届中考数学泰安版精品练习第15讲 全等三角形与尺规作图可编辑word.docx

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届中考数学泰安版精品练习第15讲全等三角形与尺规作图可编辑word

第15讲　全等三角形与尺规作图

A组　基础题组

一、选择题

1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是（　　）

A.SSSB.SAS

C.ASAD.AAS

2.（2018河北）尺规作图要求:

Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.

下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:

则正确的配对是（　　）

A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ

B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ

C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ

D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ

3.（2016浙江丽水）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是（　　）

4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为（　　）

A.B.4C.2D.5

5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为（　　）

A.6B.6C.9D.3

6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:

①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是（　　）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:

①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD.

其中正确的结论有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

8.（2018德州）如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为　　　　. 

9.如图,AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动 

分钟后△CAP与△PQB全等.

10.（2017江苏淮安）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF=　　　　. 

三、解答题

11.（2018河北,23,9分）如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.

（1）求证:

△APM≌△BPN;

（2）当MN=2BN时,求α的度数;

（3）若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.

12.（2018泰安）如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.

（1）求证:

△ECG≌△GHD;

（2）小亮同学经过探究发现:

AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;

（3）若∠B=30°,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.

B组　提升题组

一、选择题

1.（2018南京）如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为（　　）

A.a+cB.b+c

C.a-b+cD.a+b-c

2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是（　　）

3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:

①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.

其中,正确的结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BD平分∠ABC且与AC边交于点D,AD=2,则点D到边BC的距离是　　　　. 

5.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:

　　　　,使△AEH≌△CEB. 

6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为　　　　. 

三、解答题

7.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:

（1）DF=AE;

（2）DF⊥AC.

第15讲　全等三角形与尺规作图

A组　基础题组

一、选择题

1.A　从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A.

2.D　根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.

3.D　A.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.

C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意.

D.无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D.

4.B　∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=AC=4.

5.C　由垂直平分线的性质定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30°,∴AD平分∠BAC.

∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6.

∴BC=BD+CD=9.

6.D　如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确.根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE,故④正确.故选D.

7.D　在△ABD与△CBD中,

∴△ABD≌△CBD（SSS）,

故③正确.

∴∠ADB=∠CDB,

在△AOD与△COD中,

∴△AOD≌△COD（SAS）,

∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC=AC,

∴AC⊥BD,故①②正确.故选D.

二、填空题

8.答案　3

解析　过C作CF⊥AO.

∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,

∴CM=CF.

∵OC=5,OM=4,

∴CM=3,

∴CF=3.

故答案为3.

9.答案　4

解析　∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,

∴∠A=∠B=90°,

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等,则BP=xm,BQ=2xm,AP=（12-x）m,

分两种情况:

①若BP=AC,则x=4,此时AP=12-4=8m,BQ=8m,∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ（SAS）;

②若BP=AP,则12-x=x,解得x=6,此时BQ=12m,BQ≠AC,

∴△CAP与△PQB不全等.

综上所述:

运动4分钟后△CAP与△PQB全等.

10.答案　2

解析　∵D为AB的中点,AB=8,∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分别为AC,AD的中点,∴根据三角形中位线定理,得EF=2.

三、解答题

11.解析　

（1）证明:

∵P为AB中点,

∴PA=PB.

又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,

∴△APM≌△BPN.

（2）由

（1）得PM=PN,

∴MN=2PN,

又∵MN=2BN,

∴PN=BN,

∴α=∠B=50°.

（3）40°<α<90°.

∵△BPN的外心在该三角形的内部,

∴△BPN是锐角三角形,

∴∠BPN和∠BNP都为锐角,

又∵∠B=50°,

∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.

12.解析　

（1）证明:

∵AF=FG,

∴∠FAG=∠FGA,

∵AG平分∠CAB,

∴∠CAG=∠FAG,

∴∠CAG=∠FGA,

∴AC∥FG.

又∵DE⊥AC,

∴FG⊥DE,

又∵FG⊥BC,

∴DE∥BC,

∴AC⊥BC,

∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,

∵F是AD的中点,FG∥AE,

∴H是ED的中点,

∴FG是线段ED的垂直平分线,

∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,

∴∠CGE=∠GDE,

∴△ECG≌△GHD.

（2）证明:

过点G作GP⊥AB于点P,

∴GC=GP,

∴△CAG≌△PAG,

∴AC=AP.

由

（1）得EG=DG,

∴Rt△ECG≌Rt△GPD,

∴EC=PD,

∴AD=AP+PD=AC+EC.

（3）四边形AEGF是菱形,理由如下:

∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,

∴AE=AD,∴AE=AF=FG.

由

（1）得AE∥FG,

∴四边形AEGF是菱形.

B组　提升题组

一、选择题

1.D

2.A　根据垂线的作法,选项A错误.故选A.

3.B　∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,

∵AG=CE,

∴BG=BE,

由勾股定理得:

BE=GE,∴①错误;

∵BG=BE,∠B=90°,

∴∠BGE=∠BEG=45°,

∴∠AGE=135°,

∴∠GAE+∠AEG=45°,

∵AE⊥EF,

∴∠AEF=90°,

∵∠BEG=45°,

∴∠AEG+∠FEC=45°,

∴∠GAE=∠FEC,

在△GAE和△CEF中,

∴△GAE≌△CEF,∴②正确;

∴∠AGE=∠ECF=135°,

∴∠FCD=135°-90°=45°,

∴③正确;

∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,

∴∠FEC<45°,

∴△GBE和△ECH不相似,

∴④错误.

故选B.

二、填空题

4.答案　2

解析　过D作DE⊥BC于E.∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴DE=AD=2.故点D到边BC的距离为2.

5.答案　AH=CB（或EH=EB或AE=CE）

解析　∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,

∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90°,

∴∠B+∠BCE=90°,∠B+∠BAD=90°,

∴∠BCE=∠BAD,

∴AH=CB或EH=EB或AE=CE,可证△AEH≌△CEB.

6.答案　

解析　∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,∴CF=DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18.又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC==12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=BE=.

三、解答题

7.证明　

（1）延长DE交AB于点G,