地铁线路设计规划模型数学建模Word格式.docx
《地铁线路设计规划模型数学建模Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《地铁线路设计规划模型数学建模Word格式.docx（91页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
图5-1
然后，为了使所有两个地铁站能无缝地接在一起，我们把这个图尽可能多地划分成内接多边形。
如图（b）~（e）。
....
图5-2图5-3图5-4图5-5
这里，我们又出现一个新的问题，要使内接多边形能接在一起，内接多边形的角度必须能整除360，n边形内角和为
，每个内角为
。
满足整除360，只有n=3，4，6。
现在，我们先假设
n=3（图5-3），则每个点有效面积
；
n=4（图5-4），则这个点有效面积
；
n=6（图5-5），则这个点有效面积
所以可得，取n=6时，有效面积
最大，即将地铁站看成内接六边形时，两个地铁站之间衔接起来有效面积最大。
思路二:
考虑到每个地铁站建成后都会覆盖附近面积为
的区域。
但由思路一可知，
，所以思路二的基本想法就是允许
有适当重叠，并得到重叠时的状态，然后算出重叠状态下对于每个站点与其他站点交盖的面积
，通过比较各种重合状态下的
，选得最小的，就是我们要得到的最优设计。
具体实现：
1.考虑四个圆的圆心组成矩形的情况
图5-6图5-7图5-8
可以看到，中间的A区域没有被覆盖，此时有两种解决方案，方案一是在A区域的中心在建一个站，覆盖掉空白的部分，如图5-7；
方案二是直接使四个圆重叠，覆盖空白部分，如图5-8。
很容易发现，对于上面两种情况，每一个圆与其他圆共同交盖的面积都是
，即阴影所示区域。
2.考虑四个圆的圆心组成菱形的情况：
如果组成普通菱形（锐角不是60度），和正方形相比，每一个圆的交盖面积
增加。
3.考虑锐角为60度的菱形：
图5-9图5-10
方案三：
如图5-9是正六边形，其中正六边形边长为
对每一个圆来说交盖面积
为
方案四：
如图5-10是正三角形，其中正三角形边长为
，对每一个圆来说交盖面积
比较四种情况的
，方案三的
是最小的，从而有效面积
综合上述两种思路，最后得出的最佳有效面积皆为
，因此，接下来我们就选择将每个地铁站的覆盖面积视作正六边形。
六、模型建立与优化
问题一：
最少要建多少个地铁站
以一个地铁站的有效面积为内接六边形
，在AutoCAD中将边长为800单位的正六边形用阵列方法排出20×
20的矩阵。
将原题的城市图中各端点的坐标求出并放大比例按坐标画进地铁站六边形矩阵阵中，然后将城市图平移，旋转，比较不同情况下，城市图所含盖的正六边形数目最少的情况。
由于使用枚举法列举城市图与六边形之间关系的各种情况并清点城市图覆盖的六边形数目过于繁琐，我们考虑了一种优化方法。
先让城市图的某一条边覆盖的正六边形数目最少，再考虑其他边覆盖的数目最少的情况，再通过平移等方法尽量减少七个边覆盖的正六边形的数目，以此逼近最优解。
数六边形数目的时候为防止人工数数出错，我们采用将范围内的六边形载入选区并由电脑技术的方法保证了数据的真实性和准确性。
如下图6-1至图6-10列出了我们枚举的八种特殊情况。
图6-1矩形短边横排233
图6-2矩形短边斜排左对齐226
图6-3矩形长边斜排左对齐226
图6-4矩形长边斜排右对齐227
图6-5矩形长边横排左对齐226
图6-6矩形长边横排右对齐231
图6-7梯形长边横排233
图6-8梯形长边斜排230
由以上八张截图可发现，图6-2，图6-3，图6-5的六边形数目均为226，因此可以得出最小覆盖正六边形的数目为226个的结论，即最少要建226个地铁站才能完全铺满这个城市。
经过多方比较，我们选取了最易于生成最小树的图6-5作为我们第二问的地铁线路设计目标。
问题二：
按最少数量的地铁站分布，设计出最佳的地铁线路（要求不同的地铁线路换乘能互相到达）
我们在AutoCAD中将图6-5情况下的226个正六边形替换为800半径的圆并按一定的顺序编号（图6-9），并且利用AutoCAD的查询—列表显示功能将226个圆的圆心坐标全部输出（输出内容见附件），通过Word、Excel等一系列Office软件对数据的编辑操作，得到了226个点的有序坐标的txt格式文件（数据见附件）。
用VisualC++编程软件将txt文件中的所有数据依次导入并编程（C++文件见附件）计算每一个点到其他225个点的距离导出至新的txt文件（数据量过大不适合在附件中呈现）。
用Matlab软件将距离值全部导入，并利用Primf最小生成树算法求出生成的最小树结果（结果与Primf代码见附件）。
最后在AutoCAD中绘出最小树（图6-10），并归纳了31条地铁线路（不拐弯的一条直线视为一条线路）共62组坐标点（见表6-1），在VisualC++中求出地铁线路总长度为311769m（编程代码见附件）。
图6-9226个地铁站按顺序编号
图6-10最小生成树地铁线路图
表6-131条地铁线的坐标值
地铁站编号
圆心x坐标
圆心y坐标
连接的地铁站编号
1
400
7
225
29200
8
1600
2
221
28000
3
222
4
49
7600
5
35
5200
6
21
2800
224
15
22
4000
226
30400
29
36
6400
217
43
50
8800
172
22000
57
10000
65
11200
171
74
12400
83
13600
170
93
14800
103
16000
169
115
17200
127
18400
168
140
19600
153
20800
167
63
64
215
26800
113
114
216
180
181
208
25600
七、模型的评价与推广
八、附录
附录：
AutoCAD输出的226个圆的圆心坐标及其他
命令:
_list找到226个
圆图层:
0
空间:
模型空间
句柄=188e
圆心点，X=Y=Z=
半径
周长
面积
句柄=1880
句柄=187f
句柄=187e
句柄=187d
句柄=187c
句柄=187b
句柄=1871
句柄=1870
句柄=186f
句柄=186e
句柄=186d
句柄=186c
句柄=186b
句柄=186a
句柄=1869
句柄=185f
句柄=185e
句柄=185d
句柄=185c
句柄=185b
句柄=185a
句柄=1859
句柄=1858
句柄=1857
句柄=184c
句柄=184b
句柄=184a
句柄=1849
句柄=1848
句柄=1847
句柄=1846
句柄=1845
句柄=1844
句柄=1843
句柄=1842
句柄=1841
句柄=1840
句柄=183f
句柄=183a
句柄=1839
句柄=1838
句柄=1837
句柄=1836
句柄=1835
句柄=1834
句柄=1833
句柄=1832
句柄=1831
句柄=1830
句柄=182f
句柄=182e
句柄=1828
句柄=1827
句柄=1826
句柄=1825
句柄=1824
句柄=1823
句柄=1822
句柄=1821
句柄=1820
句柄=181f
句柄=181e
句柄=181d
句柄=1815
句柄=1814
句柄=1813
句柄=1812
句柄=1811
句柄=1810
句柄=180f
句柄=180e
句柄=180d
句柄=180c
句柄=1803
句柄=1802
句柄=1801
句柄=1800
句柄=17ff
句柄=17fe
句柄=17fd
句柄=17fc
句柄=17fb
句柄=17f0
句柄=17ef
句柄=17ee
句柄=17ed
句柄=17ec
句柄=17eb
句柄=17ea
升级会员 