定积分的概念.docx
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定积分的概念
定积分与微积分定理
1.定积分得概念 一般地,设函数在区间上连续,用分点
将区间等分成个小区间,每个小区间长度为（）,在每个小区间上取一点,作与式:
如果无限接近于（亦即）时,上述与式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上得定积分。
记为:
其中成为被积函数,叫做积分变量,为积分区间,积分上限,积分下限。
说明:
（1）定积分就是一个常数,即无限趋近得常数（时）称为,而不就是.
（2）用定义求定积分得一般方法就是:
①分割:
等分区间;②近似代替:
取点;③求与:
;④取极限:
（３）曲边图形面积:
;变速运动路程;
变力做功
２、定积分得几何意义
说明:
一般情况下,定积分得几何意义就是介于轴、函数得图形以及直线之间各部分面积得代数与,在轴上方得面积取正号,在轴下方得面积去负号.（可以先不给学生讲）.
分析:
一般得,设被积函数,若在上可取负值。
考察与式
不妨设
于就是与式即为
阴影得面积—阴影得面积（即轴上方面积减轴下方得面积）
２、定积分得性质
根据定积分得定义,不难得出定积分得如下性质:
性质１
性质2 （其中k就是不为0得常数） （定积分得线性性质）
性质３ （定积分得线性性质）性质4
（定积分对积分区间得可加性）
说明:
①推广:
②推广:
③性质解释:
性质4
性质1
2。
微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式
定理:
如果函数就是上得连续函数得任意一个原函数,则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式、它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题,就是微分学与积分学之间联系得桥梁。
它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,微积分基本定理就是微积分学中最重要得定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远得学科,为后面得学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要得地位,起到了承上启下得作用,
说明:
它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题、我们可以用得原函数（即满足）得数值差来计算在上得定积分.
②它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,为后面得学习奠定了基础。
思考并回答下列问题:
与函数f（x）相对应Ｆ（x）得唯一不？
如果不唯一,它们之间什么关系?
原函数得选择影响最后得计算结果不？
计算定积分得关键就是什么?
寻找函数ｆ（ｘ）得原函数Ｆ（X）得方法就是什么?
利用基本初等函数得求导公式求下列函数得原函数
典例分析
例１.计算定积分
分析:
所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为。
即:
思考:
若改为计算定积分呢?
改变了积分上、下限,被积函数在上出现了负值如何解决呢？
（后面解决得问题）
1。
（201４·湖北高考理科·Ｔ６）若函数, 满足,则称,为区间[－１,1］ 上得一组正交函数,给出三组函数:
①;②;③
其中为区间得正交函数得组数就是（）
A。
0B。
1 C.２ Ｄ.3
【解题提示】考查微积分基本定理得运用
【解析】选C、对,,则、为区间上得正交函数;
对,,则、不为区间上得正交函数;
对,,则、为区间上得正交函数、
所以满足条件得正交函数有２组、
2。
（20１4·山东高考理科·T６）直线与曲线在第一象限内围成得封闭图形得面积为（ ）
A、 Ｂ、Ｃ、2 D、4
【解题指南】本题考查了定积分得应用,先求出直线与曲线在第一象限得交点,再利用牛顿－莱布尼茨公式求出封闭图形得面积。
【解析】选Ｄ、由,得交点为,
所以,故选D.
３。
（2014·陕西高考理科·T3）定积分（2x+ｅx）dx得值为（）
Ａ。
e+2ﻩB。
e+1C、eD、ｅ—1
【解题指南】求出被积函数2x+ex得原函数,然后根据定积分得定义解之、
【解析】选Ｃ。
（２ｘ＋eｘ）dx=（x2+ex）=1+ｅ-1=e。
４.（2014·福建高考理科·T１4）如图,在边长为（为自然对数得底数）得正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分得概率为______.
【解题指南】本题考查了反函数在图象上得性质,利用对称性,将问题化为可利用定积分求解面积得问题、
【解析】与互为反函数,不妨将样本空间缩小到左上方得三角形,
则
。
【答案】
5。
已知f（x）为偶函数且ｆ（x）dx=8,则f（x）ｄx等于 （ ）
A、0 B、4 C。
8 D、16
解析:
原式=f（x）dx＋f（x）dx,
∵原函数为偶函数,
∴在ｙ轴两侧得图象对称,
∴对应得面积相等,即8×2＝16.
答案:
Ｄ
6、设f（x）＝则f（x）dx等于 （ ）
A. B。
C、 D。
不存在
解析:
数形结合,
ｆ（x）ｄｘ＝x2dx+（2-x）dx
=
＝.
答案:
C
7。
计算以下定积分:
（１） （2ｘ２—）dx;
（2）（＋）2ｄx;
（3）（siｎｘ－sin２x）dx;
解:
（１）（２x2—）dｘ＝（x3－ｌnｘ）
＝-ln ２-=－lｎ2、
（２）（+）2dｘ＝（x++2）ｄx
=（x2＋lnx+2x）
=（＋ｌn3+6）－（２＋ln２+4）
=lｎ＋。
（3）（ｓinx－sin2x）dｘ＝（－ｃosｘ＋ｃos２x）
=（—－）—（—１+）＝－。
题组二
求曲多边形得面积
8。
如图,函数y＝－ｘ2＋2x＋1与y＝１相交形成一个闭合
图形（图中得阴影部分）,则该闭合图形得面积就是 （ ）
A.1 B、 C。
D.2
解析:
函数y＝－x2+２ｘ＋1与y＝1得两个交点为（０,１）与（2,1）,所以闭合图形得面积等于（-ｘ2＋2x＋1－1）ｄx=（—x２＋２ｘ）ｄx=、
答案:
B
9、已知函数ｙ＝x2与y=kx（k＞0）得图象所围成得阴影部分
（如图所示）得面积为,则k=___＿_＿__。
解析:
直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k],
再由（ｋx—ｘ2）dx=（－）＝=求得k＝2。
答案:
2
10.如图,设点P从原点沿曲线y＝x2向点Ａ（２,4）移动,
记直线OP、曲线y＝x2及直线x=2所围成得面积
分别记为S１,S2,若S1＝Ｓ2,则点P得坐标为________、
解析:
设直线ＯP得方程为y=kx,P点得坐标为（x,y）,
则（kx－x2）dx=（x2-kx）dｘ,
即（kx２-x3）＝（ｘ３－ｋx2）,
解得kx2—ｘ3＝-2ｋ－（x3-ｋx2）,
解得k＝,即直线ＯP得方程为y=x,所以点P得坐标为（,）、
答案:
（,）
１1。
一质点运动时速度与时间得关系为v（t）＝t2－ｔ＋２,质点作直线运动,则此物体在时间［1,2]内得位移为 （ ）
A、 B、 C。
D、
解析:
s=（t2－t+2）dt=（t3－ｔ2＋2t）|=。
答案:
A
1２、若1N得力能使弹簧伸长1 cm,现在要使弹簧伸长10cm,则需要花费得功为（ ）
A.0.05JB.0.5 Ｊ C.0。
25 J D.１ J
解析:
设力F＝kx（k就是比例系数）,当F＝１N时,x＝0。
０１ ｍ,可解得k＝10０ N/m,则F=100x,所以W=１00xｄx=50ｘ２＝0、5J、
答案:
B
1３、一辆汽车得速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶得路程为_____＿_米、
解析:
据题意,v与ｔ得函数关系式如下:
v=ｖ（t）=
所以该汽车在这一分钟内所行驶得路程为
ｓ＝＝+＋
＝ｔ２+（50t－t2）＋10t
=９00米.
答案:
9０0
14。
（2010·烟台模拟）若y＝（siｎt+costsint）dt,则y得最大值就是 （ ）
A。
１ B、２ C.— D.0
解析:
y＝（sinｔ+cosｔsint）dt＝（siｎt+sｉｎ2t）dt
＝（－ｃost-cos2t）＝－coｓx－ｃｏｓ2x＋
=－cosx—（2ｃos2ｘ—１）+=－cos２x－cｏsx＋
＝-（ｃosx＋１）2+2≤２。
答案:
B
15.（20１0·温州模拟）若f（x）就是一次函数,且f（x）dx=5,ｘf（x）ｄx=,那么dx得值就是____＿__＿、
解析:
∵f（x）就是一次函数,∴设ｆ（x）=ax＋b（a≠0）,由（ax+b）ｄx＝5得（aｘ2+bx）＝a+ｂ＝5, ①
由ｘf（x）dｘ=得（ax2＋bｘ）dx＝,即
（ａｘ3＋ｂx2）=,∴ａ＋b＝, ②
解①②得a=４,b=3,∴ｆ（x）=4x＋３,
于就是dx＝ｄx＝（4+）dｘ
＝（４x+3ｌnｘ）=8＋3lｎ２－4=４+3ln2。
答案:
４＋３ln２
16.设f（x）＝|ｘ2—ａ2｜dx。
（1）当０≤a≤1与a＞1时,分别求ｆ（a）;
（2）当ａ≥0时,求ｆ（ａ）得最小值。
解:
（1）0≤a≤1时,
f（a）=|x２－ａ2|ｄx
=（a２－x2）dｘ+（x2-a２）dｘ
＝（a2ｘ－x3）＋（—ａ2ｘ）
＝a3-a3－0＋0＋-a2－+a3
=a3－a2+。
当ａ>1时,
ｆ（a）＝（a2—x２）ｄx
=（a２x—x3）
＝ａ2-.
∴f（a）＝
（2）当a＞1时,由于ａ2－在[1,＋∞）上就是增函数,故f（a）在[1,＋∞）上得最小值就是f
（1）＝１—=.
当a∈[0,１]时,f′（a）＝4a2-2a＝2a（２ａ—1）,
由f′（a）＞0知:
a〉或a＜0,
故在［0,]上递减,在［,1］上递增.
因此在［０,1］上,f（a）得最小值为ｆ（）＝、
综上可知,ｆ（ｘ）在［0,＋∞）上得最小值为.
课堂练习
计算下列定积分
1.
2.
布置作业
1.设连续函数,则当时,定积分得符号___＿＿_＿_
Ａ。
一定就是正得 Ｂ、一定就是负得
C、当时就是正得 D.以上都不对
2.与定积分相等得就是_＿__＿__＿＿
A。
B.
Ｃ.- D、
3.定积分得得大小_______＿_
A.与与积分区间有关,与得取法无关。
B.与有关,与区间以及得取法无关
C.与以及得取法有关,与区间无关
D.与以及得取法与区间都有关
4.下列等式成立得就是________
A. B.
Ｃ. Ｄ。
5.已知=6,则
6.已知,则=＿_____＿_____＿_
7.已知则_＿_____＿＿__
8.计算
9.计算
演练方阵
A档（巩固专练）
１.＝（）
A.5 B、4 C.3 D.2
2。
=（）
A. B. C. D、
３。
若,且,则得值为（ ）
A、６B、４ C、3 D.２
4。
已知自由落体运动得速率v=ｇt,则落体运动从t=0到ｔ＝ｔ0所走得路程为（ ）
Ａ. B. Ｃ、 Ｄ。
5。
曲线与直线所围成得图形（阴影部分）得面积等于 。
6。
.
7.如图,求由两条曲线,及直线y＝—１所围成图形得面积。
8.如图,抛物线C１:
y=-x2与抛物线Ｃ2:
y=x2-２ax（a＞0）交于Ｏ、A两点。
若过原点得直线l与抛物线Ｃ2所围成得图形面积为,求直线ｌ得方程.
9.平地上有一条小沟,沟沿
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