福建省龙岩市届高三毕业班教学质量检查数学文试题含答案.docx

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福建省龙岩市届高三毕业班教学质量检查数学文试题含答案

福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查

文科数学

参考公式：

样本数据的标准差锥体体积公式

其中为样本平均数其中为底面面积，为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

，

其中为底面面积，为高其中为球的半径

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则

A．B．C．D.

2．复数（是虚数单位），则的值是

A．B．1C．D．

3．已知为第二象限角，，则的值为

A．B．C．D．

4．如右图是一个算法的程序框图，则输出的结果为

A．B．

C．D．

5．高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽

样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31

号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的

座号是

A．15B．16C．17D．18

6．若函数，则函数的零点个数是

A．B．C．D．

7．已知变量、满足约束条件，则的最小值为

A．0B．C．D．

8．在△中，“”是“△为钝角三角形”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9．若双曲线的渐近线方程式，则双曲线的离心率为

A．B．C．D．

10．向量，，则的最小值是

A．B．C．D．

11．函数的图象大致为

ABCD

12．已知，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则的取值范围是

A．B．C．D．

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：

（本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置上）

13．圆的圆心到抛物线的准线的距离为．

14．已知圆台的母线长为，俯视图是半径分别为和的同心圆，则其侧视图的面积为．

15．在区间上随机取两个数和，则关于的方程有实根的概率为．

16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过的最大整数，如，，已知，令，且，则．

三、解答题：

（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在偶函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点，在棱上，且．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）

为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况，对某班名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计，得到如下的频率分布表与直方图：

组别

锻炼次数

频数（人）

频率

1

2

0．04

2

11

0．22

3

16

4

15

0．30

5

6

2

0．04

合计

1．00

（Ⅰ）求频率分布表中、及频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）求参加锻炼次数的众数（直接写出答案，不要求计算过程）；

（Ⅲ）从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人，求至少一人参加锻炼的次数在区间内的概率．

20．（本小题满分12分）

已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

（Ⅰ）求的值及图象的对称中心；

（Ⅱ）在中，若，且，求面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

设椭圆的离心率为，过点任作一条弦交椭圆于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为直线上任意一点，分别为直线的斜率．是否存在实数，使恒成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）设，在函数的图象上取两定点，，设直线的斜率为，证明：

存在，使成立．

福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查

文科数学答案

一、选择题：

1-5.BDDBC6-10.CAACB11-12.AD

二、填空题：

13．14．15．16．

三、解答题：

（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

考查意图：

本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法，考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等．

解：

（Ⅰ）∵函数是偶函数，∴………………………………………2分

∴

∵点在函数的图象上，∴……………………………………3分

当时，………………………………………4分

当时，也符合上式………………………………………………………5分

所以……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

所以………………………12分

18．（本小题满分12分）

考查意图：

本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：

∵在直三棱柱中，平面

∴，即……………………………………………………………2分

又∵，，∴平面…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

∵，，∴

∵、分别是棱、的中点，，

∴，………………………………………………8分

又∵平面，∴

∴三棱锥的体积为……………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

考查意图：

本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识，考查运算求解能力、推理能力，考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法．满分12分．

解：

（I）……………………………………………………………1分

又∵……………………………………………………………3分

∴……………………………………………………………4分

（II）众数为12……………………………………………………………6分

（III）参加次数不少于18次的学生共有：

人

设在内的4人为：

A、B、C、D，在内的2人为、，在这6人中

任取2人共有：

AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种，8分

其中至少一人参加锻炼的次数在区间内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种．……………………………………………………………10分

答：

所求的概率为……………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

考查意图：

本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．满分12分．

（Ⅰ）解：

依题意，的周期为，………………………………………………1分

则………………………………………………………………………………2分

∴

令，得……………………………………………………4分

∴的对称中心为………………………………………………5分

（Ⅱ）（法一）在中，由，得

……………………………………6分

由正弦定理得

，………………7分

∴的面积为……………………………………8分

……11分

∵，∴，∴当时，

∴的面积的最大值为．…………………………………………12分

（法二）在中，由，得

……………………………………6分

由余弦定理得，……………………………………7分

∴……………………………………………………………………8分

∵（当且仅当时，等号成立）

∴，∴…………………………………………………………10分

∴……………………………11分

（当且仅当时等号成立）

∴的面积的最大值为．……………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

命题意图：

本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．满分12分.

解：

（Ⅰ）依题意，，∴

∴椭圆方程为．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）（法一）∵点在直线上，∴可设点

①当直线垂直于轴时，可求

∴，

∴，此时…………………………………………………………6分

②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得

设，，则，…………………………7分

∴

………10分

∴，∴………………………………………………………………11分

综上知，存在实数，使恒成立。

………………………………12分

（法二）设过点的直线方程为，…………………………………………5分

代入椭圆方程，整理得……………………6分

设，，则，……………………7分

设点，

则

…………………………………………………………10分

又∵，……………………………………………………………………11分

∴存在，使恒成立．……………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

考查意图：

本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．满分14分．

（Ⅰ）当时，，………………………………………………1分

∵点在函数图象上

∴在点的切线斜率为……………………………………………………2分

∴所求切线方程为.……………………………………………………3分

（Ⅱ）∵

∴……………………4分

令

当时，由，则，解得……………………5分

1当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；

……………………6分

②当时，

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增；

时，，此时，函数单调递减；……………………7分

③当时，由于

时，，此时，函数单调递增；

时，，此时，函数单调递减；

综上所述：

当时，函数在上单调递减；

当时，函数在单调递减，在单调递增，在上单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减．……………………9分

（Ⅲ）由已知得，………………10分

令，

则

………………………………12分

令，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增

故当时，，即……………………………………13分

从而，，所以，

因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，使，所以成立．………………………………………………………14分