《影院设计的研究》doc版文档格式.docx

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加权系数法最佳座位表视角、仰角变化量与水平距离关系图一、问题重述在电影院看电影时，观众在不同座位时的满意程度是不同的，研究发现座位的满意程度主要取决于观众眼睛到屏幕上、下边缘的视线的夹角和观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，一般情况下，越大越好，而不超过，在本问题中屏幕高为，上边缘距地面高为，地板线倾角为，第一排座位和最后一排座位与屏幕的水平距离分别为，观众平均坐高为。

在以上条件下，本文要求我们解决以下三个问题：

1.求地板线倾角时，最佳座位应该设计在什么地方。

2.求地板线倾角（一般不超过）为多少时，所有观众的平均满意程度最大。

3.地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

二、问题假设1.忽略影院内音效、光效、座位舒适度以及观众自身等一些其他因素对满意度的影响。

2.满意度只受视角和仰角的影响，且满意度随视角的增大而增大，随仰角的减小而增大。

3.屏幕的位置和大小不发生变化。

4.同一排观众的满意度相同。

5.影院内所有座位高度相同且相邻两排座位间的间距相等，取为0.86.影院地板呈阶梯状。

7.在研究中可将座位看作点来处理。

三、符号说明符号名称单位视角度仰角度屏幕高度米屏幕上边缘距地面的高米地板线倾角度第一排与屏幕水平距离米最后一排与屏幕水平距离米平均坐高米第种模型的满意度视角满意度仰角满意度视角满意度权重仰角满意度权重最大排数排数模型的平均满意度四、问题分析与模型的建立与求解

（一）问题一本问题要求我们在地板线倾角时，求出最佳座位的位置。

由题可知影院的第一排到最后一排的水平距离为14.5，每排之间的平均距离为，并且座位的排数必须为整数，因此得出地板线上的座位的总排数为排，座位的排数，且为整数。

影院剖面示意图如下：

图1.影院剖面示意图我们以为原点，水平方向为轴，垂直方向为轴建立平面直角坐标系，取任意一座位点，其坐标为，因为影院内每排座位间有一定的间距，所以为离散的点且相差为0.8，设第排座位处横坐标为。

由此我们可知:

则又由图1.可知将此式带入得：

根据题意我们可知最佳位置即为观众的满意程度最高的位置，而座位的满意程度受视角和仰角的影响，因此我们需建立一个满意度关于和的关系式。

因为视角为观众眼睛到屏幕上下边缘视线的夹角，且越大越好，因此我们设视角满意度为;

又因为仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线的夹角，太大会使人的头部过分上扬，引起不舒适感，在此我们设仰角满意度为。

根据不同观众对视角满意度和仰角满意度的需求不同，视角满意度和仰角满意度在满意度中的权重为、则有.在这里主观规定取三种权重，建立三种模型分别为：

模型一：

当观众对视角与仰角的满意度要求相同时，我们取,则都是的函数，则的函数，整理后得，我们将问题转化为在离散变化时，求不同值对应的满意程度，其中使最大的即为最佳位置。

我们应用软件算出最佳距离，，，算得即为第四排，此时最大满意度为并得出图形2：

图2.满意度与水平距离的关系图在此种模型下，第四排为最佳位置，由图2.可发现在第四排前后其满意程度均略有下降，并且我们发现当观众对视角和仰角要求相同时，位置靠后的满意度略低于位置靠前的满意度。

因此建议大家若对视角和仰角的要求相同时，坐在稍靠前的位置效果会更好。

模型二：

当观众对视角的满意度要求大于对仰角的满意度要求时，我们取，则同理的函数，整理后得我们应用软件算出最佳距离，，，算得即为第三排，此时最大满意度为。

得出图形3：

图3.满意程度与水平距离的关系图在此种模型中，即当视角满意度权重大于仰角满意度权重时，第三排为最佳位置，在第三排前后满意度均有下降，因为前两排中视角虽大但其仰角也很大，会造成一定的不舒适感，在第三排以后虽然仰角很小但其视角也很小，影响了观影效果。

并且由图我们不难看出在最佳位置前面的满意度略高于最佳位置后面的满意度，因此建议大家在更注重视角影响时应坐在稍靠前面的位置。

模型三：

当观众对视角的满意度要求小于对仰角的满意度要求时我们取，则可知的函数，整理后得我们应用软件算出最佳距离，，，算得即为第六排，此时最大满意度为。

得出图形4：

图4.满意度与水平距离的关系图由计算结果可知：

当人们对仰角的满意度要求高于对视角的满意度要求时，可以选择靠后的位置，并且由图可知在这种情况下其后面几排满意度变化不是很大。

（二）问题二本问题要求我们给出观众平均满意度最大时的地板线倾角。

由问题一可知，观众的视角满意度为，仰角满意度为，通过第一问的计算我们发现当给视角满意度和仰角满意度加不同权重时，其最佳座位、满意度均没有太大差别。

并且根据人体学知识我们知道，人们在看电影时，视角大可以达到更好的观影效果，在仰角不太大的情况下，人们可以通过调整颈部的扭动角度来减小身体的不适感，特别是电影内容比较精彩时,人们会忽略颈部的不适感。

而且在一般情况下,当仰角不超过时,短时间内人们是不会感觉不舒适的。

也就是说,视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更为重要。

基于此，我们取视角满意度的权重为0.6，取仰角满意度的权重为0.4，则观众的满意度为,由问题一可知，都是的函数，则的函数，整理后得，则此时平均满意度为运用软件求得当满意度最大时的角为，此时平均满意度。

在研究过程中，我们绘制出了平均满意度与地板线倾角的关系图像如下：

图5.平均满意度与地板线倾角的关系图从图5.中我们发现观众的平均满意度与地板线倾角呈线性关系，为进一步方便观众在电影院观影时选择最满意的位置，我们给出了普通影院的地板线倾角与最佳排数的关系如表1.：

表1.地板线倾角与最佳排数地板线倾角最佳座位位置最佳座位所在排满意度7.5140.6242090467.5140.6431675437.5140.6634098097.540.6848669077.4740.707334107从上表我们可以发现，不同地板线倾角对应的最佳座位相差不大，集中在第四排，即地板线倾角对最佳座位的影响很小。

（三）问题三本问题要求我们讨论地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意度。

在此问的讨论中我们取地板线倾角为，证明得出在同一水平位置视角随着的增大而增大，仰角随着的增大而减小，即在一定范围内，可以通过提高地板线的高度使视角增大和仰角减小，来提高观众满意度，以下我们通过图6.给出证明过程。

图6.证明图为人在F点的视角，为人在点G的视角，而，则,即证明了视角随着的增大而增大。

为人在F点的仰角，为人在G点的仰角，由图6.可知，,即证明了仰角随着的增大而减小。

根据常识我们知道仰角太大观众会感觉不适，一般要求不超过，我们进一步讨论了仰角的正切值与水平距离的关系，其图像如下：

图7.仰角正切值与水平距离的关系图从图7.我们可以看出仰角随着水平距离的增大而减小。

同时我们还得到了视角正切值与水平距离的关系图如下：

图8.视角正切值与水平距离的关系图从图8.可以看出视角随水平距离的增大而减小。

综合考虑视角与仰角对满意度的影响，我们取为极限值，对地板线形状作出改进。

我们先利用软件求出最佳座位点：

解得，，，即为第二排，而在此时第一排的仰角大于，因此我们决定提高第一排的高度来减小其仰角的大小。

由题可知，当，第一排的水平距离时，计算出竖直距离，又因为人的坐高为，所以地板线距地面的高度为，从第一排起作水平直线与原地板线交于某一点，从第一排至交点的长度为，则可知交点处为第九排，但不同位置地板线提高高度后观众的仰角和视角的变化量是不同的，为此我们作出了当地板线提高1.3米时视角变化量、仰角变化量与水平距离的关系图：

图9.每个位置处地板线提高1.3时对应的视角变化量与水平距离的关系图图10.每个位置处地板线提高时仰角变化量与水平距离关系图由以上两图我们不难发现，当地板线提高时，前面几排的视角变化量很大，后面几排的视角变化量很小，并且提高地板线需要耗费大量的人力、物力和财力，不符合影院的经济效益。

因此我们决定在设计时只提高前几排的地板线高度而保持后面的地板线高度不变，这样既节省了资源又提高了观众的满意度。

因此我们将分界点定为第九排，将第一排升高，将第一排与第九排之间地板线设计成水平直线，这保证了每排观众的仰角均小于，而视角均比原来大，提高了观众的满意度。

考虑到第一排地板线的高度需提高1.3，存在一定的安全问题，因此在实际中我们建议影院从地面到第一排用阶梯来过渡，给予观众一定的安全感。

具体的地板线改造图如下：

图11.地板线改造图五、模型的优化与检验

（1）我们计算出了在不同地板线倾角的条件下最佳座位的位置，并给出了最佳座表，即表1.，由表我们不难发现不同地板线倾角时最佳座位均在第四排，因此我们建议观众在观影时选择第四排，这样满意度最大。

（2我们发现仰角会给观众带来不舒适感，为进一步方便观众，建议影院在我们建立的模型的基础上，改良一下座椅，如图12.所示：

图12.椅子改良图使用这样的座椅，可以减小观众观影时仰角造成的不舒适度，有利于提高观众满意度。

六、模型评价1.我们在考虑最佳座位时分别建立了三种权重情况并进行了相关的计算和分析。

2.该模型也可用于剧院舞厅、会议室和教室的设计，提供观众和学生的满意度。

3.我们在考虑最佳座位时未考虑影院内音效、光效、座位的随机选择以及观众自身因素的影响。

参考文献[1]姜启源，谢金星.数学建模（第四版）[M].北京：

高等教育出版社.[2]李永明，刘自山.影院座位设计的优化模型[J].四川理工学院学报，2010,23（3）：

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