文科一轮学案84空间中的平行关系.docx
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文科一轮学案84空间中的平行关系
学案8.4空间中的平行关系
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平行直线
平行公理：
过直线外一点一条直线和已知直线平行.
基本性质4：
平行于同一条直线的两条直线.
等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别，并且，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
结论
a∥α
b∥α
3.平面与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（ ）
（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.（ ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ ）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ ）
（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（ ）
（6）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（ ）
考点探究案典例剖析考点突破
考点一直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1
如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
（1）求证：
AP∥平面BEF；
（2）求证：
GH∥平面PAD.
变式训练：
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，AB＝1，求证：
CE∥平面PAB.
考点二平面与平面平行的判定与性质
例3
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：
HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：
平面A1BD1∥平面AC1D.
变式训练：
如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点.求证：
平面EFG∥平面ABC.
考点三：
平行关系的综合应用
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图.
（1）求证：
平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.
变式训练：
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝
a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
当堂达标：
1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
2.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有（ ）
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
3.（教材改编）下列命题中正确的是（ ）
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
4.（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.
5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
巩固提高案日积月累提高自我
1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（ ）
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面
2.（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
3.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）
A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为（ ）
A.3B.2C.1D.0
5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
7.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.
8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
9.
如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.
求证：
（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
10.
如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H.
学案8.4空间中的平行关系
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平行直线
平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
基本性质4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
3.平面与平面平行
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（ × ）
（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.（ × ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ × ）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ √ ）
（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（ × ）
（6）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（ × ）
考点探究案典例剖析考点突破
考点一直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1
如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
（1）求证：
AP∥平面BEF；
（2）求证：
GH∥平面PAD.
证明
（1）连接EC，
∵AD∥BC，BC＝
AD，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
（2）连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 （2014·安徽）
如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
（1）证明：
GH∥EF；
（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
（1）证明 因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
（2）解
如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝
DB＝
OB，即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK＝
PO，
即G是PB的中点，且GH＝
BC＝4.
由已知可得OB＝4
，
PO＝
＝
＝6，
所以GK＝3.
故四边形GEFH的面积
S＝
·GK＝
×3＝18.
变式训练：
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，AB＝1，求证：
CE∥平面PAB.
证明 由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2
.
如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，
因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
所以C为ND的中点，
又因为E为PD的中点，所以EC∥PN，
因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
考点二平面与平面平行的判定与性质
例3
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明
（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：
HD∥平面A1B1BA.
证明
如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明
如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
变式训练：
如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点.求证：
平面EFG∥平面ABC.
证明 因为AS＝AB，AF⊥SB，
所以F是SB的中点.
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB，
又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC，
又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
考点三：
平行关系的综合应用
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图.
（1）求证：
平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.
（1）证明 因为在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理，B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）解 如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1⊂平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，
则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，
所以EO1∥C1F，
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，
所以A1E＝EF＝FC.
变式训练：
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝
a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解 如图所示，在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，
连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，
∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
∴FE∥AG.
又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
∴F即为所求的点.
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB.
∴PB⊥BC.
∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x则PC＝
，
由PB·BC＝BE·PC得：
·a＝
·
a，
∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝
a.
又CE＝
＝
a，
∴
＝
，∴
＝
＝
，
即GE＝
CD＝
a，∴AF＝
a.
即AF＝
AB.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.
当堂达标：
1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
答案 D
解析 当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.
2.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有（ ）
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故选C.
3.（教材改编）下列命题中正确的是（ ）
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.
4.（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，
则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案 6
解析 各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.
巩固提高案日积月累提高自我
1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（ ）
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面
答案 D
解析 充分性：
A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
2.（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案 D
解析 对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.
3.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）
A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
答案 B
解析 l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错.故选B.
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为（ ）
A.3B.2C.1D.0
答案 C
解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；②中l与m也可能异面；③中
⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确.
5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案 B
解析 ①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP（如图）.
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
答案 平面ABD与平面ABC
解析
如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
7.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.
答案
a
解析 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP＝
，
∴CQ＝
，从而DP＝DQ＝
，∴PQ＝
a.
8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案 M∈线段FH
解析 因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.（答案不唯一）
9.
如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.
求证：
（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
证明
（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
10.
如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H.
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