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元素的确定性如:
世界上最高的山
元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示
用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R列举法:
{a,b,c……}
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.{x,R|x-3>
2},{x|x-3>
2}
语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
,,,反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
如果A,B,B,C,那么A,C
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算交集并集补集类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是
义于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集,由S中
的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做所有不属于A的元素
A,B的并集(记作:
组成的集合,叫做S中:
交集(记作AB子集A的补集(或余:
B(读作‘A并A(读作‘A交B’),集)
CA:
:
S,即AB=,x|xA,B’),即AB,即记作
,,且xB,(={x|xA,或xB})(S{x|x,S,且x,A}CSA=A
韦SAA恩BBA
图
图2图1示
性:
AA=AA=A(CuB)A(CuA)
AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)
质:
AB=BAAB=BA(CuA)(CuB)
,ABAAB,=Cu(AB)
,ABBABBA(CuA)=U
A(CuA)=Φ(
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x),x?
A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(
1(定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
定义域一致(两点必须同时具备)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x?
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
描点法:
图象变换法
常用变换方法有三种
伸缩变换
对称变换
4(区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
2)无穷区间(
(3)区间的数轴表示(
5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的
任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为
从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”对于映射f:
B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?
A)称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1),f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1任取x1,x2?
D,且x1<
x2;
2作差f(x1),f(x2);
3变形(通常是因式分解和配方);
4定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负);
5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8(函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数(
(2)(奇函数
一般地,对于函数fx)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,
数(
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称(
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2确定f(,x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:
若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数(
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)?
f(x)=0或f(x),f(-x)=?
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
凑配法、待定系数法、换元法、消参法。
10(函数最大(小)值
1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2利用图象求函数的最大(小)值
3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
2xx,,215x,12y,y,,1()x,,33x,1?
?
2fx()[]01,fx()2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__
fx
(1),fx(21),[],23,3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
xx,,,2
(1),,2fxxx()(12),,,,,,2
(2)xx,fx()3,,x4.函数,若,则=5.求下列函数的值域:
22x,[1,2]yxx,,,23yxx,,,23()xR,?
2yxx,,,12yxx,,,,45(3)(4)
2fx()fx(21),fxxx
(1)4,,,6.已知函数,求函数,的解析式
fx()fx()2()()34fxfxx,,,,7.已知函数满足,则=。
3fx()fx()x,,,(,0)x,,,[0,)fxxx()
(1),,8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=fx()在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间:
222yxx,,,61yxx,,,23yxx,,,,23?
3y,,x,110.判断函数的单调性并证明你的结论(
21,x1f(x),f(),,f(x)21,xx11.设函数判断它的奇偶性并且求证:
(
第二章基本初等函数一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
nNx,axannn1(根式的概念:
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>
1,且?
*(
n0,0负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
a(a,0),nna,|a|,,nn,a(a,0)a,ann,当是奇数时,,当是偶数时,2(分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
m,11*na,,(a,0,m,n,N,n,1)mmnm*nmnana,a(a,0,m,n,N,n,1)a,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3(实数指数幂的运算性质
rrr,s(a,0,r,s,R)a,aa
(1)?
;
rsrsrrs(a,0,r,s,R)(a,0,r,s,R)(a),a(ab),aa
(2);
(3)(
(二)指数函数及其性质
xy,a(a,0,且a,1)1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R(
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1(2、指数函数的图象和性质a>
10<
a<
1
66554433221111-4-2246-4-224600-1-1定义域R定义域R
值域y,0值域y,0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意:
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
x[f(a),f(b)][f(b),f(a)]f(x),a(a,0且a,1)
(1)在[a,b]上,值域是或;
f(x),1f(x)x,0x,R
(2)若,则;
取遍所有正数当且仅当;
xf
(1),af(x),a(a,0且a,1)(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数
x(a,0,a,1)Na,Nxa1(对数的概念:
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,
x,logNlogNNaaa记作:
(—底数,—真数,—对数式)
a,0a,1说明:
1注意底数的限制,且;
xa,N,logN,xa?
2;
logNa?
3注意对数的书写格式(
两个重要对数:
lgN?
1常用对数:
以10为底的对数;
e,2.71828?
lnN?
2自然对数:
以无理数为底的对数的对数(指数式与对数式的互化
幂值真数
blogNaa,,N,b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
a,0a,1M,0N,0如果,且,,,那么:
log(MlogMlogNN),aaa?
1?
,;
Mlog,alogMlogNNaa?
2,;
nlogMlogM(n,R)a,na?
3(
换底公式
logbclogb,alogaa,0a,1c,0c,1b,0c(,且;
,且;
)(利用换底公式推导下面的结论
1nnlogb,alogb,logbmaalogamb
(1);
(2)(
(二)对数函数
y,logx(a,0a,1)ax1、对数函数的概念:
函数,且叫做对数函数,其中是自变量,
函数的定义域是(0,+?
)(
y,2logx2注意:
1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
,
xlogy,55都不是对数函数,而只能称其为对数型函数(
(a,0a,1)?
2对数函数对底数的限制:
,且(
2、对数函数的性质:
a>
332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
(a,R)y,x,1、幂函数定义:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数(2、幂函数性质归纳(
(1)所有的幂函数在(0,+?
)都有定义并且图象都过点(1,1);
[0,,,),,0,,1
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数(特别地,当
0,,,1时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
(0,,,),,0x(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数(在第一象限内,当从右边趋向
yyxx,,原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限
x地逼近轴正半轴(
1.已知a>
0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()
log231,log27,2log2554,log332log64252722.计算:
=;
1417,,03,0.753320.064,(,),[(,2)],16,0.018?
=
1
23.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为
[a,2a]f(x),logx(0,a,1)a4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=
1,xfxaa()log(01),,,且afx()fx()0,x1,x5.已知,
(1)求的定义域
(2)求使的的取值范围
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
y,f(x)(x,D)f(x),0x1、函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数y,f(x)(x,D)的零点。
y,f(x)f(x),0y,f(x)2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的
x图象与轴交点的横坐标。
f(x),0y,f(x)y,f(x)x,,即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点(
3、函数零点的求法:
f(x),0的实数根;
1(代数法)求方程
y,f(x)?
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点(
4、二次函数的零点:
2y,ax,bx,c(a,0)二次函数(
2ax,bx,c,0x
(1)?
,,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点(
2ax,bx,c,0x
(2)?
,,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点(
2ax,bx,c,0x(3)?
,,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点(
(1)--集合与简易逻辑
一、选择题(每题3分,共54分)
M,N,,,,,,,M,0,x,N,1,2M,N,21、已知集合,若,则()
,,,,,0,x,1,22,0,1,20,1,2A(B(C(D(不能确定
22、不等式的解集是()(1,x)(,2x,3),0
333,,,,,,A(B(C(xx,xx,,,,,,,222,,,,,,
3,,D(xx,,,,2,,
M,N3、已知集合,那么集合为(),,,,M,(x,y)x,y,2,N,(x,y)x,y,4
A(B(C(,,3,,1x,3,y,,1(3,,1)
D(,,(3,,1)
b4、设不等式的解集为,则与的值为(),,x,a,bx,1,x,2a
A(B(C(a,1,b,3a,,1,b,3a,,1,b,,3
13D(a,,b,22
x,25、不等式,0的解集是()3,x
,,,,,A(B(C(xx,3或x,,2x,2,x,3xx,,2或x,3
,D(x3,x,,2
6、若是两个简单命题,且“或”的否定是真命题,则必有()p,qpq
A(真真B(假假C(真假D(假pqpqpqp真q
,,7、已知A与B是两个命题,如果A是B的充分不必要条件,那么是的()ABA(充分不必要条件B(必要不充分条件C(充要条件D(既不充分也不必要条件x,3x,x,6,,112、8是成立的(),,xxx,3,9212,,
A(充分不必要条件B(必要不充分条件C(充要条件D(既不充分也不必要条件
a,ba,c,b,c9、命题“若,则”的逆否命题为()
a,ba,c,b,ca,ba,c,b,cA(若,则B(若,则
a,c,b,ca,ba,c,b,ca,bC(若,则D(若,则
,10、已知全集U且CA,2,则集合A的真子集共有(),,,0,1,2U
A(3个B(4个C(5个D(6个
2ac,011、二次函数中,若,则其图象与轴交点个数是()xy,ax,bx,c
A(1个B(2个C(没有交点D(无法
确定
a,23,,,xx,1312、设集合A,,那么下列关系正确的是()
a,Aa,Aa,AA(B(C(
,D(a,A
1,2x,313、不等式的解集是()
,,,,,xx,1x,1,x,2xx,2A(B(C(
,xx,,1或x,2D(
pq14、下列命题为“或”的形式的是()
5,2,,,,0A(B(2是4和6的公约数C(
A,BD(
15、已知全集U,集合A,,B,,那么集合C,是,,,,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,83,4,51,3,62,7,8()
A(B(C(A,BCB(CA),(CB)UUU
D((CA),(CB)UU
116、不等式的解集是(),1x
A(B(C(,,,,,,xx,1xx,1x0,x,1
D(,,xx,1或x,0
217、二次不等式的解集为全体实数的条件是()ax,bx,c,0
a,0a,0a,0,,,A(B(C(,,,,,0,,0,,0,,,
a,0,D(,,,0,
18、下列命题为复合命题的是()
A(12是6的倍数B(12比5大
222C(四边形ABCD不是矩形D(a,b,c二、填空题(每题3分,共15分)
2,,19、若不等式x,ax,0x0,x,1的解集是,则a,
220、抛物线的对称轴方程是f(x),x,6x,1
21、已知全集U,A,B,那么A,(CB),,,,,,,,1,2,3,4,5,1,3,2,3,4U
222、设二次函数,若(其中),则f(x),f(x)x,xf(x),ax,bx,c(a,0)1212
x,x12()f等于2
2,23、已知,则实数x,,x,1,2,x
三、解答题(第24、25两题每题7分,第26题8分,第27题9分,共31分)
3x,2,724、解不等式
x,y25、用反证法证明:
已知,且,则中至少有一个大于1。
x,y,Rx,y,2
112a,b(,,)ax,bx,2,026、若不等式的解集为,求的值23
2,,A,B,A,,,xx,5x,6,0xmx,1,027、已知集合A,B,且,求实数的值组m成的集合。
高中数学必修内容复习
(2)--函数一、选择题(每题3分,共54分)
1、下列四组函数中,表示同一函数的是()
x,12y,x,1与y,(x,1)y,x,1与y,A(B(
x,1
x2y,lgx,2与,lgC(D(y,4lgx与y,2lgx1