概率论与数理统计考试重点文档格式.docx

1、互斥未必对立。运算：结合率：A（BC）=（AB）CA（BC）=（AB）C分配率：（AB）C=（AC）（BC）（AB）C=（AC）（BC）德摩根率：，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：10P（A）1，2P（）=13对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P（A）为事件的概率。（8）古典概型设任一事件，它是由组成的，则有P（A）=（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，其中L为几何度量（长度

2、、面积、体积）。（10）加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）0时，P（A+B）=P（A）+P（B）（11）减法公式P（A-B）=P（A）-P（AB）当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=时，P（）=1-P（B）（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P（A）0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P（/B）=1P（/A）=1-P（B/A）（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P（A1A2An-1）0，则有（14）独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件是相

3、互独立的。若事件相互独立，且，则有相互独立，则可得到与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式满足两两互不相容，则有（16）贝叶斯公式，及0，1，2，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（），通常叫先验概率。），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）

4、伯努利概型我们作了次试验，且满足u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，第二章随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk（k=1,2,）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为P（X=xk）=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：显然分布律应满足下列条件：（1）（2）（2）

5、连续型随机变量的分布密度是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：（3）离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间分布函数表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：；是单调不减的函数，即时，有4，即是右连续的；5对于离散型随机变量，对于连续型随机变量，（5）八大分布0-1分布P（X=1）=p,P（X=0）=

6、q二项分布在重贝努里试验中，设事件事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为其中则称随机变量服从参数为的二项分布。记为当时，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为的泊松分布，记为或者P（）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。均匀分布的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数，即axb其他，在a，b上服从均匀分布，记为XU（a，b）。分布函数为xb。当ax1x2b时，X落在区间（

7、）内的概率为指数分布,0,，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为0。记住积分公式：正态分布的密度函数为为常数，则称随机变量的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为具有如下性质：的图形是关于对称的；为最大值；若的分布函数为参数时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-x）1-（x）且（0）如果（6）分位数下分位表：上分位表：（7）函数分布离散型已知的分布列为的分布列（互不相等）如下：若有某些相等，则应将对应的相加作为连续型先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）P（g（X）y），再利用变上下限积分的求导公式求出

8、fY（y）。第三章二维随机变量及其分布（1）联合分布如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。=（X，Y）的所有可能取值为，且事件=的概率为pij,称为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=（X,Y）|ab,cyx1时，有F（x2,y）F（x1,y）;当y2y1时，有F（x

9、,y2）F（x,y1）;（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布X的边缘分布为Y的边缘分布为X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F（X,Y）=FX（x）FY（y）有零不独立f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函

10、数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O1x图3.1D22图3.2D3dcab图3.3（9）二维正态分布是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（但是若XN（，（X，Y）未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定

11、义计算：对于连续型，fZ（z）两个独立的正态分布的和仍为正态分布（n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Z=max,min（X1,X2,Xn）相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min（X1,X2,Xn）的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt（n）。F分布，且X与Y独立，

12、可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff（n1,n2）.第四章随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P（）pk，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），函数的期望Y=g（X）方差D（X）=EX-E（X）2，标准差矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E（Xk）=,k=1,2,.对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k=E（Xk）=切比雪夫不等式设随机变量X具有数

13、学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质E（C）=CE（CX）=CE（X）（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），（4）E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质D（C）=0；D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）D（aX+b）=a2D（X）；E（aX+b）=aE（X）+bD（X）=E（X2）-E2（X）（5）D（XY）=D（X）+D（Y），充分条件：Y）=D（X）+D（Y）2E（X-E（X）（Y-E（Y

14、），无条件成立。而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。（4）常见分布的期望和方差pnp2n（n2）（5）二维随机变量的数字特征协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）D（Y）0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为|1，当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：cov（X,Y）=0;E（XY）=E（X）E（Y）;D（X+Y）=D（X）+D（Y）;D（X-Y）=D（X）+D（Y）.协方差矩阵混合矩对于随机变

15、量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质（i）cov（X,Y）=cov（Y,X）;（ii）cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;（iii）cov（X1+X2,Y）=cov（X1,Y）+cov（X2,Y）;（iv）cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）.（7）独立和不相关若随机变量X与Y相互独立，则反之不真。若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C（i=1,2,

16、）,则对于任意的正数，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为伯努利大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有（2）中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn（x）对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布

17、的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理为具有参数n,p（0p1）的二项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理若当，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，

18、这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中为一个连续函数。中不包含任何未知参数，则称）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中t（n-1）表示自由度为n-1的t分布。表示自由度为n-1的分布。的一个样本，而其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。（3）正态总体下分布的性质独立。第七章参数估计（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。