睢宁县菁华高级中学届高三上学期学情调研考试数学试题.docx

1、睢宁县菁华高级中学届高三上学期学情调研考试数学试题菁华高级中学2014届高三上学期学情调研考试数学试题 (总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知全集,集合,则= .2.已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为 .3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是 . 4.已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,从中任取两张,则

2、这两张卡片中最大号码是3的概率为 .5.按如图所示的流程图运算,则输出的 . 6.已知向量, 若,则实数= .7.已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 .8.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若,则；若，则；若则；若则.其中,所有真命题的序号是 .9.已知函数,满足,则函数的图象在处的切线方程为 .10.在中,则的面积为 .11.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .12.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则 . 13.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是 .

3、14.已知对于任意的实数,恒有“当时,都存在满足方程”,则实数的取值构成的集合为 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)已知角、是的内角，分别是其对边长，向量，. (1)求角的大小； (2)若,求的长.16(本小题满分14分)如图，在四面体中,是的中点(1)求证:平面；(2)设为的重心,是线段上一点,且.求证:平面.17(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.

4、(1) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；(2) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?18(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为. (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为. 若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.19(本小题满分16分)已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有. (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和; (2)若. 求数列与的通项公式;试探究:数列中是否存在某一

5、项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由20(本小题满分16分) 已知函数,其中.(1) 当时,求函数在处的切线方程;(2) 若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;(3) 已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.数学附加试题 (总分40分，考试时间30分钟)21选做题 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修41：几何证明选讲）在直角三角形中,是边上的高, ,分别为垂足,求证：.B（选修42：矩阵与变换）已知曲线,现将曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程.C（

6、选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,试写出圆的极坐标方程.D.（选修45：不等式选讲）已知为正数，求证：.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22.如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,点在棱上,且(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值23.已知数列满足,试证明: (1)当时,有；(2).数学参考答案又，,则由正弦定理,得=,即4 14分16证明:(1)由 3分同理，,又,平面,平面7分(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为的重心,所以,又,所以 11分又,所以平面11分因为,令,即

7、,从而,当时,;当时, . 6分 又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 8分 从而截直线所得的弦长为10分 证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为, 又直线的斜率为,而,所以, 从而直线的方程为13分 令,得点R的横坐标为14分 又点M在椭圆上,所以,即,故, 所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为16分19.解: (1)因为,所以当时, ,两式相减,得,而当时,适合上式,从而3分又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以4分从而数列的前项和6分(2)设,则,所以,设的公比为,则对任意的恒成立 8分即对任意的恒成立,又,故,且10分从而11分假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项的和

8、,即,从而,易知 (*)13分又,所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在16分20解:(1)当时,则,故2分又切点为,故所求切线方程为,即4分(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,由,得,因为,所以7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是9分 (3), 由题意知对恒成立,即对恒成立,即 对恒成立 11分 当时,式显然成立; 当时,式可化为 , 令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 13分 即,其等价于 , 因为在时有解,所以,解得,从而的最大值为16分附加题21（A）证明：为直角三角形,4分,10分B解：（1）由旋转坐标公式5分得变换公式为，代入得曲线的方程为10分C解：设是圆上任一点,由余弦定理,得5分整理得圆的极坐标方程为10分D.证明：,5分同理,三式相加，得10分23证明：(1) 当时,所以不等式成立5分 (2)10分