抽象函数经典习题.doc

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抽象函数经典习题

新泰一中闫辉

1.若函数的定义域为,则函数的定义域为（）

A.B.C.D.

2.若

A．102B．99C．101D．100

3.定义R上的函数满足：

（）

A．B．2C．4D．6

4.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：

。

若恒成立，则实数的取值范围是___________________.

5.已知函数是定义在（0,+∞）上的增函数,对正实数,都有:

成立.则不等式的解集是_____________________.

6.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。

7.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:

.

（1）求的值;

（2）判断的奇偶性,并证明你的结论;

（3）若,,求数列{}的前项和.

8.定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），

（1）求证：

f（0）=1；

（2）求证：

对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）证明：

f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x-x2）>1，求x的取值范围。

9.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,>0.

（1）求;

（2）求和;

（3）判断函数的单调性,并证明.

10.函数的定义域为R,并满足以下条件:

①对任意,有>0;②对任意,有;③.

（1）求的值;

（2）求证:

在R上是单调减函数;

（3）若且,求证:

.

11.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.

（1）证明:

;

（2）证明:

在R上单调递减;

（3）设A=,B={},若=,试确定的取值范围.

12.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.

（1）求的值;

（2）证明:

函数是周期函数;

（3）若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.

13.函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

（1）证明：

；

（2）若成立，求x的取值范围。

14.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论

1.B

2.A

3.A

4.,解:

由得,

得

5.；解：

令，则，则………..①

∵函数是定义在（0,+∞）上的增函数

∴,……………………………………………………②

由①②得，不等式的解集为。

6.；解：

等价于

7.

（1）解：

令，则

令，则

（2）证明：

令，则，∵，∴

令，则

∴是奇函数。

（3）当时，，令，则

故，所以

∴

∵

∴，故

∴

8.

（1）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]2∵f（0）≠0∴f（0）=1

（2）令a=x，b=-x则f（0）=f（x）f（-x）∴

由已知x>0时，f（x）>1>0，当x<0时，-x>0，f（-x）>0

∴又x=0时，f（0）=1>0

∴对任意x∈R，f（x）>0

（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2-x1>0

∴

∴f（x2）>f（x1）∴f（x）在R上是增函数

（4）f（x）·f（2x-x2）=f[x+（2x-x2）]=f（-x2+3x）又1=f（0），

f（x）在R上递增

∴由f（3x-x2）>f（0）得：

3x-x2>0∴0

9.8.

（1）解：

令，则

（2）∵

∴

∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故

==

（3）任取,则

=

∴

∴函数是R上的单调增函数.

10.9.

（1）解:

∵对任意,有>0,∴令得,

（2）任取任取,则令,故

∵函数的定义域为R,并满足以下条件:

①对任意,有>0;②对任意,有;③

∴

∴

∴函数是R上的单调减函数.

（3）由

（1）

（2）知，，∴

∵

∴，而

∴

∴

11.

（1）证明:

令,则

∵当时,,故,∴,∵当时,

∴当时,,则

（2）证明:

任取,则

∵,∴0<,故<0,又∵

∴,故

∴函数是R上的单调减函数.

（3）∵

由

（2）知，是R上的减函数，∴

∵B={}=

又∵，

∴方程组无解，即直线的内部无公共点

∴，故的取值范围是-

12.

（1）解:

∵为R上的奇函数,∴对任意都有,令则

∴=0

（2）证明:

∵为R上的奇函数,∴对任意都有,

∵的图象关于直线对称,∴对任意都有,

∴用代得,

∴,即

∴是周期函数,4是其周期.

（3）当时，

当时，，

当时，，

∴

图象如下：

y

-2-10123456x

13.

（1）证明：

令，则，故

（2）∵，令，则，∴

∴成立的x的取值范围是。

14.解:

（1）由f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）得函数的对称轴为,

从而知函数不是奇函数,

由

从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;

（2）由

又

故f（x）在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

经典习题2

1.定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），

（3）求证：

f（0）=1；

（4）求证：

对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）证明：

f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x-x2）>1，求x的取值范围。

解

（1）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]2∵f（0）≠0∴f（0）=1

（2）令a=x，b=-x则f（0）=f（x）f（-x）∴

由已知x>0时，f（x）>1>0，当x<0时，-x>0，f（-x）>0

∴又x=0时，f（0）=1>0

∴对任意x∈R，f（x）>0

（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2-x1>0

∴

∴f（x2）>f（x1）∴f（x）在R上是增函数

（4）f（x）·f（2x-x2）=f[x+（2x-x2）]=f（-x2+3x）又1=f（0），

f（x）在R上递增

∴由f（3x-x2）>f（0）得：

3x-x2>0∴0

2.已知函数,在R上有定义，对任意的有且

（1）求证：

为奇函数

（2）若，求的值

解

（1）对，令x=u-v则有f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）=f（u-v）=-[f（u）g（v）-

g（u）f（v）]=-f（x）

（2）f

（2）=f{1-（-1）}=f

（1）g（-1）-g

（1）f（-1）=f

（1）g（-1）+g

（1）f

（1）=f

（1）{g（-1）+g

（1）}

∵f

（2）=f

（1）≠0

∴g（-1）+g

（1）=1

3.已知函数对任意实数恒有且当x＞0，

（1）判断的奇偶性；

（2）求在区间[－3,3]上的最大值；

（3）解关于的不等式

解

（1）取则

取

对任意恒成立∴为奇函数.

（2）任取，则www.ks5u

又为奇函数

∴在（－∞，+∞）上是减函数.

对任意，恒有

而

∴在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵为奇函数，∴整理原式得

进一步可得

而在（－∞，+∞）上是减函数，

当时，

当时，

当时，

当时,

当a>2时，

4.已知f（x）在（－1，1）上有定义，f（）＝－1，且满足x，y∈（－1，1）有f（x）＋f（y）＝f（）

⑴证明：

f（x）在（－1，1）上为奇函数；

⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f（xn）;

⑶求证

（Ⅰ）证明：

令x＝y＝0，∴2f（0）＝f（0），∴f（0）＝0

令y＝－x，则f（x）＋f（－x）＝f（0）＝0

∴f（x）＋f（－x）＝0∴f（－x）＝－f（x）

∴f（x）为奇函数

（Ⅱ）解：

f（x1）＝f（）＝－1，f（xn＋1）＝f（）＝f（）＝f（xn）＋f（xn）＝2f（xn）

∴＝2即{f（xn）}是以－1为首项，2为公比的等比数列

∴f（xn）＝－2n－1

（Ⅲ）解：

而

∴

6.已知函数的定义域为，且同时满足：

（1）对任意，总有；

（2）

（3）若且，则有.

（I）求的值；

（II）求的最大值；

（III）设数列的前项和为，且满足.

求证：

.

解：

（I）令，由（3）,则

由对任意，总有

（II）任意且，则

（III）

，即。

故

即原式成立。

7.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：

①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．

（1）若函数为理想函数，求的值；

（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；

（3）若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．

解：

（1）取可得．

又由条件①，故．

（2）显然在[0，1]满足条件①；-

也满足条件②．

若，，，则

，即满足条件③，

故理想函数．

（3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，

若，则，前后矛盾；

若，则，前后矛盾．

故

8.已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若,且对任意正整数,有,,求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下：

……，求证：

。

解：

（Ⅰ）令，得，①

令，得，，②

由①、②得，又因为为单调函数，

（Ⅱ）由

（1）得，

，

，，

（Ⅲ）由{Cn}的构成法则可知，Cn应等于{bn}中的n项之和，其第一项的项数为

[1+2+…+（n－1）]+1=+1，即这一项为2×[+1]－1=n（n－1）+1

Cn=n（n－1）+1+n（n－1）+3+…+n（n－1）+2n－1=n2（n－1）+=n3

当时，

解法2：

9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.

（1）求的值；

（2）一个各项均为正数的数列满足：

，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；

（3）在

（2）的条件下，是否存在正数，使

对一切成立？

若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.

解：

（1）∵，令，有，∴.

再令，有，∴，∴

（2）∵,

又∵是定义域上单调函数，∵，，∴……①

当时，由，得，当时，……②

由①－②，得，

化简，得　，∴，

∵，∴，即，∴数列为等差数