垃圾焚烧厂的经济补偿问题的数学模型及其分析数模论文Word文档格式.docx
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问题的分析：
由题意知，目的是建立一个空气质量监测的模型，根据这个监测模型对于受污染影响的居民进行对应的经济补偿，同时考虑到设备可能出故障的概率情况下新的监测模式和赔偿方案。
对于问题一，首先对于最基本的空气质量检测模型的建立，涉及到了污染物的流动传播及其浓度计算，联想到的应该是最基本的扩散运动—湍流扩散模型，整个污染物气体扩散过程中满足质量守恒和N-S方程，根据二者可估算不同区域的污染物浓度，从而根据空气质量参数APPI的大小对居民带进行合理划分，不同的区域对应不同的赔偿方案，最后用高斯方程进行辅助验证确定结果的准确性和可参考性；
而在问题二中，对于设备概率故障情况下的新方案，建立一个概率模型，在考虑设备出故障的概率情况下因为空气质量的长时间超标或者因为维修而暂停使用造成的空气质量的恶化或者好转对应的赔偿的增加或减少，结合设备正常情况下的赔偿对二者进行加和得到新的赔偿方案。
四：
建模过程
1）问题一
a.模型假设：
1.污染源不发生移动，即题中所述的三个焚烧炉同时不间断工作，不因客观原因有任何的轮休（除过维修期间）；
2.污染物在扩散路径上呈梯度减小，即满足斐克定律；
3.污染物扩散的空气层面为平流层，不考虑湍流的影响，同时认为地面山面等污染物流动的界面都为无滑移界面；
4.以西南风为主要风向，东北及其周边区域为平原，假定为无风带；
5.污染物排放量不变且每天排放的量相等；
6.流体低俗流动认为是不可压流体；
7.居民区认为是均匀分布；
8.整个过程中，烟囱排放体不发生沉降、分解，不发生任何化学反应等；
9.地面对烟囱排放气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用；
b.定义符号说明：
ρ—污染气体密度
分别是
在X,Y,Z方向上的投影
c.模型建立
图1-1
如图为GoogleEarth软件模拟出的垃圾焚烧厂手边的地形环境，由图可以分析得到
●处理厂西南方向有山，而东北方向基本可以看做是平原，风由西南方向吹向东北方向
●居民区较集中的地方是东部到西北部区域
图1-2
如图1-2所示，为使用ANSYSFluent简化后的初期模型，①区域为山区，②为模拟的烟囱位置，图中的点都是参照附表4中所给的风向及风俗绘制出的网络图格，在之后的计算中通过表中数字的拟合得到风速不同情况下对应的污染物传播以及每个点出的污染物及其对应的主要成分的浓度大小。
图1-3
如图1-3所示，由ANSYSFluent得到的流场矢径图，图中
所对应的空白区域为山所在的位置，
所对应的空白区域为烟囱所在的位置，通过这个图模拟出了风从山上吹向地面的过程中不同位置的流速大小，颜色越浅（趋近于绿色）的地方流速越大，例如山两边的绿色区域为流速最大的地方，颜色越深（趋近于蓝色）的地方流速越小，例如整张图的边缘部分都为流速较小的地方。
d.模型求解
（1）基本理论推导
质量守恒定律-连续方程
式1-1
流体低速运行可近似认为是不可压流体，满足牛顿第二定律
式1-2
式1-3
欧拉公式
式1-4
每一种气体组分均满足质量方程，因此得到密度方程
式1-5
其中C为体积浓度，
为质量浓度，
为扩散系数。
图1-4
考虑风可能来自于八个方向，以及烟囱高高度，我们利用AnsysGeometry软件，将空间抽象化成为一个八棱柱，其高度约为烟囱高度的5倍，宽度约为3Km，以保证在柱体的边缘基本不受流场的影响。
对模拟化之后的空间，利用AnsysICEM软件，进行进一步处理按照来风方向已经各个面的特性将模型包含的12个面进行进一步的区分：
区域名称
区域功能
各面初始条件设定
E
东风将从盖面吹入模型、西风将从该面吹出
P为一个大气压V=Ve
EN
东北风将从盖面吹入模型、西南风将从该面吹出
P为一个大气压V=Ven
ES
东南风将从盖面吹入模型、西北风将从该面吹出
P为一个大气压V=Ves
N
北风将从盖面吹入模型、南风将从该面吹出
P为一个大气压V=Vn
S
南风将从盖面吹入模型、北风将从该面吹出
P为一个大气压V=Vs
W
西风将从盖面吹入模型、东风将从该面吹出
P为一个大气压V=Vw
WN
西北风将从盖面吹入模型、东南风将从该面吹出
P为一个大气压V=Vwn
WS
西南风将从盖面吹入模型、东北风将从该面吹出
P为一个大气压V=Vws
TOP
模拟该区域的天空
P为一个大气压,V=0
LOW
模拟该区域的大地
该面为well形（无滑移边界）
YC
模拟烟囱外壁以及较高的山峦，作为障碍物
YUAN
污染源将从该面，以一定的流量垂直向上进入模型
V=Vo
表1-1
以每个细小网格的中心点的数据来近似代替该网格所包围的空间内的流场数据。
如果网格越小，则模型越精细，计算越准确。
综合考虑模型要求以及现有计算机的性能之后，我们考虑建立700W个网格进行计算。
网格建立完全后完整的网格模型如下：
图1-5
网格建立成功之后，我们利用AnsysFluent软件进行求解。
结合原有的假设，对于流体我们选择Laminar（层状）模型。
经过500次的数据迭代之后，我们得到了最终的效果图：
图1-6
（2）所得图像分析
经过ANSYSFluent分析得到
图1-7
由图1-4可以看到，中间红色区域中心是烟囱，外围的曲线为污染物分布的等浓度线，越往外污染气体浓度越低，而且单位长度上的浓度梯度越小，且右边的污染区域大于左边的污染区域。
这样的结论为之后按污染物浓度大小划分区域奠定了基础。
拟合曲线（月）
图1-8
NO拟合曲线（月）
图1-9
如图1-5和图1-6所示，在经过趋近拟合之后发现
和NO在污染气体中所占的比重随着时间的变化曲线与正态分布有较好的相似性，在这样的结果基础上，提出一个参数作为一定污染浓度所对应的赔偿金额即可以得到一个合理的经济赔偿方案。
图1-10
如图1-7所示为由高斯公式确定出的污染物区域分布等值图，之后的经济赔偿方案主要根据不同的污染指数划分的污染区域进行赔偿，每个区域之内对应一个赔偿金额。
（3）赔偿方案的确定
污染指数
污染物浓度（毫克/立方米）
API
SO2
（日均值）
NO2
PM10
CO
（小时均值）
O3
50
0.050
0.080
5
0.120
100
0.150
10
0.200
200
0.800
0.280
0.350
60
0.400
300
1.600
0.565
0.420
90
400
2.100
0.750
0.500
120
1.000
500
2.620
0.940
0.600
150
1.200
表1-2
如表1-1所示为空气中空气污染指数API计算的重要指标及其所对应的API值，而API的计算方法如下：
设I为某污染物的污染指数，C为该污染物的浓度
式1-6
式中：
与
：
在API分级限值表（表1-1）中最贴近C值的两个值，
为大于C的限值，
为小于C的限值。
与
在API分级限值表（表1-1）中最贴近I值的两个值，
为大于I的值，
为小于I的值。
但是API指数作为衡量空气中的污染物浓度给出一个污染指数是科学的，但是因为不同的污染物对于人体的有害程度是不一样的，而产生相同的危害所需要的不同气体的浓度也是不同的，而且在本题中污染物中不同气体的浓度差异比较明显，所以API参数不能完全满足要求，考虑到不同污染物的浓度不同带来的危害不同的因素，我们定义一个新的指标空气比例污染指数APPI（AirProportionPopulationIndex）。
其计算公式如下：
式1-7
其中
为污染程度最大的气体成分浓度对应的毒性指数，
为每种气体成分浓度对应的毒性指数。
气体成分
毒性指数
0.126
0.3418
颗粒物
0.5355
表1-3
如表1-2所示，表格列出了重要的三种污染物的毒性指数，如果需要计算更多气体的污染指数可以进行进一步计算使得结果更加准确同时对于后面的赔偿金额计算更具参考性。
（4）赔偿金额的计算公式：
式1-8
为第i个区域对应的赔偿金额
K为污染补偿系数，依据实际的污染气体密度确定
为第i个区域对应的APPI指数
为可接受的APPI指数（在本次数据模拟中90m高的烟囱对应的
为0.5）
M为所有赔偿金额总数
2）问题二
a.模型假设
1.
表示维修设备所用的天数且为定值；
2.每年的天数按照365计算；
3.维修期间设备不运行，认为空气质量均达标，此时不进行赔偿；
（1）焚烧炉出现故障的概率模型
设焚烧正常的情况为事件A，正态分布下出现故障的情况为事件B，事件B对应的概率为P（X
）
P（
）=P（B）-P（AB）
0式2-1
又由于P（AB）
0
故可认为P（
）=P（B）式2-2
即假设中该事件用正态分布趋近是合理的，可认为该小概率事件服从正态分布。
（2）日平均APPI指数的监测模拟
由第一问的图像及结果可以得到主要的污染气体浓度在每个月基本可以认为是服从正态分布的，其对应的APPI指数亦服从正态分布，由此推测每天因为设备故障污染物浓度超出正常标准的概率服从正态分布。
取样
…
为6:
00—18:
00时间段内的气体APPI指数，取三天的数据对同一指标进行分析，得到的结果可以近似认为
式2-3
即单日的APPI指数超标的概率可以用正态分布来近似趋近，这也辅助证明了第一个模型的建立是合理的。
b.模型计算
（1）新的监测方法
对每日APPI指数进行监测，如果出现因故障引起的超标，第二天
立刻进行维修即可。
（2）新的赔偿方案
假设正态分布下焚烧厂设备出现故障的概率为p，对应的设备正常的概率为1-p，则
每月可能出现的设备出现故障天数：
式2-4
因为维修设备不进行工作的天数
设备正常情况下的赔偿金额：
式2-5
因为故障维修产生的赔偿金额变动：
式2-6
为空气质量超标之后对应的APPI指数
新的赔偿方案下的金额：
式2-7
五：
模型的改进与评价
本题的模型建立过程中主要考虑到了地理和物理方面的因素对于结果的影响，在建模过程中采用的质量守恒，欧拉公式的推导并且利用高斯烟羽模型对污染气体的浓度的分布进行了较好的模拟，并且在计算过程中拟合出了每个点的动态浓度，对于监测方案的建立有很好的参照作用，最后根据得到的污染物浓度等值图对污染区域进行划分确定出4~5个赔偿带，而赔偿计算过程中计参照的指标是新建立的APPI指数，由于API指数的主要目的是划分出大气污染等级，在本题中污染气体的浓度都较大，且类型不单一，因此相比较API指数，APPI指数更能反映污染气体的危害大小从而进行赔偿。
而第二问的大部分思想方法是建立在第一问的基础之上的，新的监测方案仍然是取每天的APPI指数进行分析，如果发现超标立刻检查是否有故障，第二天即刻进行修缮，至于新的赔偿方案，需要考虑到设备出故障的概率，维修前APPI超标所带来的赔偿差值，维修过程中因为设备停止运行产生的赔偿差值等多个因素，最后确定出了新的赔偿方案。
图3-1
图3-2
在本题问题解决的基础上，我们又有了新的问题，在建模过程中我们发现已有的MATLAB程序中烟囱的高度是一个很关键的参数，不同的高度对应的污染物浓度等值线也不同如图3-1为烟囱高度50m对应的污染物浓度等值线，图3-2为烟囱高度80m对应的污染物浓度等值图，而从高斯烟羽模型的理论角度分析，理论上烟囱的高度越高，地面污染物浓度越低，且在单位梯度上的减小越大，因此在解决本题提出的两个问题之后，我们有必要探究如何通过模型的改进烟囱高度这一参数与检测方案，赔偿方案之间的关系，在烟囱建设的成本和赔偿金额之间寻找一个而在本体的建模过程中这个参数已经被考虑了进来，所以对模型的进一步深化也并不困难。
六：
参考文献
【1】赵静但琦《数学建模与数学实验》（第3版）高等教育出版社2008.1
【2】冉启康张振宇张立柱《常用数学软件教程》人民邮电出版社2008.10
【3】吴笑龙长江《安全评价中的气体扩散模型及应用》2005年第31卷第8期
【4】戴树桂《环境化学》（第二版）高等教育出版社2006.10
【5】祝东进《概率论与数理统计》国防工业出版社2010.1
【6】周国强大气污染扩散（高斯）模式简易推导法的探究》1994年第9卷第2期
【7】姬文超李华南京大学学报《大亚湾核电站正常运行工况下气载放射性流出物浓度计算》2007年第27卷第6期
【8】韩占忠《FLUENT流体工程仿真计算实例与应用》2004
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