第1章 4 数学归纳法 活页作业4 专项训练同步练习北师大版选修22.docx

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第1章4数学归纳法活页作业4专项训练同步练习北师大版选修22

活页作业（四）　数学归纳法

1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　　）

A．2　　　　　　　　B．3

C．5D．6

解析：

当n取1,2,3,4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.

答案：

C

2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n∈N＋，n＞1）时，第一步应验证不等式（　　）

A．1＋＜2B．1＋＋＜2

C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3

解析：

∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一个值n0＝2.

∴第一步应验证：

1＋＋＜2.

答案：

B

3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为（　　）

A．Sk＋B．Sk＋＋

C．Sk＋－D．Sk＋－

解析：

Sk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－＝Sk＋－.

答案：

C

4．若f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋），则n＝1时f（n）是（　　）

A．1B．

C．1＋＋D．以上答案均不正确

解析：

∵f（n）共有2n＋1项，

∴当n＝1时有2＋1＝3项，即f

（1）＝1＋＋.

答案：

C

5．已知f（n）＝＋＋＋…＋，则（　　）

A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f

（2）＝＋

B．f（n）中共有n＋1项，当n＝2时，f

（2）＝＋＋

C．f（n）中共有n2－n项，当n＝2时，f

（2）＝＋

D．f（n）中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f

（2）＝＋＋

解析：

观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.

答案：

D

6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N＋）时，第一步验证当n＝1时，左边应取的项为________．

解析：

当n＝1时，左边要从1加到n＋3，即1＋2＋3＋4.

答案：

1＋2＋3＋4

7．已知每项都大于零的数列{an}中，首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2（n≥2），则a81＝________.

解析：

∵Sn－Sn－1＝2，

S1＝a1＝1，

∴S2＝9，S3＝25，…，Sn＝（2n－1）2.

利用数学归纳法可证明Sn＝（2n－1）2.

∴a81＝S81－S80＝640.

答案：

640

8．已知f（n）＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2n＋1）－f（2n）＝_____________.

解析：

f（n）有n项，最后一项为，

f（2n）有2n项，最后一项为，

f（2n＋1）有2n＋1项，最后一项为，

∴f（2n＋1）比f（2n）多出的项为＋＋…＋.

答案：

＋＋…＋

9．设a＞0，f（x）＝，令a1＝1，an＋1＝f（an），n∈N＋.

（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的结论．

（1）解：

因为a1＝1，所以a2＝f（a1）＝f

（1）＝，

a3＝f（a2）＝，

a4＝f（a3）＝.

猜想an＝（n∈N＋）．

（2）证明：

①易知，当n＝1时，由猜想知正确．

②假设当n＝k时正确，即ak＝，

则ak＋1＝f（ak）＝＝

＝＝.

这说明，当n＝k＋1时也正确．

由①②，可知对于任何n∈N＋，都有an＝.

10．试比较2n＋2与n2的大小（n∈N＋），并用数学归纳法证明你的结论．

解：

当n＝1时，21＋2＝4＞12，

当n＝2时，22＋2＝6＞22，

当n＝3时，23＋2＝10＞32，

当n＝4时，24＋2＝18＞42，

由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N＋）成立．

用数学归纳法证明如下：

（1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，

∴左边＞右边，不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，

∴左边＞右边，不等式成立．

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，

∴左边＞右边，不等式成立．

（2）假设当n＝k（k≥3且k∈N＋）时，不等式成立，

即2k＋2＞k2，

那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2.

要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥（k＋1）2，

即证k2－2k－3≥0，

即证（k＋1）（k－3）≥0.

又∵k＋1＞0，k－3≥0，

∴（k＋1）（k－3）≥0.

∴当n＝k＋1时，结论成立．

由

（1）和

（2），可知n∈N＋时，2n＋2＞n2.

11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1（n∈N）能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34（k＋1）＋1＋52（k＋1）＋1可变形为（　　）

A．56·34k＋1＋25（34k＋1＋52k＋1）

B．34·34k＋1＋52·52k

C．34k＋1＋52k＋1

D．25（34k＋1＋52k＋1）

解析：

当n＝k时，34k＋1＋52k＋1可被8整除；

当n＝k＋1时，34（k＋1）＋1＋52（k＋1）＋1＝34k＋1·34＋52k＋1·52＝56·34k＋1＋25（34k＋1＋52k＋1）．

答案：

A

12．平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）

A．a　　　　　　B．a

C．aD．a

解析：

利用等体积法，四面体内一点和四个顶点连线将四面体分成四个四面体，这四个四面体体积之和等于大的四面体体积．

答案：

B

13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn时，第二步中n＝k＋1时，要证明的式子应为____________.

解析：

当n＝k＋1时，

左边＝－1＋3－5＋…＋（－1）k＋1[2（k＋1）－1]＝

－1＋3－5＋…＋（－1）k＋1（2k＋1）．

答案：

－1＋3－5＋…＋（－1）k＋1（2k＋1）＝（－1）k＋1（k＋1）

14．设f（n）＝n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N＋），则用数学归纳法证明f（n）能被9整除的过程中，f（k＋1）＝f（k）＋_______________.

解析：

f（k＋1）＝（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3＝（k＋1）3＋（k＋2）3＋k3＋9k2＋27k＋27＝f（k）＋9k2＋27k＋27.

答案：

9k2＋27k＋27

15．由下列不等式：

1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？

并加以证明．

解：

猜想第n个不等式，即一般不等式为：

1＋＋＋…＋＞（n∈N＋）．

用数学归纳法证明如下：

（1）当n＝1时，1＞，猜想成立．

（2）假设当n＝k时，猜想成立，即1＋＋＋…＋＞，

则当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＝.

即当n＝k＋1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N＋，不等式成立．

16．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：

①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为f

（1）＝；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n－1）的倍．

（1）当从A口分别输入自然数2,3,4时，从B口分别得到什么数？

试猜想f（n）的关系式，并证明你的结论；

（2）记Sn为数列{f（n）}的前n项和，当从B口得到16192575的倒数时，求此时对应的Sn的值．

解：

（1）由已知得f（n）＝f（n－1）（n≥2，n∈N＋），

当n＝2时，f

（2）＝×f

（1）＝×＝，

同理可得f（3）＝，f（4）＝，

猜想f（n）＝.（*）

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知（*）成立．

②假设n＝k（k≥4，k∈N＋）时，（*）成立，

即f（k）＝，

那么当n＝k＋1时，

f（k＋1）＝f（k）＝·，

即f（k＋1）＝，

∴当n＝k＋1时，（*）也成立．

综合①②所述，对所有的n∈N＋，

f（n）＝恒成立．

（2）由

（1）可得＝

＝，

∴n＝2012.

∵f（n）＝，

∴S2012＝＝

＝.

活页作业（五）　变化的快慢与变化率

1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是（　　）

A．4　　　　　　　B．13

C．15D．28

解析：

Δs＝（3×32＋1）－（3×22＋1）＝15.

∴＝＝15.

答案：

C

2．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则当t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为（　　）

A．2B．1

C．D．

解析：

因为Δs＝（2＋Δt）2－×22＝Δt＋（Δt）2，所以＝＋Δt.当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限趋近于，因此当t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为.

答案：

C

3．设函数y＝f（x），当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy等于（　　）

A．f（x0＋Δx）B．f（x0）＋Δx

C．f（x0）－ΔxD．f（x0＋Δx）－f（x0）

解析：

由定义可以得出．

答案：

D

4．在求平均变化率时，关于自变量的改变量Δx的说法正确的是（　　）

A．Δx＞0B．Δx＜0

C．Δx＝0D．Δx≠0

解析：

平均变化率为，分母是Δx，不为零．

答案：

D

5．关于函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，下列说法正确的是（　　）

A．函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处的平均变化率

B．函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处平均变化率的近似值

C．当Δx趋于0时，函数f（x）在x＝x0处的平均变化率趋于瞬时变化率

D．当Δx＝0时，函数f（x）在x＝x0处的平均变化率等于瞬时变化率

解析：

由瞬时变化率的定义可以得出．

答案：

C

6．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为_____________．

解析：

当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝Δx－6.

答案：

Δx－6

7．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积的平均变化率为______________．

解析：

ΔV＝（R＋ΔR）3－R3，体积的平均变化率＝＝（ΔR2＋3R·ΔR＋3R2）．

答案：

（ΔR2＋3R·ΔR＋3R2）

8．设函数y＝x2＋2x，x从1变到2时，函数的平均变化率为________．

解析：

Δx＝2－1＝1，

Δy＝（22＋2×2）－（12＋2×1）＝5.

答案：

5

9．已知质点M按规律s＝2t2＋2t（s的单位：

m，t的单位：

s）做直线运动．求：

（1）前3s内的平均速度；

（2）从2s到3s内的平均速度；

（3）从2.8s到3s内的平均速度；

（4）从2.9s到3s内的平均速度；

（5）估计质点在3s时的瞬时速度．

解：

（1）Δt＝3（s），Δs＝（2×9＋2×3）－0＝24（m），故前3s内的平均速度为＝＝8（m/s）．

（2）Δt＝3－2＝1（s），Δs＝（2×32＋2×3）－（2×22＋2×2）＝12（m），故从2s到3s内的平均速度为＝＝12（m/s）．

（3）Δt＝3－2.8＝0.2（s），Δs＝（2×32＋2×3）－（2×2.82＋2×2.8）＝2.72（m），故从2.8s到3s内的平均速度为＝＝13.6（m/s）．

（4）Δt＝3－2.9＝0.1（s），Δs＝（2×32＋2×3）－（2×2.92＋2×2.9）＝1.38（m），故从2.9s到3s内的平均速度为＝＝13.8（m/s）．

（5）＝＝4t＋2＋Δt，当Δt趋于0时，平均速度趋于14，故可估计质点在3s时的瞬时速度为14m/s.

10．若一物体运动函数如下（位移s的单位：

m，