全国高中数学联赛贵州省预赛1.docx

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全国高中数学联赛贵州省预赛1

2021年全国高中数学联赛贵州省预赛

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知等差数列{an}的公差d≠0，且，则{an}的前15项之和S15等于（）

A．15B．16C．30D．32

2．方程组的解的组数是（）

A．5B．6C．7D．8

3．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中（含边AB、BC）长度为整数的线段条数是（）

A．9B．10C．11D．12

4．已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为，则此三棱锥的高h与其内切球半径r之比是（）

A．5B．6C．7D．8

5．设椭圆C：

的左、右焦点分别为，其焦距为2c.点在椭圆的内部，点M是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、填空题

6．如图，在△ABC中，AB=30，AC=20，S△ABC=210，D、E分别为边AB、AC的中点，∠BAC的平分线分别与DE、BC交于点F、G，则四边形BGFD的面积为________.

7．已知函数，若m满足，则实数m的取值范围是____________.

8．若半径的空心球内部装有四个半径为r的实心球，则r所能取得的最大值为____________.

9．在△ABC中，.则____________.

10．已知正项数列的前n项和为.若,均为公差为d的等差数列，则________.

11．已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，则mn的个位数是1的概率为____________.

12．已知方程的五个根分别为，f（x）=x2+1，则____________.

13．若（a+b）n的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n=____________.

14．求平面区域的面积为____________.

15．已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________.

三、解答题

16．我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞（或数字），其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一（正上面）.现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：

你能设计出这样的骰子吗?

若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.

17．已知定长为4的线段AB的两端点，分别在两条相交直线x±2y=0上移动.

（1）设线段AB的中点为G，求点G的轨迹C的方程；

（2）若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直，求证：

动点P在定圆上.

18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

.

参考答案

1．A

【详解】

因为等差数列{an}的公差d≠0，由，

所以，进而，因此.

所以有.

故选：

A.

2．B

【详解】

如图，分别画出与的图象，

从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.

故选：

B.

3．D

【详解】

因为顶点B到斜边AC的距离为12，

所以顶点B与斜边各点的连线中长度为13、14、15的线段各有两条，

长度为12、16、17、18、19、20的线段各有一条，

故满足条件的线段共有2×3+6=12条.

故选：

D.

4．C

【详解】

如图，过正三棱锥V－ABC的侧棱VC及高VG作截面交AB于点M，则内切球O与侧面相切的切点N在VM上.

在△VGM中，，故，得到.

故选：

C.

5．D

【详解】

由在椭圆的内部，得，

即，从而，

得到，因此.

因为0

又由恒成立，即恒成立，

等价于，亦即，

等价于，即，得到.

综上，得.

故选：

D.

6．

【详解】

如图，在△ABC中，由AG平分∠BAC知，故.

又S△ABC=210，则.

由D、E分别为边AB、AC的中点知，所以△ADF∽△ABG.

由，得到，故.

故答案为：

．

7．

【详解】

由，得到f（－x）=f（x），且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数.

又由得到.

所以，故，得到.即m的取值范围是.

故答案为：

．

8．2

【详解】

当半径为r的四个实心球“最紧凑”时，即此四个球两两相切且内切于空心球时，r取得最大值.

此时，小球的四个球心连线构成棱长为2r的正四面体，

显然，此四面体外接球的球心即为实心球球心.在棱长为2r的正四面体中，求得外接球半径为.

于是，空心球的半径为，

所以，解得r=2.

故答案为：

2．

9．

【详解】

设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

由，知G为△ABC的重心.

又GA⊥GB，所以.

得到.故：

.

故答案为：

．

10．

【分析】

根据两个数列是等差数列，结合特殊的几项，寻找等量关系，解方程求解.

【详解】

因为数列的前项和为，

故，，，

又也是公差为的等差数列，

则，两边平方得：

①

，两边平方得：

②

②-①可得：

③

把③代入①得：

.

故或，

因为数列为正项数列，故舍去；

当，代入③解得.

故.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式以及前项和，利用基本量处理即可.

11．

【详解】

当m=11，n∈{2000，2001，…，2019}时，mn的个位数都是1，此时有20种选法；

当m=13，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；

当m=15时，mn的个位数不可能为1，此时有0种选法；

当m=17，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn的个位数都是1，此时有5种选法；

当m=19，n∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m的个位数都是1，此时有10种选法.

综上，所求概率为.

故答案为：

．

12．37

【详解】

设，则.

又f（x）=x2+1=（x－i）（x+i），所以

.

故答案为：

37．

13．959

【详解】

设（a+b）n的展开式中连续三项的二项式系数为.

因为，所以，

得到①

由n为正整数，则8k+9应为奇完全平方数，故设8k+9=（2m+1）2，即，

代入①式得n=（m+1）2－2或n=m2－2.

所以，三位正整数n的最大值为959.

故答案为：

959．

14．

【详解】

由

，

得到，

所以有或.

由，得.

所以或，

画出（x，y）的可行域（图中阴影部分），从而求得平面区域的面积为.

故答案为：

．

15．2019

【详解】

集合A的22019－1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：

1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它们的倒数和为

.

故答案为：

2019．

16．能，方案见解析

【详解】

因为不存在正十面体，所以直接产生“十进制骰”是办不到的.

但要实现“十进制骰”的要求，这样的骰子也是能设计的.

即把骰子做成正二十面体，使其相对两面标同一个数字，这样0~9这十个数字就均匀分布在骰子上，当掷一次骰子时，最上面出现的数字必然是0~9这十个数字之一，

显然，每个数字出现的可能性一样故“个位骰”即为“二十面骰”.

17．

（1）；

（2）证明见解析

【详解】

（1）设A、B、G的坐标分别为，则.

得到，因此有.

所以，点G的轨迹C的方程为：

.

（2）设，PS、PT与椭圆C相切于S、T，椭圆C的左、右焦点分别为关于PS、PT的对称点分别为.

由椭圆的光学性质，知与分别共线，

所以.

又∠SPT=90°，则以P为中点，故，

因此，

所以，得到.

即动点P在定圆上.

18．

（1）an=n；

（2）证明见解析

【详解】

（1）由得到.

因为，所以，即.

两式相减，得，进而.

因为，所以.

又由已知，所以，对任意n∈N+，有，

即{an}是等差数列，故an=n.

（2）由an=n，对原式变形有：

.

原式得证.