卷积的意义Word文件下载.docx
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这三十个大板子怎么不好使捏？
……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！
）挨板子（脉冲！
）以后，会有什么表现（输出！
）？
——费话，疼呗！
——我问的是：
会有什么表现？
——看疼到啥程度。
像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；
如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼
（输出1）；
揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；
揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；
揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉
强哼出声来（输出1）；
揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！
这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。
为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；
如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；
等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。
什么是响应？
人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。
这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ（第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数）
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：
y（t）=∫T（τ）H（t-τ）
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。
除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。
其实除人之外，很多事情也遵循此道。
好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！
卷积及拉普拉斯变换的通俗解释–对于我这类没学过信号系统的人来说太需要了
卷积（convolution,另一个通用名称是德文的Faltung）的名称由来，是在于当初定义它时，定义成integ（f1（v）*f2（t-v））dv，积分区间在0到t之间。
举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫”卷积”了。
比方说在（0，100）间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，那么看到的是f1（0）和f2（100）相乘，f1
（1）和f2（99）相乘，f1
（2）和f2（98）相乘，………等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。
所以人们就叫它”回卷积分”，或者”卷积”了。
为了理解”卷积”的物理意义，不妨将那个问题”相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。
这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。
将这个问题表述成这样一个问题：
一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。
假设信号函数为f,响应函数为g。
f不仅是时间的函数（信号时有时无），还是频率的函数（就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小）；
g也是时间的函数（有时候有反应，有时候没反应），同时也是频率的函数（不同的波长其响应程度不一样）。
那我们要看某一时刻t的响应信号，该怎么办呢？
这就需要卷积了。
要看某一时刻t的响应信号，自然是看下面两点：
1。
你信号来的时候正赶上人家”系统”的响应时间段吗？
2。
就算赶上系统响应时间段，响应有多少？
响应不响应主要是看f和g两个函数有没有交叠；
响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。
响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。
”交叠”体现在f（t1）和g（t-t1）上，g之所以是”（t-t1）”就是看两个函数错开多少。
由于f和g两个函数都有一定的带宽分布（假若不用开头提到的”表述变化”就是都有一定的时间带宽分布），这个信号响应是在一定”范围”内广泛响应的。
算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。
积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；
但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。
这就是卷积及其物理意义啊。
并成一句话来说，就是看一个时有时无（当然作为特例也可以永恒存在）的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。
*********拉普拉斯*********
拉普拉斯（1729-1827）是法国数学家，天文学家，物理学家。
他提出拉普拉斯变换（LaplaceTransform）的目的是想要解决他当时研究的牛顿引力场和太阳系的问题中涉及的积分微分方程。
拉普拉斯变换其实是一个数学上的简便算法；
想要了解其”物理”意义—如果有的话—请看我举这样一个例子：
问题：
请计算十万乘以一千万。
对于没学过指数的人，就只会直接相乘；
对于学过指数的人，知道不过是把乘数和被乘数表达成指数形式后，两个指数相加就行了；
如果要问究竟是多少，把指数转回来就是。
“拉普拉斯变换”就相当于上述例子中把数转换成”指数”的过程；
进行了拉普拉斯变换之后，复杂的微分方程（对应于上例中”复杂”的乘法）就变成了简单的代数方程，就象上例中”复杂”的乘法变成了简单的加减法。
再把简单的代数方程的解反变换回去（就象把指数重新转换会一般的数一样），就解决了原来那个复杂的微分方程。
所以要说拉普拉斯变换真有”物理意义”的话，其物理意义就相当于人们把一般的有理数用指数形式表达一样。
另外说两句题外话：
1。
拉普拉斯变换之所以现在在电路中广泛应有，根本原因是电路中也广泛涉及了微分方程。
拉普拉斯变换与Z变换当然有紧密联系；
其本质区别在于拉氏变换处理的是时间上连续的问题，Z变换处理的是时间上分立的问题。
[有奖讨论]卷积运算的实际意义是什么？
卷积运算是信号处理常规的一个运算过程。
作为一个重要的基础，请大家讨论，也就是从概念，应用方向等去谈谈它的意义。
信号处理对很多朋友来说可能比较难，作为基础，我们不能小看它的作用。
欢迎参与讨论。
:
）
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一个我觉得比较精彩的发言。
。
开个头！
从数学的角度分析：
信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间，通常就是时域到频域，（还有z域，s域），信号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念），大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不变的映射）。
前面说的意思就是信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应，那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现，那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。
longdi发表于2006-11-1616:
11
对于卷积，下面是我的理解，如果错误，敬请指出，谢谢！
两个时域上的函数做卷积可以这样理解：
一个函数表征一个线性系统的
冲激响应，这个系统可以是时变的，但一定要是线性的；
另一个函数表征
输入到该系统的信号；
卷积的结果表征线性系统的输出。
对于非线性系统，
输出信号无法表示为输入信号与系统冲激响应的卷积，所以有些教材是叫作
信号与线性系统，强调系统的线性。
两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：
输出表征做卷积的两个函数
在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y（tao）=x（t-tao）
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度就越好。
gable发表于2006-11-2412:
13
前两天看MATLAB教程中多项式相乘时候忽然想到一点，谈一下自己的看法，有不足之处还请高人指点。
拿离散信号开刀
卷积的表达式为y（n）=∑x（k）×
h（n-k）或y（n）=∑x（n-k）×
h（k）
这里的n-k表示h从负无穷移动到正无穷，每移动一个单位都同x相乘，所有的乘积项相加后就得到了y。
再看一下多项式的乘法
（……x^2+x+1……）×
（x^2+3x-3）
=（……x^2+x+1……）×
x^2+（……x^2+x+1……）×
3x-（……x^2+x+1……）×
3
由于多项式是固定的，少了反折和平移，但我觉得这样更容易理解卷积的数学表达式
物理意义就是：
任何一个信号都可以表示成单位冲击信号之和。
当这个信号通过一个线性系统时，若系统的冲击响应已知，则只需将表示该信号的每一个单位冲击信号在不同时延后的冲击响应叠加，总和就是输出信号。
liukeke498发表于2006-12-1119:
48
很赞同楼上说的多项式的乘法的例子，从时域和z域的关系也可以理解。
两个多项式相乘就是
（a（0）+a
（1）*z^（-1）+a
（2）*z^（-2）......+a（p）z^（-p））*（b（0）+b
（1）*z^（-1）+b
（2）*z^（-2）+....+b（q）z^（-q））=c（0）+c
（1）z^（-1）+c
（2）z^（-2）+....+c（p+q）z^（p+q）
z域的乘积对应时域的卷积，因此乘积后的系数序列（c（0）,c
（1）....c（p+q））即为序列a（0）....a（p）与序列b（0）...b（q）进行线性卷积而得到
jumpyists发表于2006-12-2913:
44
一点感想
这话好像有问题？
相关函数和卷积是不一样的，翻翻信号与系统吧
根据我个人的理解卷积运算之所以对于线形非时变系统如此重要
其原因有两点：
1一个线性非时变系统对于单频正弦信号或复指信号的响应仍然是单频正弦信号或复指信号只是幅度上进行了
加权，可见线性非时变系统对基本信号的响应如此简单就使人想到能否将对复杂信号的响应转化为对简单
信号的响应的求解？
2傅立叶级数傅立叶变换就告诉我们如何将一个信号分解为基本信号
所以对一个信号的响应求解的过程为：
首先将其分解为基本信号
然后对每个基本信号求响应
而卷积则正是这一过程的一个综合表示
所以卷积是如此的重要！
！
还有一个很重要的原因是实际物理系统通常都可以近似为线性非时变系统或几个线性非时变系统的互联
所以所以卷积更更更重要了！
dragonkiss发表于2006-12-2915:
22
[quote]原帖由[i]jumpyists[/i]于2006-12-2913:
44发表
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度...[/quote]
这个问题可能是各人理解的不同，可以和原来的朋友PM沟通一下。
）
longdi发表于2007-1-123:
41
我说的相关不完全是严格定义上的相关，不过我觉得可以近似
那样理解卷积。
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度...[/quote]
ycx198发表于2007-1-221:
01
我比较赞同卷积的相关性的作用在通信系统中的接收机部分MF匹配滤波器等就是本质上的相关
匹配滤波器最简单的形式就是原信号反转移位相乘积分得到的近似＝相关
相关性越好得到的信号越强这个我们有一次大作业做的做地做到呕吐呵呵
还有解调中一些东西本质就是相关有机会再说哈偶正在研究这个聂呵呵
longdi发表于2007-1-1921:
了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度...
相关函数和卷积是不一样的[/quote]
程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》（这本书本网站有的）
Page240有这样的一段话：
“这说明，尽管褶积与相关是从研究不同的问题提出来的，但是二者的实质是相同的，
相关是一种褶积，褶积也是一种相关。
”
xiaomifeng134发表于2007-1-2522:
52
对于一f（t），把要考虑的从0到t的时间间隔等分成宽度为t1的n个小间隔，各脉冲的宽度都等于着间隔的宽度t1，各脉冲的高度分别等于他左边所在时间[（k-1）*t1]的函数值。
当t1甚小时这些脉冲分别用一些冲激函数来近似地表示，各冲激函数的位置就是它所代表的脉冲左侧边所在的时间，各冲激函数的强度就是它所代表的脉冲的面积。
此时f（t）=f（0）*t1*delta（t）+...+f（k*t1）*t1*delta（t-k*t1）+...1=<
k<
=n,而对于一冲激响应为h（t）的线性系统，当输入f（t）时，输出为y（t）=f（0）*t1*h（t）+...+f（k*t1）*t1*h（t-k*t1）+...当t1趋于零时，y（t）就可表示为f（t）与h（t）的卷积。
longdi发表于2007-2-2121:
49
另外，关于相关和卷积的关系，我前面也说了自己的观点，
后来也在程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》看到了他的观点：
网络上每个人都有发表自己观点的权利，也有捍卫自己观点的权利，
当网络上缺乏一个大家公认的权威时，说服别人就成了件比较困难的事。
temp_110发表于2008-1-721:
43
如果看成运算规则，卷积就是乘法的另一种表示。
相关在形式上和卷积一样，但是相关显然有统计学上的含义。
[[i]本帖最后由temp_110于2008-1-721:
48编辑[/i]]
quit2468发表于2008-1-1710:
根据定义而言卷积和相关根本就不是一个东西，硬要说联系，也就一个信号——比如说x[k]的自相关可以写成x[k]与x[-k]的卷积。
我对卷积的理解没有楼上各位那么深，我觉得单吧卷积隔离开来看什么都不是，卷积无非两个作用，一是将时域与频域的运算联系上，二是信号通过一个系统还有系统的级联就是用卷积来表示的——就像1+1+1可以用1*3表示一样，这里面乘法没有什么意义可言
bluebolt发表于2008-1-1920:
06
我对卷积的理解没有楼上各位那么深，我觉得单吧卷积隔离开来看什么都不是，卷积无非两个作...
同意楼上的观点卷积与相关不一样
若要说相同那只是在数学表达形式上类似
从物理意义上说
卷积主要用于求输入信号经过系统后的响应得出的结果仍然是时域上的函数
相关则是求两个信号的相似程度得出的结果可用一个归一化的参数表示
obnewux发表于2008-1-2711:
29
个人也认为卷积和相关是不同的。
刚做了一个项目涉及到相关。
假设将信号x（n）和y（n）相关，那么为了利用FFT变换，可以这样实现。
将x（n）倒序，即将x
（1）,x
（2）,……,x（n）变为X=[x（n）,x（n-1）,……,x
（1）]，将其作FFT为XF。
对信号y（n）直接作FFT变为YF。
那么相关值就等于z=ifft（XF*YF）。
因此，只有将其中一个信号反序，再与另一个信号卷积，才可以等效于相关。
36
另外，我还想问个问题：
在我们作项目的时候对于卷积处理都是如下进行的，不知道对不对。
假设输入x（i），滤波器系数为h（i），长度分别为m和n。
x（i）通过滤波器相当于卷积，那么输出y（i）的长度应该为m+n-1。
而我们在仿真中为了保证输入输出长度一致，我们取了y（i）的中间部分作为输出，即i=[1:
n/2]以及i=[m+n-1-n/2:
m+n-1]这部分的数据就不要了。
中间部分长度刚刚是m。
不知道这样处理对不对
请大家指教。
hjihxb发表于2008-2-1017:
09
卷积与相关类似在数学上表现为乘积和，但卷积需要反摺，而相关不需要，
因此相同的两个数列卷积与相关是不同的。
asdf229955发表于2008-3-2517:
47
卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:
<
math>
f（x）<
/math>
<
g（x）<
是R1上的两个可积函数，作积分：
<
\intf（\tau）g（x-\tau）\,d\tau<
可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞），上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h（x），称为f与g的卷积，记为h（x）＝（f*g）（x）。
容易验证，（f*g）（x）＝（g*f）（x），并且（f*g）（x）仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数（f*g）（x），一般要比f，g都光滑。
特别当g为具有紧支集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积（f*g）（x）也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
定义
函数f与g的卷积记作<
f\starg<
，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积对于平移量的积分。
（f\starg）（t）=\intf（\tau）g（t-\tau）\,d\tau<
积分区间取决于f与g的定义域。
对于定义在离散域的函数，卷积定义为
（f\starg）[m]=\sum_n{f[n]g[m-n]}<
[编辑]多元函数卷积
按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：
（f\starg）（t_1,t_2,\cdots,t_n）=\int\int\cdots\intf（\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n）g（t_1-\tau_1,t_2-\tau_2,\cdots,t_n-\tau_n,）\,d\tau_1d\tau_2\cdotsd\tau_n<
性质
各种卷积算子都满足下列性质
交换律
f\starg=g\starf\,<
结合律
f\star（g\starh）=（f\starg）\starh\,<
分配律
f\star（g+h）=（f\starg）+（f\starh）\,<
数乘结合律
a（f\starg）=（af）\starg=f\star（ag）\,<
其中<
a<
为任意实数（或复数）。
微分定理
\mathcal{D}（f\starg）=\mathcal{D}f\starg=f\star\mathcal{D}g\,<
其中Df表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：
前向差分：
\math
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