三角形中线与面积问题教案.docx

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课题

应用三角形中线解决图形面积问题

教师

杜浩洋北京一零一中学

教学目标

1、使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；

2、使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。

培养学生发现、猜想和论证的能力；

3、应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；

教学重点

探究三角形重心的相关结论.

教学难点

1、论证三角形重心的结论；

2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题.

教学过程

教学设计

师生活动

设计意图

一、问题引入

问题：

园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同的花卉，应该如何分配该花坛？

（1）

（2）

（3）

二、深入探究

在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。

做法：

证明：

猜想：

三角形的重心将中线分为长度为2:

1的两条线段。

证明：

结论：

三角形的重心将中线分为长度为2:

1的两条线段。

小结：

（1）三角形的中线将三角形面积等分；

（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；

（3）三角形的重心将中线分为2：

1的两部分。

三、应用练习

练习1：

如图，在中，点D，E，F，G分别为线段BC，AD，BE，CE的中点，

练习2：

如图，在中，点D是BC边上任意一点，点E，F，G分别为线段AD，BE，CE的中点，则

证明：

练习3：

如图，在中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为与的重心，则

解法1：

直接应用结论：

重心分中线为2：

1,得到面积关系。

解法2：

连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。

四、拓展

现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？

方法一：

（做三条辅助线）

方法二：

（做两条辅助线）

引入：

由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有

证明：

方法三：

（做一条辅助线）

五、课堂小结

知识方面：

1、三角形中线等分三角形的面积。

2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。

3、三角形的重心将三角形的中线分为2:

1两部分。

数学学习方法：

1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。

2、用代数方法解决几何问题。

3、转化的思想。

六、作业

1、如何将三角形面积四等分。

2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。

学生展示自己的划分结果。

通过对第

（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。

并提醒学生在划分时三等分点要标注。

通过第

（1）

（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。

老师提问：

（1）该图形是如何作图得到的？

其中点G是怎样确定的？

（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？

学生讲述自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。

教师板书证明过程。

教师提问：

重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何数量关系？

学生讲述证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。

教师提问：

（1）中线对三角形面积的作用？

（2）学到了哪些有关于重心的知识？

学生思考并口述证明过程，教师板书和修正。

教师提问：

此时图形中△EFD与△EGD的面积是否依然相等？

该如何设参数？

学生用两种方法求解。

老师提问：

这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？

教师提示：

三角形的面积等分的方法是做中线。

而四边形可以怎样划分呢？

学生做法：

连接一条对角线将四边形分成两个三角形。

连接两条对角线可以将四边形分成四个三角形。

这些做法实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三角形面积等分。

教师提问：

可否直接连接四边形对边中点，将面积进行划分在重组？

教师提示：

前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？

通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。

通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。

通过学生在的展示，提升学生自信心。

该环节的设计主要有两个目的：

（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；

（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。

培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。

规范学生几何证明的书写过程。

通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。

将所得结论应用到图形面积的求解。

通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。

几何题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。

使学生感受用代数法解决几何问题的简便。

在学习本节课之前学生对重心的认识只是三条中线的交点，而本节课后再看到重心时还应想到：

（1）重心与顶点的连线将三角形面积三等分；

（2）重心将中线分为2：

1的两部分。

将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。

拓展学生的思维能力。