专题31 不等式恒成立与存在性问题高考数学三轮复习大题疯狂练通用解析版.docx

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专题31不等式恒成立与存在性问题高考数学三轮复习大题疯狂练通用解析版

专题31不等式恒成立与存在性问题

-2018年高考数学三轮复习大题疯狂练（通用解析版）

1．设函数．

（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：

存在使；②若求证：

．

【答案】

（1）；

（2）①.证明见解析；②证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意，对恒成立，对恒成立；

（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即，，只需证，换元研究函数最值即可.

∴，从而．

（2）①，则．

若，则存在，使，不合题意.

∴．

取，则．

此时．

∴存在，使．

②依题意，不妨设，令，则．

∴．

下面证明，即证明，只要证明．

设，则在恒成立．

∴在单调递减，故，从而得证．

∴，即．

2．已知函数.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）

【解析】试题分析：

（1），由在处取到极值，可得，.

经检验，时，在处取到极小值；

（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.

试题解析：

（1），

∵在处取到极值，

∴，即，∴.

经检验，时，在处取到极小值.

（2），令，

①当时，，在上单调递减.

又∵，∴时，，不满足在上恒成立.

②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.

a.当，即时，在上恒成立，

∴，从而在上单调递增.

又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.

b.当，即时，存在，使时，，单调递减；

时，，单调递增，∴.

又∵，∴，故不满足题意.

③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，

，∴，在上单调递减.

又∵，∴时，，故不满足题意.

综上所述，.

3．设函数，．

（1）当时，求函数的极小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

（1）极小值2；

（2）

（Ⅲ）由题意原命题等价于恒成立，设，进而转化为在上单调递减，利用导数，即可求得实数的取值范围．

试题解析：

（1）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；

所以当时，取得极小值.

（2），

令，得．

设，则．

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以的最大值为，又，可知：

①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；

③当时，函数有2个零.

所以恒成立，所以．

即的取值范围是．

4．已知函数是偶函数，且满足，当时，，当时，的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】

（1）2；

（2）或

使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．

试题解析：

（1）∵，即，

∴，

∴，

当时，，

∴当时，，

∴.

又，

∴恒成立，

∴在上单调递增，

∴，

令，解得．

∴实数的值为2．

（2）当时，，

∴，

∴函数在单调递增，

∴当时，．

又当时，，

∴．

①当时，，函数在区间单调递增，

∴．

∵对任意的，总存在，使不等式恒成立，

∴

解得；

解得；

综上或．

∴实数的取值范围．

5．设,函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行,求的值;

（Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为，解得的值;

（2）先根据任意存在性含义转化不等式为对应函数最值关系：

在定义域内不存在最小值,再求导数，根据a正负讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性以及最小值取法，最后根据最小值情况确定的取值范围.

试题解析：

解:

（Ⅰ）函数的导函数为

则函数在处的切线斜率为,

依题意有,

解得.

可得在单调递增,在单调递增,在单调递减,

即有在取得极大值,

当时,;当时,.

取即可,

当时,在单调递减,

且,,

故存在,使得,

同理当时,令使得,

则有当时,成立;

③当时,在单调递减,在单调递增,在单调递增,

即有在处取得极小值,

当时,;当时,

所以,

当时,不存在使得成立,

综上可得,的取值范围是.

6．已知函数的图像在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）当时,恒成立,求实数的取值范围.

【答案】

（1）,;

（2）

【解析】试题分析：

求出，根据题意可得，解出即可得到所以,解得,;

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

当,恒成立等价于恒成立,

设,则,

记,,

所以在区间上单调递减,,

故,

所以在区间上单调递减,,

所以,实数的取值范围为.