第二章 解三角形 单元测试北师大版必修5 1.docx

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第二章解三角形单元测试北师大版必修51

第二章测试

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系是（　　）

A．A>BB．A

C．A≥BD．不能确定

解析　由sinA>sinB知a>b，由三角形大边对大角知A>B.

答案　A

2．在△ABC中，A、B均为锐角，sinA＝，cosB＝，则cosC的值为（　　）

A.B.

C．－D．±

解析　由sinA＝，A为锐角，cosA＝，由cosB＝，sinB＝，cosC＝－cos（A＋B）＝－[cosAcosB－sinAsinB]＝－.

答案　C

3．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则B等于（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．60°或120°

解析　由正弦定理＝，∴sinB＝.

又b>a，∴B＝60°或B＝120°.

答案　D

4．在△ABC中，sin2A－sin2C＋sin2B＝sinAsinB，则C为（　　）

A．60°B．45°

C．120°D．30°

解析　由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，

整理得＝，∴cosC＝.

又C为三角形内角，∴C＝60°.

答案　A

5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

解析　由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac，

即（a－c）2＝0，∴a＝c.又B＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

答案　D

6．在△ABC中，A＝60°，a＝，则＝（　　）

A．2B.

C.D.

解析　由正弦定理可知＝＝＝2.

答案　A

7．三角形某两边之差为2，且夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的这两边长分别是（　　）

A．3和5B．4和6

C．6和8D．5和7

解析　设这两边为x，x＋2.

由题意可得S＝x（x＋2）sinθ＝x·（x＋2）×＝14，

得x＝5，或x＝－7（舍），故选D.

答案　D

8．在△ABC中，已知sinC＝2sin（B＋C）·cosB，那么△ABC一定是（　　）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等边三角形

解析　由题可知，sinC＝sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B.

∴△ABC为等腰三角形．

答案　B

9．在△ABC中，b＝8，c＝8，S△ABC＝16，则A＝（　　）

A．30°B．60°

C．30°或150°D．60°或120°

解析　S△ABC＝bc·sinA＝16，

即32sinA＝16，sinA＝.

又A为三角形的内角，∴A＝30°，或A＝150°.

答案　C

10．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（　　）

A.minB.h

C．21.5minD．2.15h

解析　如图所示，过t小时，甲船到达D点，

CD＝

＝.

∴当t＝＝时，甲、乙两船相距最近，

∴t＝×60＝min.

答案　A

二、填空题（5×5＝25分）

11．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则A＝______；

AB＝________.

解析　∵＝，

∴sinA＝.又BC

又C＝180°－A－B＝75°，∴＝.

∴AB＝＋1.

答案　45°　＋1

12．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝π，则a＝________.

解析　由正弦定理得＝，

得sinB＝.又b

∴B＝，故∠A＝π－π－＝，∴a＝1.

答案　1

13．设△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.则sinA的值为________．

解析　由余弦定理得cosA＝＝，又0

答案　

14．已知△ABC的面积为，||＝3，||＝5，且·<0，则||＝________.

解析　由题意得||·||sinA＝×3×5sinA＝，∴sinA＝.又·<0，

∴A是钝角，∴A＝120°，

||＝＝7.

答案　7

15．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两根，那么BC边长等于________．

解析　由题意得x1＋x2＝9，x1x2＝，

由余弦定理，得BC2＝x＋x－2x1x2cos60°＝49.

∴BC＝7.

答案　7

三、解答题（共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（12分）在△ABC中，C－A＝，sinB＝.

（1）求sinA的值；

（2）设AC＝，求△ABC的面积．

解　

（1）由C－A＝及A＋B＋C＝π，

得2A＝－B,0

故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.

（2）由

（1）得cosA＝，由正弦定理得

＝，∴BC＝AC＝3.

∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.

17．（12分）在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，判断△ABC的形状．

解　∵cosA>sinB，∴sin（－A）>sinB.

∵A∈，∴－A∈.

∵B∈，

且y＝sinx在上为单调增函数，

∴－A>B，∴A＋B<.

∵A＋B＋C＝π，∴C∈（，π）．

∴△ABC为钝角三角形．

18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝（sinB＋sinC，sinA－sinB），n＝（sinB－sinC，sin（B＋C）），且m⊥n.

（1）求角C的大小；

（2）若sinA＝，求cosB的值．

解　

（1）由m⊥n可得m·n＝0.

即sin2B－sin2C＋sin2A－sinAsinB＝0.

由正弦定理得b2－c2＋a2－ab＝0，

得cosC＝＝＝.

又C为三角形的内角，

∴C＝.

（2）∵sinC＝，sinA＝，

∵>，知C>A.

∴cosA＝.

∴cosB＝－cos（A＋C）＝sinAsinC－cosAcosC＝.

19．（13分）已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量m＝，n＝，a＝2，且m·n＝，△ABC的面积S＝，求b＋c的值．

解　∵m＝，n＝，且m·n＝，∴－cos2＋sin2＝.

即cosA＝－.又0

∵S＝bc·sinA＝bc·sin＝bc＝，

∴bc＝4.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝12，

∴（b＋c）2＝16，故b＋c＝4.

20．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA＋sinB的最大值．

解　

（1）由题意得absinC＝×2ab·cosC，

∴tanC＝.又C为△ABC的内角，

∴C＝.

（2）∵∠C＝，

∴sinA＋sinB＝sinA＋sin

＝sinA＋cosA＋sinA

＝sin≤.

当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号．

∴sinA＋sinB的最大值为.

21．（13分）已知向量m＝（cos，1），n＝（sin，cos2）．记f（x）＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC，求函数f（A）的取值范围．

解　（2a－c）cosB＝bcosC，由正弦定理得

（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC.

∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.

∴2sinAcosB＝sin（B＋C）．

∵A＋B＋C＝π，

∴sin（B＋C）＝sinA，且sinA≠0.

∴cosB＝，则B＝，∴0

∴<＋<，

又∵f（x）＝m·n＝sin＋，

∴f（A）＝sin＋.

故函数f（A）的取值范围是.