新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案Word文档格式.docx
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见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:
预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
七、课时安排:
1课时
八、教学过程
（一）复习引入:
1.初中所学角的概念。
2.实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解:
1.角的定义:
一条射线绕着它的端点,从起始位置旋转到终止位置,形成
一个角,点是角的顶点,射线分别是角的终边、始边。
说明:
在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记为.
2.角的分类:
正角:
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;
负角:
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
零角:
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。
零角的始边和终边重合。
3.象限角:
在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负轴重合,则
（1）象限角:
若角的终边（端点除外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。
例如:
都是第一象限角;
是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）:
如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
等等。
角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。
因为
轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4.终边相同的角的集合:
由特殊角看出:
所有与角终边相同的角,连同角
自身在内,都可以写成的形式;
反之,所有形如的角都与角的终边相同。
从而得出一般规律:
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,
即:
任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。
终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。
5.例题分析:
例1在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角?
（1）
（2）（3）
解:
（1）,
所以,与角终边相同的角是,它是第三象限角;
（2）,
所以,与角终边相同的角是角,它是第四象限角;
（3）,
所以,角终边相同的角是角,它是第二象限角。
例2若,试判断角所在象限。
∵
∴与终边相同,所以,在第三象限。
写出下列各边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素
写出来:
（1）;
（2）;
（3）.
中适合的元素是
S中适合的元素是（3）
S中适合的元素是
（三）反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:
引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
（课堂实录）
（四）发导学案、布置预习。
九、板书设计
十、教学反思
以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思:
（1）学生对课堂提问,回答是否积极?
学生能否独立或通过合作探索出问题的结果?
（2）学生处理课堂练习题情况如何?
可能的原因是什么?
（3）教学任务是否完成?
下面我们着重分析一下提问的效果。
在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题1:
任意画一个锐角α,借助三角板,找出sinα的近似值.”和“问题5:
现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°
~360°
内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢?
”
对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角α,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因,他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。
对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样?
”后,有学生开始尝试回答。
这说明这个问题要求的思维概括水平较高,学生仅利用锐角三角函数的有关知识,难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。
因此,教师必须要提供必要的脚手架。
在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!
十一、学案设计见下页
课前预习学案
一、预习目标
1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性;
3、能用集合和数学符号表示象限角;
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
二、预习内容
1.回忆:
初中是任何定义角的?
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语:
“转体720o”（即转体2周）,“转体1080o”（即转体3周）;
再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?
如果慢了5分钟,又该如何校正?
2.角的概念的推广:
?
3.正角、负角、零角概念
4.象限角
思考三个问题:
1.定义中说:
角的始边与x轴的非负半轴重合,如果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么?
2.定义中有个小括号,内容是:
除端点外,请问课本为什么要加这四个字?
3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?
4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
（1）4200;
（2）-750;
（3）8550;
（4）-5100.
5.终边相同的角的表示
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;
（2）理解任意角以及象限角的概念;
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法;
学习重难点:
重点:
理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点:
把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、学习过程
例1.例1在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.（注:
是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
（三）
【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题
（2）补充:
时针经过3小时20分,则时针转过的角度为,分针转过的角度为。
注意:
（2）是任意角（正角、负角、零角）;
（3）终边相同的角不一定相等;
但相等的角,终边一定相同;
终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍.
2.学习小结
你知道角是如何推广的吗?
象限角是如何定义的呢?
3你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?
四当堂检测
1.设,,那么有（?
）.
A.B.C.（）D.
2.用集合表示:
（1）各象限的角组成的集合.
（2）终边落在轴右侧的角的集合.
3.在~间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角
（1）;
（2）;
（3）.
3.解:
（1）∵
∴与角终边相同的角是角,它是第三象限的角;
（2）∵
∴与终边相同的角是,它是第四象限的角;
（3）
所以与角终边相同的角是,它是第二象限角.
课后练习与提高
1.若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?
2.下列命题正确的是:
（）（A）终边相同的角一定相等。
（B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。
（D）小于的角都是锐角。
3.若a是第一象限的角,则是第象限角。
4.一角为,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__.
5.集合M=αk,k∈Z中,各角的终边都在（）
A.轴正半轴上,B.轴正半轴上,
C.轴或轴上,D.轴正半轴或轴正半轴上
6.设,
C=α|αk180o+45o,k∈Z,
则相等的角集合为__.
参考答案
1.解:
2小时40分小时,
故分针走过的角为480。
2.C3.一或三45.C6._B=D,C=E
1.1.2弧度制【教学目标】①了解弧度制,能进行弧度与角度的换算②认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题【教学重难点】重点:
了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算难点:
弧度的概念及其与角度的关系【教学过程】
（一）复习引入复习初中学习过的知识:
角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题:
①初中的角是如何度量的?
度量单位是什么?
②1°
的角是如何定义的?
弧长公式是什么?
③角的范围是什么?
如何分类的?
（二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
1.自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
1角的弧度制是如何引入的?
2为什么要引入弧度制?
好处是什么?
3弧度是如何定义的?
4角度制与弧度制的区别与联系?
2.学生动手画图来探究:
1平角、周角的弧度数
2角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?
3角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?
3.角度制与弧度制如何换算?
rad1
归纳:
把角从弧度化为度的方法是:
把角从度化为弧度的方法是:
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度:
1
（2）34
1
（2）34
变式练习:
把下列各角从度化为弧度:
122o30′
（2）?
210o31200o解:
1
（2）3
例2、把下列各角从弧度化为度:
（1）23.5324
（1）108o2200.5o3114.6o445o
把下列各角从弧度化为度:
（1）
（2）?
（3）解:
（1）15o
（2）-240o（3）54o
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式:
因为（其中表示所对的弧长）,所以,弧长公式为.
扇形面积公式:
.
以上公式中的必须为弧度单位.
例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,,求该扇形的面积。
因为2R+2R8,所以R2,S4
1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案:
2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的2倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是4cm2.
4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦的长度为,所对的圆心角
的弧度数为.
课堂小结:
1、弧度制的定义;
2、弧度制与角度制的转换与区别;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;
（四）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。
（五）课后检测
1.在中,若,求A,B,C弧度数。
答案:
ABC
2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?
3.选做题
如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。
〖板书设计〗
1.1.2弧度制
（一）复习引入
概念形成例1例2
（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式
例3小结:
一、预习目标:
1.了解弧度制的表示方法;
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
角的弧度制是如何引入的?
为什么要引入弧度制?
弧度是如何定义的?
角度制与弧度制的区别与联系?
1、平角、周角的弧度数?
2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?
1.理解弧度制的意义;
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算;
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长,为圆半径）;
4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算;
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
（一）复习:
初中时所学的角度制,是怎么规定角的?
角度制的单位有哪些,是多少进制的?
（二）为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制?
弧度制。
我们规定叫做1弧度的角,用符号表示,读作。
练习:
圆的半径为,圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少?
思考:
圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:
如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么,角的弧度数的绝对值是:
的正负由决定。
正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是。
我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或经常省略,即只写一实数表示角的度量。
当弧长且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是.
（三）角度与弧度的换算
试一试:
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
1
（2）34
210o31200o
（3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
扇形面积公式:
变式练习1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是.
1、弧度制的定义;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;
（七）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。
1.2.1任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法;
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;
（4）掌握并能初步运用公式一;
（5）树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
【教学重难点】
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）;
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
三角函数线的正确理解.
【教学过程】
一、【创设情境】
提问:
锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
;
对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
1叫做的正弦sine,记做,即;
（2）叫做的余弦cossine,记做,即;
（3）叫做的正切tangent,记做,即.
当α是锐角时,此定义与初中定义相同（指出对边,邻边,斜边所在）;
当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;
再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限
角度制弧度制
5.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
其中
6.三角函数线
设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点
过作轴的垂线,垂足为;
过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出:
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
7.例题讲解
例1.已知角α的终边经过点,求α的三个函数制值。
变式训练1:
已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.
,例2.求下列各角的三个三角函数值:
（3）.解:
（1）sin00cos01tan00
（2）（3）变式训练2:
求的正弦、余弦和正切值例3.已知角α的终边过点,求α的三个三角函数值解析:
计算点到原点的距离时应该讨论a的正负变式训练3:
求函数的值域.
解析:
分四个象限讨论.
2,-2,0例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:
1.与2.tan与tan三、【学习小结】
1本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
2你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
3请写出各三角函数的定义域;
4终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
5三角函数线的做法.
四、【作业布置】
作业:
习题1.2A组第1,2题.
五、【板书设计】1.2.1任意角的三角函数
概念形成1.三角函数定义2.三角函数线
（三）例题讲解小结:
1.21任意角的三角函数
1.了解三角函数的两种定义方法;
2.知道三角函数线的基本做法.
二、预习内容:
根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空.
三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）
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