睢宁县菁华高级中学届高三上学期学情调研考试数学试题.docx

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睢宁县菁华高级中学届高三上学期学情调研考试数学试题

菁华高级中学2014届高三上学期学情调研考试

数学试题

（总分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1.已知全集,集合,,则=▲.

2.已知复数的实部为,虚部为,则（为虚数单位）的模为▲.

3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：

秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：

秒）内的人数大约是▲.

4.已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,,,,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率

为▲.

5.按如图所示的流程图运算,则输出的▲.

6.已知向量,

若,则实数=▲.

7.已知数列成等差数列,其前项和为,若

则的余弦值为▲.

8.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，

现给出下列四个命题：

①若,则；

②若，则；

③若则；

④若则.

其中,所有真命题的序号是▲.

9.已知函数,满足,,,,则函数的图象在处的切线方程为▲.

10.在中,,,则的面积为▲.

11.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是▲.

12.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则▲.

13.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是▲.

14.已知对于任意的实数,恒有“当时,都存在满足方程”,则实数的取值构成的集合为▲.

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．（本小题满分14分）

已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.

（1）求角的大小；

（2）若,求的长.

16．（本小题满分14分）

如图，在四面体中,,是的中点．

（1）求证:

平面；

（2）设为的重心,是线段上一点,且.

求证:

平面.

17．（本小题满分14分）

如图,有三个生活小区（均可看成点）分别位于三点处,,到线段的距离,（参考数据:

）.今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段（不含端点）上.

（1）设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；

（2）设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?

18．（本小题满分16分）

如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

（1）求椭圆方程；

（2）设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为.

①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;

②设与直线交于点,试证明:

直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

19．（本小题满分16分）

已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.

（1）若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;

（2）若.

①求数列与的通项公式;

②试探究:

数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？

若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数,其中.

（1）当时,求函数在处的切线方程;

（2）若函数在区间（1,2）上不是单调函数,试求的取值范围;

（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

数学附加试题

（总分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：

几何证明选讲）

在直角三角形中,是边上的高,,,分别为垂足,求证：

.

B．（选修4—2：

矩阵与变换）

已知曲线,现将曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程.

C．（选修4—4：

坐标系与参数方程）

在极坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,试写出圆的极坐标方程.

D.（选修4—5：

不等式选讲）

已知为正数，求证：

.

[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22.如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为梯形,,,

点在棱上,且．

（1）求证：

平面⊥平面；

（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

23.已知数列满足,试证明:

（1）当时,有；

（2）.

数学参考答案

又，,则由正弦定理,得=,即4…………………14分

16．证明:

（1）由………………………………………………………3分

同理，,又∵,平面,∴平面………………7分

（2）连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为的重心,所以,

又,所以……………………………………………………………11分

又,,所以平面……………………………………………11分

因为,令,即,从而,

当时,;当时,.

…………6分

又直线的方程为,故圆心到直线的距离为…………8分

从而截直线所得的弦长为…………………………10分

②证:

设,则直线的方程为,则点P的坐标为,

又直线的斜率为,而,所以,

从而直线的方程为……………………………………13分

令,得点R的横坐标为……………………………………………14分

又点M在椭圆上,所以,即,故,

所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为………………………16分

19.解:

（1）因为,所以当时,,两式相减,得,

而当时,,适合上式,从而……………………3分

又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以………………4分

从而数列的前项和…………6分

（2）①设,则,所以,

设的公比为,则对任意的恒成立……………8分

即对任意的恒成立,

又,故,且……………………………………………………10分

从而……………………………………………………………………11分

②假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项

的和,即,从而,易知（*）………13分

又,

所以,此与（*）矛盾,从而这样的项不存在…………………………………………16分

20．解:

（1）当时,,则,故……………2分

又切点为,故所求切线方程为,即……………………………4分

（2）由题意知,在区间（1,2）上有不重复的零点,

由,得,因为,所以……………7分

令,则,故在区间（1,2）上是增函数,

所以其值域为,从而的取值范围是…………………………………9分

（3）,

由题意知对恒成立,即对恒成立,即①对恒成立……………………………11分

当时,①式显然成立;

当时,①式可化为②,

令,则其图象是开口向下的抛物线,所以……13分

即,其等价于③,

因为③在时有解,所以,解得,

从而的最大值为………………………………………………………………………16分

附加题

21．（A）证明：

为直角三角形,,

∽∽∽∽∽…………………………………4分

,,,

…………………………………………………………………………………10分

B．解：

（1）由旋转坐标公式…………………………………………5分

得变换公式为，代入得曲线的方程为…………………10分

C．解：

设是圆上任一点,由余弦定理,得…………5分

整理得圆的极坐标方程为………………………………………10分

D.证明：

……………………………………5分

同理,,,三式相加，得………………10分

23．证明：

（1）当时,,

所以不等式成立……………………………………………………………5分

（2）

………………………………10分