1、见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习 六、课前准备 七、课时安排:1课时 八、教学过程 (一)复习引入: 1.初中所学角的概念。 2.实际生活中出现一系列关于角的问题。 (二)新课讲解: 1.角的定义:一条射线绕着它的端点,从起始位置旋转到终止位置,形成一个角,点 是角的顶点,射线分别是角的终边、始边。说明:在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记为.2.角的分类:正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。零角的
2、始边和终边重合。3.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负轴重合,则(1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。例如:都是第一象限角;是第四象限角。(2)非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。等等。角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的射线。 4.终边相同的角的集合:由特殊角看出:所有与角终边相同的角,连同角自身在内,都可以写成的形式;反之,所有形如的角都与角的终边相同。从而得出一般规律
3、:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即:任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。5.例题分析:例1在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角?(1)(2)(3) 解:(1), 所以,与角终边相同的角是,它是第三象限角; (2), 所以,与角终边相同的角是角,它是第四象限角; (3), 所以,角终边相同的角是角,它是第二象限角。 例2 若,试判断角所在象限。 与终边相同, 所以,在第三象限。写出下列各边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来: (1); (2);(3). 中适合的元素是 S中适合
4、的元素是 (3) S中适合的元素是 (三)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录) (四)发导学案、布置预习。 九、板书设计 十、教学反思 以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思: (1)学生对课堂提问,回答是否积极?学生能否独立或通过合作探索出问题的结果? (2)学生处理课堂练习题情况如何?可能的原因是什么? (3)教学任务是否完成? 下面我们着重分析一下提问的效果。 在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题1:任意画一个锐角,借助三角板,找出
5、sin的近似值.”和“问题5:现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0360内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角,sin怎样定义好呢?” 对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因,他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。 对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样?”后,有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高,学生仅利用锐角三角函数的有关知识,难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此,教师必须要提供必要的脚
6、手架。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计见下页 课前预习学案 一、预习目标 1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性; 3、能用集合和数学符号表示象限角; 4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容 1.回忆:初中是任何定义角的? 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫
7、做叫的顶点。 在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720o” (即转体2周),“转体1080o”(即转体3周);再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了5分钟,又该如何校正? 2.角的概念的推广:? 3.正角、负角、零角概念 4.象限角 思考三个问题: 1.定义中说:角的始边与x轴的非负半轴重合,如果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么? 2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字? 3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么? 4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角? (1)4200;
8、(2)-750;(3)8550;(4)-5100. 5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案 一、学习目标 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2)理解任意角以及象限角的概念; (3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法; 学习重难点: 重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程 例1. 例1在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.(注:是指) 例2.写出终边
9、在轴上的角的集合. 例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来. (三)【回顾小结】 1.尝试练习 (1)教材第3、4、5题 (2)补充:时针经过3小时20分,则时针转过的角度为 ,分针转过的角度为。 注意:(2)是任意角(正角、负角、零角);(3)终边相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍. 2.学习小结你知道角是如何推广的吗?象限角是如何定义的呢? 3你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗? 四当堂检测1.设, ,那么有(? ). A. B. C.( ) D. 2.用集合表示: (1)各象限的角组成的集合. (2)终边落在
10、轴右侧的角的集合. 3.在 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 (1) ;(2) ;(3) . 3.解:(1) 与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角; (2) 与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角; (3) 所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.课后练习与提高 1. 若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?2. 下列命题正确的是: ( ) (A)终边相同的角一定相等。 (B)第一象限的角都是锐角。 (C)锐角都是第一象限的角。 (D)小于的角都是锐角。 3. 若a是第一象限的角,则是第 象限角。 4.一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_.
11、5.集合M=k,kZ中,各角的终边都在() A.轴正半轴上, B.轴正半轴上, C. 轴或 轴上, D. 轴正半轴或 轴正半轴上 6.设 , C=| k180o+45o ,kZ , 则相等的角集合为_ _.参考答案 1. 解:2小时40分小时, 故分针走过的角为480。 2. C 3. 一或三 4 5. C 6. _B=D,C=E 1. 1.2 弧度制 【教学目标】 了解弧度制,能进行弧度与角度的换算 认识弧长公式,能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深. 了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题 【教学重难点】 重点:
12、了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算难点:弧度的概念及其与角度的关系 【教学过程】 (一)复习引入 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题: 初中的角是如何度量的?度量单位是什么? 1的角是如何定义的?弧长公式是什么? 角的范围是什么?如何分类的? (二)概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制? 1.自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题: 1角的弧度制是如何引入的? 2为什么要引入弧度制?好处是什么? 3弧度是如何定义的? 4角度制与弧度制的区别与联系? 2.学生动手画图来探
13、究: 1平角、周角的弧度数 2角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系? 3.角度制与弧度制如何换算?rad 1 归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是: 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 30 90 120 150 270 0 例1、把下列各角从度化为弧度: 1 (2) 341 (2) 3 4 变式练习:把下列各角从度化为弧度: 122 o30 (2)?210o31200o 解:1(2)3 例2、把下列各角从弧度化为度: (1) 2 3.5 3 24(1)108 o 2200.5 o3114
14、.6 o445 o把下列各角从弧度化为度: (1)(2)? (3) 解:(1)15 o(2)-240 o (3)54 o 弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式:因为(其中表示所对的弧长),所以,弧长公式为.扇形面积公式:.以上公式中的必须为弧度单位. 例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,求该扇形的面积。因为2R+2R8,所以R2,S4 1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。 答案:2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 2 倍。3、若
15、2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2 .4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦的长度为,所对的圆心角的弧度数为 .课堂小结:1、弧度制的定义;2、弧度制与角度制的转换与区别;3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用; (四)作业布置 习题1.1A组第7,8,9题。 (五)课后检测1.在中,若,求A,B,C弧度数。答案:AB C2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少? 3.选做题 如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。 板书设计1.1.2 弧度制(一)复习引入概念形成 例1 例2(三)弧度下的弧长
16、公式和扇形面积公式 例3 小结: 一、预习目标: 1.了解弧度制的表示方法; 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制? 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:角的弧度制是如何引入的?为什么要引入弧度制?弧度是如何定义的?角度制与弧度制的区别与联系? 1、平角、周角的弧度数? 2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系? 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式(为以.作
17、为圆心角时所对圆弧的长,为圆半径); 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点 弧度与角度之间的换算; 弧长公式、扇形面积公式的应用。 三、学习过程 (一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定角的?角度制的单位有哪些,是多少进制的? (二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制?弧度制。我们规定叫做1弧度的角,用符号 表示,读作。练习:圆的半径为,圆弧长为、的弧所对的圆心角分别为多少? 思考:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?由上可知:如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么,角的弧度数的绝对值是:,的正负由 决定。正角的弧度数是一个,负角的弧度
18、数是一个 ,零角的弧度数是 。我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或经常省略,即只写一实数表示角的度量。当弧长且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是 .(三)角度与弧度的换算 试一试:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整1 (2) 34210o31200o (3) (四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系. 扇形面积公式: 变式练习1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。2、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 倍。3、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的
19、扇形面积是 . 1、弧度制的定义; 3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用; (七)作业布置 习题1.1A组第7,8,9题。1. 2.1任意角的三角函数 【教学目标】 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定
20、义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】 提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾. 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; ;对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段的长
21、的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题任意角的三角函数. 二、【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,
22、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: 1叫做的正弦sine,记做,即; (2)叫做的余弦cossine,记做,即; (3)叫做的正切tangent,记做,即.当是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐
23、标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限角度制 弧度制 5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: 其中 6.三角函数线 设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.由
24、四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线. 7.例题讲解 例1.已知角的终边经过点,求的三个函数制值。 变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.,例2.求下列各角的三个三角函数值:(3).解:(1)sin00cos01tan00 (2) (3)变式训练2:求的正弦、余弦和正切值例3.已知角的终边过点,求的三个三角函数值解析:计算点到原点的距离时应该讨论a的正负变式训练3: 求函数的值域. 解析:分四个象限讨论.2,-2,0 例4
25、.利用三角函数线比较下列各组数的大小:1.与 2.tan与tan 三、【学习小结】 1本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?2你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?3请写出各三角函数的定义域;4终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?5三角函数线的做法. 四、【作业布置】 作业:习题1.2 A组第1,2题. 五、【板书设计】 1.2.1任意角的三角函数概念形成1.三角函数定义 2.三角函数线(三)例题讲解 小结:1.21任意角的三角函数 1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法. 二、预习内容: 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)
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