离散数学题型梳理第6章Word文档格式.docx
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显然，如果对一个命题公式中的命题变元不给以真值指派，则命题公式无真值可言。
如果对命题公式中的每个命题变元都赋以真值（1或0），则命题公式就变成了一个有真值的命题，并可求出其真值。
对于特殊的命题公式（永真式和永假式），对命题公式中的命题变元不给以真值指派，利用常用的等价公式也可以求出其真值（永真式为1，永假式为0）。
对命题公式中的所有命题变元指派各种可能的真值组合，就可确定这个命题公式对应的取值，将命题变元的所有真值组合及命题公式对应的取值汇列成表，就得到命题公式的真值表．
如果一个命题公式有n个命题变元，那么命题变元的真值指派就可能出现
种不同的组合。
在真值表中是包含了命题变元的所有真值指派。
例如，如果一个命题公式有3个命题变元，那么命题变元的真值指派就有8种不同的组合，作其真值表就是将这8种真值组合及命题公式对应的真值汇列成表。
要非常熟练地掌握命题公式的真值表作法，因为利用真值表可以判定命题公式类型，验证等价公式和蕴含式，求命题公式的主析取（合取）范式，在推理理论中判别有效结论。
3.命题公式类型的判断
在各种真值指派下均为真的命题公式，称为重言式或永真式；
在各种真值指派下均为假的命题公式，称为矛盾式或永假式；
不是矛盾式的命题公式，称为可满足式。
判定命题公式类型的方法：
（1）真值表法：
任给命题公式，列出其真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；
若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；
若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式。
（2）等值演算法：
利用常用的等价公式，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式为永真式；
若该公式的真值为0，则该公式为永假式。
既非永真，也非永假，则为非永真的可满足式。
4.等价公式的证明
等价公式：
给定两个命题公式A与B，设P1，P2，…，Pn为所有出现于A与B中的原子变元，若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A与B的真值均相同，则称公式A与B是等价的或逻辑相等，记作AB，此公式可称为等价公式。
真值表法（验证公式等价）：
将两个命题公式的真值表列出，在所有的真值指派下，两个公式的真值都对应相同，则说明两个公式等价，否则，就不等价。
等值演算法（证明公式等价）：
利用教材182页的14个基本等价式对给定公式进行等值演算，可以证明命题公式等价。
5．求范式和主范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：
其一是准确掌握范式定义；
其二是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用幂等律。
范式的相关定义有：
合取范式：
一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：
A1∧A2∧…∧An，（n
1）
其中A1，A2，…，An均是由命题变元或其否定所组成的析取式．
析取范式：
一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：
A1∨A2∨…∨An，（n
其中A1，A2，…，An均是有命题变元或其否定所组成的合取式．
布尔合取、小项：
n个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．
一般n个命题变元共有
个小项。
布尔析取、大项：
n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．
个大项。
主析取范式：
对于给定的命题公式，若有一个等价公式，它仅仅由小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．
主合取范式：
对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅由大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式．
求析取（合取）范式的步骤：
①将公式中的联结词都化成，，（即消去联结词，）；
②将否定联结词消去或移到各命题变元之前；
③利用分配律、结合律等，将公式化为析取（合取）范式。
求主析取范式（主合取范式）的方法：
真值表法：
在命题公式的真值表中，真值为1的指派所对应的小项的析取，为此命题公式的主析取范式；
在命题公式的真值表中，真值为0的指派所对应的大项的合取，为此命题公式的主合取范式。
等值演算法：
利用等价公式，求命题公式A的主析取（合取）范式的步骤：
①将公式A化为析取（合取）范式；
②除去析取（合取）范式中永假（永真）的析取（合取）项，并将析取（合取）式中重复出现的合取项（析取项）和相同变元合并。
③对于不是小项（大项）的合取（析取）式，补入没有出现的命题变元，即通过合取（析取）添加PP（PP）式，然后利用分配律展开公式。
一般地，若命题公式A的主析取范式为
则A的主合取范式为
由此可见，命题公式A的主析取范式的小项个数与主合取范式的大项个数之和等于
6．判断有效结论的直接证法和间接证法
判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法有真值表法、直接证法和间接证法。
要重点掌握后两种方法。
直接证法：
就是由一组给定的前提，利用一些公认的推理规则，并根据已知的等价公式和蕴含公式，推演得到有效结论的方法．
在证明过程中一般要用到的两个公认的推理规则，即P规则与T规则．
P规则：
前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用．
T规则：
在推导中，如果有一个或多个公式重言蕴含着公式C，则公式C可以作为前提在推导引用．
因此要掌握直接证法，就必须理解并掌握好教材第182页的14个等价公式和14个蕴含公式，并会使用P规则和T规则。
将证明的过程用三列的形式表示，第一列为序号，第二列为当前得到的结论，第三列为得到当前结论的理由或根据．E与I分别表示已经证明成立的等价式与蕴含式．
间接证法：
有两种，一种为反证法，是由不相容的概念引出的一种间接证法。
相容、不相容：
假设公式H1，H2，…，Hm中的命题变元为P1，P2，…，Pn，对于P1，P2，…，Pn的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hm的真值为T，则称公式H1，H2，…，Hm是相容的．如果对于P1，P2，…，Pn的每一组真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hm的真值为F，则称公式H1，H2，…，Hm是不相容的．
其证明思路就是，如要证明
，只要把
作为前提使用，推出矛盾的结论即可。
另一种间接证法就是附加前提证明法：
该方法使用的前提是有效结论以蕴含的形式出现，即具有这样的形式
则把B作为附加前提使用，只要推出结论C即可。
即证明
通常将此方法称为CP规则。
二、常考知识点分析
常考知识点1：
将陈述句翻译成命题公式（历年考核次数：
6次，本课程共考过6次；
重要程度：
★★★★★）
1.（2009年10月试卷第11题）将语句“他是学生．”翻译成命题公式．
[解题过程]依据命题必须具备的二个条件，可设P：
他是学生，则该语句翻译成命题公式为：
P．
2.（2008年7月试卷第12题）将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．
[解题过程]依据命题必须具备的二个条件以及否定联结词“”的定义，可设P：
今天有人来，则语句“今天没有人来．”翻译成命题公式为P。
3.（2008年7月试卷第11题）将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．
[解题过程]在该语句中出现表示逻辑关系的连词“如果…，则…”，这样我们就很容易联想到条件联结词“”在语句中表示“如果…，则…”，但要注意的是，似乎PQ是“因果关系”，但是不一定总有因果关系，只要P，Q是命题，那么PQ就是命题（即有真值），不管P，Q是否有无因果关系。
因此，设P：
所有人今天都去参加活动，Q：
明天的会议取消，于是该语句可翻译成命题公式为：
PQ．
4.（2009年1月试卷第12题）（2010年1月试卷第12题）将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．
[解题过程]PQ表示的基本逻辑关系是，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件，因此复合命题“只要P，就Q”，“P仅当Q”，“只有Q才P”等都可以符号化为PQ的形式。
因此可设P：
我去旅游，Q：
我有时间，则语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式为：
PQ．
5.（2008年9月试卷第12题）将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
[解题过程]合取联结词“”在语句中相当于“并且”，“不但…而且…”，“既…又…”。
但要注意“”与“并且”等是有区别的，“并且”等要考虑语义，而“合取”只考虑命题之间的关系以及复合命题的取值情况，不考虑语义。
因此，可设P：
小王去旅游，Q：
小李去旅游，则语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式为：
PQ．
常考知识点2：
求命题公式的真值（历年考核次数：
1次，本课程共考过6次；
★）
1.（2009年1月试卷第6题）命题公式
的真值是 ．
[解题过程]依次利用蕴含等价式、结合律和零律，可将该命题公式化为：
，
因此该公式的真值是1。
常考知识点3：
命题公式类型的判断（历年考核次数：
2次，本课程共考过6次；
★★）
1.（2008年7月试卷第14题）判断说明题（判断下列各题正误，并说明理由）
为永真式．
[解题过程]正确．
因为联结词运算的优先次序为：
┐，∧，∨，，，再利用等价公式中的蕴含等价式，吸收律和否定律，对给定公式进行等值推导如下：
因此该公式是永真式。
以上是利用等值演算法判断公式的类型，也可利用如下真值表法。
P
Q
PQ
P（PQ）
P（PQ）P
1
1
0
由真值表可见该公式在任意真值指派下的真值都是1，因此该公式是永真式。
2.（2009年1月试卷第5题）下列公式（）为重言式．
A．PQPQB．（Q（PQ））（Q（PQ））
C．（P（QP））（P（PQ））D．（P（PQ））Q
[解题过程]C
选A．错误.
因为利用蕴含等价式，可将PQ化为（PQ），即PQ（PQ），依据等价联结词的定义可知（PQ）PQ为矛盾式。
选B．错误.
因为利用蕴含等价式、分配律和结合律，可将（Q（PQ））化为
（Q（PQ））（Q（PQ））（（QQ）P）（1P）1
而用分配律和否定律得
（Q（PQ））（（QP）（QQ））（（QP）0）（QP）
依据等价联结词的定义可知1（QP）为可满足式。
选C．正确.
因为利用蕴含等价式可将（P（QP））（P（PQ））化为（P（QP））（P（PQ）），再利用结合律得（P（QP））（P（QP））。
再依据等价联结词的定义可知该式为重言式。
选D．错误.
因为利用分配律可将（P（PQ））化为
（P（PQ））（（PP）（PQ））（1（PQ））（PQ）
依据等价联结词的定义可知（PQ）Q为可满足式。
常考知识点4：
等价公式的证明（历年考核次数：
1.（2008年9月试卷第5题）下列等价公式成立的为（）．
A．PQPQB．P（QP）P（PQ）
C．Q（PQ）Q（PQ）D．P（PQ）Q
[解题过程]B
因为依据德·
摩根律，PQ（PQ），所以PQ与PQ不等价。
选B．正确.
因为依次利用蕴含等价式、分配律和蕴含等价式可得，
P（QP）P（QP）P（QP）
P（PQ）P（PQ）P（PQ）。
选C．错误.
因为依次利用蕴含等价式、结合律、否定律和零律可得，
Q（PQ）Q（PQ）1，
而Q（PQ）（QP）（QQ）（QP）0（QP），
其真值不等于1。
因为依次利用分配律、否定律和同一律可得，
P（PQ）（PP）（PQ）1（PQ）（PQ），
显然与Q不等价。
2.（2010年1月试卷第5题）下列公式成立的为（）．
A．P∧QP∨QB．PQPQ
C．QPPD．P∧（P∨Q）Q
[解题过程]D
摩根律，P∧Q（P∨Q），显然与P∨Q不等价。
因为利用蕴含等价式可得，PQP∨Q，同理，PQP∨Q，显然P∨Q与P∨Q不等价。
因为QPP是一个蕴含式，依据蕴含的定义，该蕴含式成立只需证明（QP）P为重言式即可。
依次利用蕴含等价式、分配律、否定律和同一律，
（QP）P（QP）P（QP）P（QP）P
（QP）（PP）（QP）1（QP），
显然结果不是重言式，因此QPP不成立。
选D．正确.
也可以利用直接证法来证明该蕴含式，思路是：
证明P∧（P∨Q）为真时，Q一定为真。
假定P∧（P∨Q）为T，则P为T，且P∨Q为T，由P为F，P∨Q为T，知Q为T。
则P∧（P∨Q）Q成立。
常考知识点5：
求范式和主范式（历年考核次数：
1.（2008年7月试卷第17题）求PQR的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式．
[解题过程]依据求析取（合取）范式的步骤可得，
P→（R∨Q）┐P∨（R∨Q）
┐P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）
因此该公式的主析取范式对应的小项为：
故该公式的主析取范式为：
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐P∧Q∧R）∨（P∧┐Q∧R）∨（P∧Q∧┐R）∨（P∧Q∧R）。
此外，我们也可利用真值表法求该命题公式的主析取范式和主合取范式．
R
PQR
小项
大项
┐P∧┐Q∧┐R
┐P∧┐Q∧R
┐P∧Q∧┐R
┐P∧Q∧R
┐P∨Q∨R
P∧┐Q∧R
1
P∧Q∧┐R
P∧Q∧R
表中所有小项的析取就是公式的主析取范式，所有大项的合取就是公式的主合取范式，从真值表中可以看出所得结果与用上述等值演算法所得结果相同。
2.（2008年9月试卷第3题）命题公式（P∨Q）→R的析取范式是（）
A．（P∨Q）∨RB．（P∧Q）∨R
C．（P∨Q）∨RD．（P∧Q）∨R
[解题过程]D
依据求析取范式的步骤可得，
（P∨Q）→R（P∨Q）∨R（P∧Q）∨R，
这就是命题公式（P∨Q）→R的析取范式，虽然命题公式的析取范式不唯一，但这个结论与选项D相同，故选择D。
3.（2009年1月试卷第16题）试求出（P∨Q）→R的析取范式，合取范式，主合取范式．
[解题过程]（P∨Q）→R┐（P∨Q）∨R（┐P∧┐Q）∨R（析取范式）
（┐P∨R）∧（┐Q∨R）（合取范式）
（（┐P∨R）∨（Q∧┐Q））∧（（┐Q∨R）∨（P∧┐P））
（┐P∨R∨Q）∧（┐P∨R∨┐Q）∧（┐Q∨R∨P）∧（┐Q∨R∨┐P）
（┐P∨Q∨R）∧（┐P∨┐Q∨R）∧（P∨┐Q∨R）（主合取范式）
常考知识点6：
判断有效结论的直接证法和间接证法（历年考核次数：
0次，本课程共考过6次）
1.试证明（Ｐ∧Ｑ）→Ｒ，┐Ｒ∨Ｓ，┐Ｓ┐Ｐ∨┐Ｑ。
判断有效结论的直接证法和间接证法，它的理论根据是14个等价公式（P167），14个蕴含式（P170-171），三个规则（P规则、T规则和CP规则）。
在这些公式中，我们并不需要全部记住，记住最基本的即可，在这些公式中，下列这些式子是最基本的和最常用，其它公式有的可以根据它推导出来。
14个蕴含式中最常用和最基本的式子有
（1），
（2），（3），（8），（10），（11）。
14个等价式中（12）,（14）式用得较少。
利用直接证明法和间接证明法来证明，一个关键问题就是在多个前提条件下，不知道按什么顺序来引入前提一般的来说是根据析取三段论（或假言推理）（即教材P170第（9）、（10）式），即一个前提中含有A，再引入一个含有A的前提，就可以去掉A了。
这样我们可以先从远离结论的前提入手，逐步推导出结论。
分析：
结论是┐Ｐ∨┐Ｑ，先从远离结论的前提┐Ｓ（或者┐Ｒ∨Ｓ）出发引入第一个前提┐Ｓ，然后根据析取三段论再引入一个含有Ｓ的前提┐Ｒ∨Ｓ（或者┐Ｓ），这样就可以去掉Ｓ了，只剩下Ｒ了，再引入一个含有Ｒ的前提（Ｐ∧Ｑ）→Ｒ，就又可以去掉Ｒ了，只剩下含有Ｐ、Ｑ了，这正是结论所需要的。
证明：
（直接证法）
①┐ＳP
②┐Ｒ∨ＳP
③┐ＲT①②I
④（Ｐ∧Ｑ）→ＲP
⑤┐Ｒ→┐（Ｐ∧Ｑ）T④I
⑥┐（Ｐ∧Ｑ）T③⑤I
⑦┐Ｐ∨┐ＱT⑥E
三、模拟练习
练习1。
（2009年1月试卷第11题）将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．
解析：
依据命题和否定联结词的定义，可设P：
他去学校，则语句“他不去学校．”翻译成命题公式为P．
练习2。
（2009年7月试卷第12题）将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．
依据命题和否定连接词的定义，可设P：
今天下雨，则语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式为P．
练习3。
（2008年9月试卷第11题）将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．
条件联结词“”在语句中表示“如果…，则…”，与本语句中的“如果…，那么…”，语意相同，再依据否定联结词的定义，则可设P：
你去，Q：
他去，于是语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式为PQ．
练习4。
（2009年10月试卷第12题）将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．
依据条件联结词“”在语句中表示“如果…，则…”，以及否定联结词的定义，可设P：
明天下雨，Q：
我们就去郊游，则该语句可翻译成命题公式为PQ．
练习5。
（2009年7月试卷第11题）将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．
依据合取联结词“”在语句中相当于“并且”，“不但…而且…”，“既…又…”，以及否定联结词的定义，可设P：
他接受了这个任务，Q：
他完成好了这个任务。
则该语句可翻译成命题公式为PQ．
练习6。
（2010年1月试卷第11题）将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．
合取联结词“”只考虑命题之间的关系以及复合命题的取值情况等。
今天考试，Q：
明天放假．则该语句可翻译成命题公式为P∧Q．
练习7。
将语句“如果天不下雪，我有时间，那么我就去市里”翻译成命题公式．
依据合取联结词“”，在语句中相当于“并且”，“不但…而且…”，条件联结词“”在语句中表示“如果…，则…”。
天下雪，Q：
我去市里，R：
我有时间，则该语句可翻译成命题公式为：
PRQ
练习8。
命题公式
的真值是 ．
该命题公式的真值为1。
依据蕴含等价式、结合律和零律，可将该命题公式化为：
练习9。
命题公式（PQ）→Q为（）
A.矛盾式B．可满足式
C．重言式D．合取范式
B
因为利用蕴含等价式可将（PQ）→Q化为（PQ）Q，利用德·
摩根律得（PQ）Q，利用分配律得（PQ）（QQ），利用否定律得（PQ）1，再利用同一律得PQ，因此该命题公式为可满足式。
练习10。
判断命题公式﹁（Q→P）∧P的类型（重言式、矛盾式或可满足式），说明理由。
﹁（Q→P）∧P﹁（﹁Q∨P）∧P（Q∧﹁P）∧P
Q∧﹁P∧PQ∧（﹁P∧P）
Q∧00
所以﹁（Q→P）∧P是矛盾式。
练习11。
证明命题公式
是永真式．
练习12。
下列命题公式等值的是为（）。
A.
B.
C.
D.
C
因为利用蕴含等价式可得，
练习13。
化简命题公式
．
因为
练习14。
证明命题公式（P（QR））PQ与（PQ）等值．
证明（P（QR））PQ（P（QR））PQ
（PPQ）（QPQ）（RPQ）
（PQ）（PQ）（PQR）
PQ
（PQ）
练习15。
（2009年7月试卷第15题）求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）
（P∨Q）∨（R∨Q）
（P∧Q）∨（R∨Q）
（P∨R∨Q）∧（Q∨R∨Q）
（P∨R∨Q）∧R合取范式
练习16。
（2009年10月试卷第15题）求（P∨Q）→R的析取范式与合取范式．
（P∨Q）→R（P∨Q）∨R
（P∧Q）∨R（析取范式）
（P∨R）∧（Q∨R）（合取范式）
练习17。
（2010年1月试卷第2题）命题公式（P∨Q）的合取范式是（）
A．（P∧Q）B．（P∧Q）∨（P∨Q）
C．（P∨Q）D．（P∧Q）
因为，选项A，B与命题公式（P∨Q）不等价，选项D中的“”没有移到各命题变元之前，选项C是命题公式（P∨Q）只由一个析取项组成的合取范式。
故选项C正确。
练习18。
试证明：
（附加前提证明法）
（1）SCP规则
（2）SPP
（3）PT
（1）
（2）I
（4）P（QR）P
（5）QRT（3）（4）I
（6）QP
（7）RT（5）（6）I
练习19。
构造下面推
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