概率论与数理统计考试重点文档格式.docx

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互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）C

A∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）

（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

（7）概率的公理化定义

设

为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°

0≤P（A）≤1，

2°

P（Ω）

3°

对于两两互不相容的事件

，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件

的概率。

（8）古典概型

设任一事件

，它是由

组成的，则有

P（A）=

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当B

A时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（

）=1-

P（B）

（12）条件概率

定义

设A、B是两个事件，且P（A）>

0，则称

为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1

P（

/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>

0，则有

…

……

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件

、

满足

，则称事件

是相互独立的。

若事件

相互独立，且

，则有

相互独立，则可得到

与

也都相互独立。

必然事件

和不可能事件Ø

与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；

P（BC）=P（B）P（C）；

P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

满足

两两互不相容，

则有

（16）贝叶斯公式

，…，

及

0，

1，2，…，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（

），通常叫先验概率。

），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了

次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；

次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。

用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

，用

表示

重伯努利试验中

出现

次的概率，

第二章

随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量

的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量

的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

显然分布律应满足下列条件：

（1）

（2）

（2）连续型随机变量的分布密度

是随机变量

的分布函数，若存在非负函数

，对任意实数

，有

则称

为连续型随机变量。

称为

的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元

在连续型随机变量理论中所起的作用与

在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

为随机变量，

是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间

分布函数

表示随机变量落入区间（–

∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

；

是单调不减的函数，即

时，有

4°

，即

是右连续的；

5°

对于离散型随机变量，

对于连续型随机变量，

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,

P（X=0）=q

二项分布

在

重贝努里试验中，设事件

事件

发生的次数是随机变量，设为

，则

可能取值为

其中

则称随机变量

服从参数为

的二项分布。

记为

当

时，

，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量

的分布律为

的泊松分布，记为

或者P（

）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

的值只落在[a，b]内，其密度函数

在[a，b]上为常数

，即

a≤x≤b

其他，

在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

a，

1，

b。

当a≤x1<

x2≤b时，X落在区间（

）内的概率为

指数分布

，则称随机变量X服从参数为

的指数分布。

X的分布函数为

0。

记住积分公式：

正态分布

的密度函数为

为常数，则称随机变量

的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为

具有如下性质：

的图形是关于

对称的；

为最大值；

若

的分布函数为

参数

时的正态分布称为标准正态分布，记为

，其密度函数记为

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝

如果

（6）分位数

下分位表：

上分位表：

（7）函数分布

离散型

已知

的分布列为

的分布列（

互不相等）如下：

若有某些

相等，则应将对应的

相加作为

连续型

先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

第三章

二维随机变量及其分布

（1）联合分布

如果二维随机向量

（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称

为离散型随机量。

=（X，Y）的所有可能取值为

，且事件{

}的概率为pij,,称

为

=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

…

p11

p12

p1j

p21

p22

p2j

pi1

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

对于二维随机向量

，如果存在非负函数

，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a<

b,c<

d}有

为连续型随机向量；

并称f（x,y）为

=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

f（x,y）≥0;

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>

x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;

当y2>

y1时，有F（x,y2）

≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

X的边缘分布为

Y的边缘分布为

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

有零不独立

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，

h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

图3.1

图3.2

图3.3

（9）二维正态分布

是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（

，（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ（z）＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Z=max,min（X1,X2,…Xn）

相互独立，其分布函数分别为

，则Z=max,min（X1,X2,…Xn）的分布函数为：

分布

设n个随机变量

相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的

分布，记为W～

，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：

设

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）。

F分布

，且X与Y独立，可以证明

的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f（n1,

n2）.

第四章

随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P（

）＝pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），

函数的期望

Y=g（X）

方差

D（X）=E[X-E（X）]2，

标准差

矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E（Xk）=

k=1,2,

….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为

νk=E（Xk）=

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期望的性质

E（C）=C

E（CX）=CE（X）

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y），

（4）

E（XY）=E（X）

E（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

（3）方差的性质

D（C）=0；

D（aX）=a2D（X）；

E（aX）=aE（X）

D（aX+b）=

a2D（X）；

E（aX+b）=aE（X）+b

D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）

D（X±

Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

Y）=D（X）+D（Y）

2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

（n>

2）

（5）二维随机变量的数字特征

＝

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩

为X与Y的协方差或相关矩，记为

与记号

相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为