的对数;
e,2.71828？
lnN?
2自然对数:
以无理数为底的对数的对数（指数式与对数式的互化
幂值真数
blogNaa,,N,b
底数
指数对数
（二）对数的运算性质
a,0a,1M,0N,0如果，且，，，那么:
log（MlogMlogNN）,aaa?
1?
，;
Mlog,alogMlogNNaa?
2,;
nlogMlogM（n,R）a,na?
3（
换底公式
logbclogb,alogaa,0a,1c,0c,1b,0c（，且;
，且;
）（利用换底公式推导下面的结论
1nnlogb,alogb,logbmaalogamb
（1）;
（2）（
（二）对数函数
y,logx（a,0a,1）ax1、对数函数的概念:
函数，且叫做对数函数，其中是自变量，
函数的定义域是（0，+?
）（
y,2logx2注意:
1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如:
，
xlogy,55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（
（a,0a,1）?
2对数函数对底数的限制:
，且（
2、对数函数的性质:
a>
332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数
（a,R）y,x,1、幂函数定义:
一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数（2、幂函数性质归纳（
（1）所有的幂函数在（0，+?
）都有定义并且图象都过点（1，1）;
[0,，,）,,0,,1
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数（特别地，当
0,,,1时，幂函数的图象下凸;
当时，幂函数的图象上凸;
（0,，,）,,0x（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数（在第一象限内，当从右边趋向
yyxx，,原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限
x地逼近轴正半轴（
1.已知a>
0，a0，函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是（）
log231,log27，2log2554，log332log64252722.计算:
=;
1417,,03,0.753320.064,（,），[（,2）]，16，0.018?
=
1
23.函数y=log（2x2-3x+1）的递减区间为
[a,2a]f（x）,logx（0,a,1）a4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=
1，xfxaa（）log（01）,,,且afx（）fx（）0,x1,x5.已知，
（1）求的定义域
（2）求使的的取值范围
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
y,f（x）（x,D）f（x）,0x1、函数零点的概念:
对于函数，把使成立的实数叫做函数y,f（x）（x,D）的零点。
y,f（x）f（x）,0y,f（x）2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的
x图象与轴交点的横坐标。
f（x）,0y,f（x）y,f（x）x,,即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（
3、函数零点的求法:
f（x）,0的实数根;
1（代数法）求方程
y,f（x）?
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（
4、二次函数的零点:
2y,ax，bx，c（a,0）二次函数（
2ax，bx，c,0x
（1）?
,，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（
2ax，bx，c,0x
（2）?
,，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（
2ax，bx，c,0x（3）?
,，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点（
（1）--集合与简易逻辑
一、选择题（每题3分，共54分）
M,N,,,,,,,M,0,x,N,1,2M,N,21、已知集合，若，则（）
,,,,,0,x,1,22,0,1,20,1,2A（B（C（D（不能确定
22、不等式的解集是（）（1，x）（,2x，3）,0
333,,,,,,A（B（C（xx,xx,,,,,,,222,,,,,,
3,,D（xx,,,,2,,
M,N3、已知集合，那么集合为（）,,,,M,（x,y）x，y,2,N,（x,y）x,y,4
A（B（C（,,3,,1x,3,y,,1（3,,1）
D（,,（3,,1）
b4、设不等式的解集为，则与的值为（）,,x,a,bx,1,x,2a
A（B（C（a,1,b,3a,,1,b,3a,,1,b,,3
13D（a,,b,22
x，25、不等式,0的解集是（）3,x
,,,,,A（B（C（xx,3或x,,2x,2,x,3xx,,2或x,3
,D（x3,x,,2
6、若是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（）p,qpq
A（真真B（假假C（真假D（假pqpqpqp真q
，，7、已知A与B是两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么是的（）ABA（充分不必要条件B（必要不充分条件C（充要条件D（既不充分也不必要条件x,3x，x,6,,112、8是成立的（）,,xxx,3,9212,,
A（充分不必要条件B（必要不充分条件C（充要条件D（既不充分也不必要条件
a,ba，c,b，c9、命题“若，则”的逆否命题为（）
a,ba，c,b，ca,ba，c,b，cA（若，则B（若，则
a，c,b，ca,ba，c,b，ca,bC（若，则D（若，则
,10、已知全集U且CA,2，则集合A的真子集共有（）,,,0,1,2U
A（3个B（4个C（5个D（6个
2ac,011、二次函数中，若，则其图象与轴交点个数是（）xy,ax，bx，c
A（1个B（2个C（没有交点D（无法
确定
a,23,,,xx,1312、设集合A，，那么下列关系正确的是（）
a,Aa,Aa,AA（B（C（
,D（a,A
1,2x,313、不等式的解集是（）
,,,,,xx,1x,1,x,2xx,2A（B（C（
,xx,,1或x,2D（
pq14、下列命题为“或”的形式的是（）
5,2,,,,0A（B（2是4和6的公约数C（
A,BD（
15、已知全集U，集合A,，B,，那么集合C,是,,,,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,83,4,51,3,62,7,8（）
A（B（C（A,BCB（CA）,（CB）UUU
D（（CA）,（CB）UU
116、不等式的解集是（）,1x
A（B（C（,,,,,,xx,1xx,1x0,x,1
D（,,xx,1或x,0
217、二次不等式的解集为全体实数的条件是（）ax，bx，c,0
a,0a,0a,0,,,A（B（C（,,,,,0,,0,,0,,,
a,0,D（,,,0,
18、下列命题为复合命题的是（）
A（12是6的倍数B（12比5大
222C（四边形ABCD不是矩形D（a，b,c二、填空题（每题3分，共15分）
2,,19、若不等式x,ax,0x0,x,1的解集是，则a,
220、抛物线的对称轴方程是f（x）,x,6x，1
21、已知全集U，A，B，那么A,（CB）,,,,,,,,1,2,3,4,5,1,3,2,3,4U
222、设二次函数，若（其中），则f（x）,f（x）x,xf（x）,ax，bx，c（a,0）1212
x，x12（）f等于2
2,23、已知，则实数x,,x,1,2,x
三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）
3x,2,724、解不等式
x,y25、用反证法证明:
已知，且，则中至少有一个大于1。
x,y,Rx，y,2
112a，b（,,）ax，bx，2,026、若不等式的解集为，求的值23
2,,A,B,A,,,xx,5x，6,0xmx，1,027、已知集合A，B，且，求实数的值组m成的集合。
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（2）--函数一、选择题（每题3分，共54分）
1、下列四组函数中，表示同一函数的是（）
x,12y,x,1与y,（x,1）y,x,1与y,A（B（
x,1
x2y,lgx,2与,lgC（D（y,4lgx与y,2lgx1
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