高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系Word格式.docx
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经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：
经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
?
平行?
?
共面直线
?
相交?
异面直线：
不同在任何一个平面内
（2）异面直线所成的角，b，作直线b是两条异面直线，经过空间任一点Oa′∥ab′∥，①定义：
设a所成的角，′所成的锐角或直角叫做异面直线ba把′与ab（）或夹角．
1/11
π?
0，?
.
②范围：
2?
3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．平行公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6．等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补．
两种方法
异面直线的判定方法：
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线
是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线
异面．
三个作用
（1）公理1的作用：
①检验平面；
②判断直线在平面内；
③由直线在平面内判断
直线上的点在平面内．
（2）公理2的作用：
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的
方法．
（3）公理3的作用：
①判定两平面相交；
②作两平面相交的交线；
③证明多点共
线．
双基自测
1．（人教A版教材习题改编）下列命题是真命题的是（）．
A．空间中不同三点确定一个平面
B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C．一条直线和一个点能确定一个平面
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D．梯形一定是平面图形
解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；
空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；
经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；
故D正确．
答案D
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）．
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
D．不可能是相交直线C．不可能是平行直线
解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.
答案C
3．（2011·
浙江）下列命题中错误的是（）．
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析对于D,若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．
4．（2011·
武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）．
A．12对B．24对C．36对D．48对
解析
3/11
如图所示，与AB异面的直线有BC；
CC，AD，DD四条，因为各棱具有相11111112×
4＝12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线同的位置且正方体共有
2．对24（）B
答案部分．5．两个不重合的平面可以把空间分成________4或答案3
考向一平面的基本性质的中点，C、Q、R分别是AB、ADB、B【例1】?
正方体ABCDACD中，P111111）、R的截面图形是（．、那么，正方体的过PQ．六边形DB．四边形C．五边形．三角形A
、R的截面要和正方体的每个面有交线．][审题视点过正方体棱上的点P、Q解析
如图所示，作RG∥PQ交CD于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交11BB于E，连接PE、RE为截面的部分外形．1同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD于F，连接QF，FG.1∴截面为六边形PQFGRE.
画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更4/11
快的确定交线的位置．
【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．
在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；
③中可证四边形PQRS为平行四边形；
②中如图所示取AA与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正1六边形．
答案①②③
考向二异面直线
【例2】?
如图所示，
正方体ABCDABCD中，M、N分别是AB、BC的中点．问：
11111111
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）DB和CC是否是异面直线？
说明理由．11[审题视点]第
（1）问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；
第
（2）问可采用反证法．
解
5/11
（1）不是异面直线．理由如下：
连接MN、AC、AC.
11∵M、N分别是AB、BC的中点，1111∴MN∥AC.又∵AA綉CC，1111∴AACC为平行四边形，11∴AC∥AC，∴MN∥AC，11∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
（2）是异面直线．证明如下：
∵ABCDABCD是正方体，1111∴B、C、C、D不共面．11假设DB与CC不是异面直线，11则存在平面α，使DB?
平面α，CC?
平面α，11∴D，B、C、C∈α，与ABCDABCD是正方体矛盾．111111∴假设不成立，即DB与CC是异面直线．11
证明两直线为异面直线的方法
（1）定义法（不易操作）．
先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．
解析如题干图
（1）中，直线GH∥MN；
6/11
图
（2）中，G、H、N三点共面，但M?
面GHN，因此直线GH与MN异面；
图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图（4）中，G、M、N共面，但H?
面GMN，
∴GH与MN异面．所以图
（2）、（4）中GH与MN异面．
答案
（2）（4）
考向三异面直线所成的角
【例3】?
（2011·
宁波调研）正方体ABCDABCD中．1111
（1）求AC与AD所成角的大小；
1
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求AC与EF所成角的大小．11[审题视点]
（1）平移AD到BC，找出AC与AD所成的角，再计算．
（2）可证AC11111与EF垂直．
（1）如图所示，连接AB，BC，由ABCDABCD是正方体，111111易知AD∥BC，从而BC与AC所成的角就是AC与AD所成的角．1111∵AB＝AC＝BC，11∴∠BCA＝60°
1即AD与AC所成的角为60°
1
（2）如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDABCD中，1111AC⊥BD，AC∥AC，117/11
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥AC.
11即AC与EF所成的角为90°
11
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；
利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；
补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：
直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
（1）证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
（2）解
如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
1在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°
，即异面直线EF与BD所
2成的角为45°
考向四点共线、点共面、线共点的证明
【例4】?
正方体
8/11
ABCDABCD中，E、F分别是AB和AA的中点．求证：
11111
（1）E、C、D、F四点共面；
1
（2）CE、DF、DA三线共点．1[审题视点]
（1）由EF∥CD可得；
1
（2）先证CE与DF相交于P，再证P∈AD.1证明
（1）如图，连接EF，CD，AB.11
∵E、F分别是AB、AA的中点，1∴EF∥BA.
1又AB∥DC，∴EF∥CD，111∴E、C、D、F四点共面．1
（2）∵EF∥CD，EF＜CD，11∴CE与DF必相交，设交点为P，1则由P∈CE，CE?
平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADDA.
11又平面ABCD∩平面ADDA＝DA，11∴P∈直线DA，∴CE、DF、DA三线共点．1
要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．
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【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中CFCG2点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：
三条直线EF、GH、
3CBCDAC交于一点．
证明∵E、H分别为边AB、AD的中点，
1CFCG2∴EH綉BD，而＝＝，
3CDCB2FG2∴＝，且FG∥BD.
3BD∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.
∵P∈直线EF，EF?
平面ABC，∴P∈平面ABC.
同理，P∈平面ADC.
∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．
阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误
【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．
【示例】?
四川）l，l，l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是312（）．
A．l⊥l，l⊥l?
l∥l321312B．l⊥l，l∥l?
l⊥l312312C．l∥l∥l?
l，l，l共面332112D．l，l，l共点?
l，l，l共面31231210/11
受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．错因C乙同学：
甲同学：
A实录
D.
丙同学：
错；
两平行线A正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故正确；
相互平行B中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，的三条直错；
共点的三条直线不一定共面，C线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错．如三棱锥的三条侧棱，故DB
答案）
江西【试一试】（2010·
所成的角都AAAD，l与棱AB，作直线过正方体ABCDABCD的顶点Al，使11111）．l可以作（相等，这样的直线2条B．A．1条
条4条D．C．3所成的角都AA、AD，AC，显然AC与棱AB[尝试解答]如图，连结体对角线11相等，所成角的正切值都为2.联想正方体的
其他体对角线，如连结BD，则BD与棱BC、BA、BB所成的角都相等，111∵BB∥AA，BC∥AD，11∴体对角线BD与棱AB、AD、AA所成的角都相等，同理，体对角线AC、DB1111也与棱AB、AD、AA所成的角都相等，过A点分别作BD、AC、DB的平行线1111都满足题意，故这样的直线l可以作4条．
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