函数单调性教案(经典总结).doc
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【课题】函数的单调性
【教学类型】新知课
【教学目的】
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．
【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】多媒体教学设备、黑板．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
测试时间
刚记忆完毕
20分钟后
t
y
o
20
40
60
80
100
1
2
3
60分钟后
8-9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆保留量y
（百分比）
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
以上数据表明，记忆保留量y是时间t的函数.
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾
浩斯遗忘曲线”,如图.
问题:
观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发
现什么规律？
图像上有什么特征？
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，
初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：
分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
预案：
（1）函数在整个定义域内y随x的增大而增大；函数在整个定义域内y随x的增大而减小．
（2）函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述（增函数、减函数）．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：
能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案：
如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．
教师指出：
这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．
2．探究规律，理性认识
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．
3．抽象思维，形成概念
问题：
你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
方案1：
在区间上取自变量1，2,∵1<2,f
（1）（2）∴f（x）在上,图象逐渐上升
方案2:
取无数组自变量，验证随着x的增大，f（x）也增大。
方案3:
在内取任意的x1，x2且x1师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．
（1）板书定义
（2）巩固概念
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
三、掌握证法，适当延展
1.例证明函数f（x）=3x＋2在区间R上是增函数．数．
2．归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：
设值、作差、变形、断号、定论．
练习：
证明函数在上是增函数．
四、归纳小结及作业布置
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
（1）概念探究过程：
直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
（2）证明方法和步骤：
设值、作差、变形、断号、定论．
（3）数学思想方法和思维方法：
数形结合，等价转化，类比等．
2．作业
书面作业：
课本第52页习题3.2.1第1，2题．
【课后探究】：
研究函数的单调区间并证明，并结合描点法画出函数的草图．
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