届一轮复习人教A版43简单的三角恒等变换学案.docx

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届一轮复习人教A版43简单的三角恒等变换学案

第03节三角恒等变换

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

简单的三角恒等变换

①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公

式.

②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

2013浙江文6；理6；

2014浙江文4,18；理4，18；

2015浙江文11,16；理11；

2016浙江文11；理10，16；

2017浙江14，18.

1.和（差）角公式；

2.二倍角公式；

3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.

4.备考重点：

（1）掌握和差倍半的三角函数公式；

（2）掌握三角函数恒等变换的常用技巧.

【知识清单】

1.两角和与差的三角函数公式的应用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C（α－β）：

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C（α＋β）：

cos（α＋β）＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S（α＋β）：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S（α－β）：

sin（α－β）＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T（α＋β）：

tan（α＋β）＝；

T（α－β）：

tan（α－β）＝.

变形公式：

tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；

.

函数f（α）＝acosα＋bsinα（a，b为常数），可以化为f（α）＝sin（α＋φ）或f（α）＝cos（α－φ），其中φ可由a，b的值唯一确定．

对点练习：

【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于（）

A.7B.C.1D.0

【答案】A

本题选择A选项.

2.二倍角公式的运用公式的应用

二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：

sin2α＝2sin_αcos_α；

C2α：

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：

tan2α＝.

变形公式：

cos2α＝，sin2α＝

1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2,1－sin2α＝（sinα－cosα）2

对点练习：

【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．

【解析】

（Ⅱ）由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

解得

所以的单调递增区间是．

【考点深度剖析】

对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．

【重点难点突破】

考点1两角和与差的三角函数公式的应用

【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】故选D.

【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：

，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．

【答案】

【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.

【1-3】已知：

，，且，则=_______.

【答案】

【解析】，

【领悟技法】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：

在T（α＋β）与T（α－β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋（k∈Z），即保证tanα，tanβ，tan（α＋β）都有意义；若α，β中有一角是kπ＋（k∈Z），可利用诱导公式化简．

【触类旁通】

【变式一】已知均为锐角，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

∴．

【变式二】已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数）的解析式，并写出的单调减区间；

（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.

【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，

由周期.

当时，，可得，

因为，所以．

.

由图象可得的单调减区间为.

考点2二倍角公式的运用公式的应用

【2-1】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．

【答案】

【解析】因为，，所以

因为，所以，因此.

【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．

【答案】

【2-3】已知，且，则的值为__________.

【答案】

【解析】因为，所以，，，又因为，所以.

【领悟技法】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【触类旁通】

【变式一】已知，

（1）求的值；

（2）求的值．

【变式二】已知，，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由二倍角公式得，整理得，

因此，由于，，，

，故答案为A．

考点3三角恒等式的证明

【3-1】求证：

＝sin2α.

【解析】∵左边＝＝＝＝

＝cosαsincos＝sinαcosα

＝sin2α＝右边．

∴原式成立．

【3-2】求证：

＝－2cos（α＋β）.

【3-3】已知，，且，.

证明：

.

【解析】，即，

，

，

，

又，，

，，，

.

【领悟技法】

1.三角恒等式的证明主要有两种类型：

绝对恒等式与条件恒等式．

（1）证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．

（2）条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．

（3）变角：

目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：

通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

2.变换技巧：

（1）拆角、拼角技巧：

2α＝（α＋β）＋（α－β）；β＝－；＝.

（3）化简技巧：

切化弦、“1”的代换等

【触类旁通】

【变式一】求证：

.

【解析】左边＝＋

故原式得证．

【变式二】已知，证明：

.

【解析】左边

右边.

故原命题成立.

考点4三角函数的综合应用

【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f′

（1）的取值范围是________．

【答案】[，2]

【4-2】【2017浙江温州二模】已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，求的值.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题解析：

（1）

∴函数的最小正周期是

（2）∴，

，∴，又.

∴∴，

∴.

【4-3】【2018江苏海安上学期第一次测试】已知向量，，.

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【答案】

（1）;

（2）当时，取到最大值3；当时，取到最小值..

【解析】试题分析：

（1）依据题设条件建立方程分析求解；

（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：

解：

（1）因为，，，

所以.

若，则，与矛盾，故.

于是.

又，所以.

【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【触类旁通】

【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点,与x轴交于点B,C,且的面积为．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若,求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

试题解析：

（Ⅰ）因为,

所以周期，，

由,得,

因为,所以,

所以；

（Ⅱ）由,得,

所以.

【易错试题常警惕】

易错典例：

若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0（a是常数）的两根，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

易错分析：

不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．

正确解析：

由题意知：

sinθ＋cosθ＝，

温馨提醒：

求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.

【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:

"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.

【典例】在平面坐标系中，直线与圆相交于,（在第一象限）两个不同的点，且则的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

∴．