届广东省深圳市高三第二次调研考试数学理试题解析版.docx
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届广东省深圳市高三第二次调研考试数学理试题解析版
2016届广东省深圳市高三第二次调研考试数学（理）试题（解析版）
1．复数满足（为虚数单位），则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】．
2．设是两个集合，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3．若，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴．
∴．
4．若满足约束条件则目标函数的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】目标函数表示为可行域内的
点和点连线的直线的斜率，
由图可知：
当其经过点时，直线的斜率最大，
即．
5．如图所示的流程图中,若输入的值分别是，则输出的（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
∴．
6．已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：
先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
．
∴．
对称轴方程为，
即，故选A．
7．以直线为渐近线的双曲线的离心率为为（）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，
∴，或．∴，或．
∴，或．
8．位男生和位女生共位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】．
9．如图，正方形中，是的中点，若，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵
∴，解得，．
10．已知函数则关于的不等式的解集为（）
A.B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域关于原点对称，
∵时，，，
同理：
，∴为偶函数．
∵在上为减函数，
且，
∴当时，由，得，
∴，解得．
根据偶函数的性质知当时，得．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】该几何体的直观图，如图：
，，
∴．
12．设定义在上的函数满足，，则（）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】的定义域为，
∵，
∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∴，
∴在上单调递增，
∴在上既无极大值也无极小值．
二、填空题：
本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．高为，体积为的圆柱的侧面展开图的周长为．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴侧面展开图的周长为．
14．过点的直线与圆相交于两点，当弦的长取最小值时，直线的倾斜角等于．
【答案】
【解析】∵的长取最小值时，垂直于，
∴，即，
∴，直线的倾斜角等于．
15．在展开式中，项的系数为____________．（结果用数值表示）
【答案】
【解析】含有项为．
另解：
，
∴通项，
的通项
∴，∴．
∴项的系数为．
16．如图，在凸四边形中，，，，．当变化时，对角线的最大值为_________．
【答案】D
【解析】设，在中，
，
∴，
∵,∴．
在中，
，
，
∵，∴可以取到最大值，
∴．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，是和1的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】
（1）由题意得：
，①
当时，，②
①-②得，即，∴．
由①式中令，可得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（2）由得
∴．
18．（本小题满分12分）
某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（1）某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：
等级
优秀
合格
不合格
男生（人）
15
5
女生（人）
15
3
根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
（2）以（１）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．
（i）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；
（ii）记表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求的数学期望．
参考公式：
，其中．
临界值表：
【解析】
（1）设从高一年级男生中抽出人，则．
∴
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
而
∴没有的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．
（2）（i）由
（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为．
记“所选3名学和g中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件，则事件发生的概率为：
；
（ii）由题意知，随机变量，
∴随机变量的数学期望．
19．（本小题满分12分）
在三棱柱中，，侧面是边长为的正方体．点分别在线段上，且．
（1）证明：
平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
（1）取线段中点，连接，
在正方体中，，
在和中，，
又，∴，
∴，
从而，
∴，即．
又，
∴平面，
∵平面，∴，
在等腰三角形中，，
又与相交，知平面，
∵平面，
∴平面平面；
（2）在等腰三角形中，由
知，且，
记线段中点为，连接，由
（1）知，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，从而得到平面的一个法向量．
，记直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．（本小题满分12分）
过抛物线：
的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：
直线与轴交于一定点．
【解析】
（1）抛物线的焦点为，
故可设直线的方程为，
由，得，
设，则，
∴，由，可得．
∴抛物线的方程为．
（2）【方法1】依题意，直线与轴不垂直，∴．
∴直线的方程可表示为，
∵抛物线的准线方程为，
由，联立方程组可求得的坐标为，
由
（1）可得，
∴的坐标可化为，
∴，
∴直线的方程为，
令，可得，
∴直线与轴交于定点．
【方法2】直线与轴交于定点．
证明如下：
依题意，直线与轴不垂直，∴．
∴直线的方程可表示为，
∵抛物线的准线方程为，
由，联立方程组可求得的坐标为，
由，联立方程组可求得的坐标为，
由
（1）可得，∴．
∴的坐标可化为，
∴两点连线的斜率为,
∴两点连线的斜率为,
∴，∴、、三点共线，
即直线与轴交于定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数，直线为曲线的切线．
（1）求实数的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．
【解析】
（1）对求导得，
设直线与曲线切于点，则
，
解得．所以的值为1．
（2）记函数，下面考察函数的符号．
对函数求导得．
当时恒成立．
当时，，
从而．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
∵，∴．
又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知
惟一的，使
∴．
∴，
从而
∴
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．
当时，在上恒成立，即在上恒成立．
记，则，
当变化时，，变化情况如下表：
极小值
∴．
故“在上恒成立”只需，即．
当时，，当时，在上恒成立．
综合
（1）
（2）知，当时，函数为增函数．
故实数的取值范围是．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，是直径，在上，于，点为线段上任意一点，延长交于，．
证明:
（1）；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）证明：
连接，
∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∵，
∴为中边上的中线，即．
（2）连接，
∵,为等边三角形,
∴，．
∵是直径，∴，
∴．
∵，∴∽，
∴，即．
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程选讲
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合．若曲线的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为极坐标方程；
（2）由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值．
【解析】
（1）圆的直角坐标方程为．
∵，
∴圆的极坐标方程为．
（2）∵直线的极坐标方程为，
∴，∴直线的直角坐标方程为．
设直线上点，切点为，圆心，
则有，
当最小时，有最小．
∵，
∴，
∴切线长的最小值为．
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.
（1）求的值；
（2）正数满足，求.
【解析】，
若不等式有解，
则满足，解得.
∴.
（2）由
（1）知正数满足，
∴
，
当且仅当时，取等号.
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