优化设计课后题和大作业.doc
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机械优化设计作业
第一、机械优化设计课后练习
第一章机械优化的基本概念与数学模型
1-1.优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？
其一般表达形式是什么？
答：
由三部分组成：
设计变量、约束条件和目标函数。
优化设计一般表达形式是：
Find————设计变量
min————目标函数
s．t．————约束条件
————约束条件
式中：
1-2．建立优化设计问题数学模型的一般步骤及其需要注意的问题是什么？
答：
建立优化设计问题数学模型的一般步骤为：
（1）选取设计变量
（2）建立目标函数
（3）确定约束条件
其注意事项：
（1）设计变量
在设计过程中选择的设计变量必须都是独立变量，有明显依赖关系；设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关；设计变量的数目要适当；设计变量有显著且能直接调整控制参数。
（2）约束条件
周密分析、合理确定约束条件，从客观实际出发，且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束；各约束条件应当是独立而不矛盾；要特别注意那些对优化效果确有影响，确有限制作用的约束，应注意它们是否可以适当放松以达更好优化效果。
（3）目标函数
目标函数可能是多种，具体选哪个取决于对设计的具体要求和客观条件；根据工程实际选定最重要的为优化目标；考虑当前设计方案的实际情况；同时应考虑该指标是否容易给出数学表达式，常常以多目标优化使用更符合实际。
1-3.优化设计问题的求解方法有哪几类？
迭代法的基本思想及特点是什么？
答：
①优化设计问题的求解方法分为两大类：
简单优化问题的求解和数值迭代法。
（1）简单优化问题的求解方法：
a、解析法：
适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件解方程求解。
b、图解法：
N≤２维情况，通过作图求解，简单直观。
（2）数值迭代法——现代优化设计的基本方法
a、数学规划法：
根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。
迭代通式：
b、准则法：
多用于结构优化－复杂结构优化（隐函数）。
迭代通式为（未必收敛）
②迭代法的基本思想：
根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数下降的方向，“步步逼近”，“步步下降”或“步步登高”，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近或直至达到目标函数的最优点。
③迭代法的特点：
具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；最后得出的是逼近精确解的近似解。
1-4.欲造容积为V的长方形无盖水箱，如何选定其长、宽、高，才能使用料最少，写出数学模型。
解：
选取长（l），宽（d），高（h）为设计变量:
设计目标：
用料最省
约束条件
数学模型为：
Find
min
s.t．
第二章优化设计的最优性条件
2-1.梯度与海森阵的表达与意义是什么？
梯度与方向导有何关系？
答：
（1）梯度的表达：
为一个N维列阵
意义：
它是目标函数ƒ（X）对各个设计变量的一阶偏导数所组成的列向量，方向就是函数变化率最大的方向，用来研究多元函数沿各坐标方向的变化率。
（2）海森阵的表达：
为二阶导数
海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵，是对称方阵。
（3）梯度与方向导数的关系：
多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。
2-2、求几种特殊函数的梯度与海森阵：
线性函数：
；二次型函数：
；一般二次函数：
解：
（1）、线性函数：
设，则
所以
故：
因为，所以海森阵H（X）=0
（2）、二次型函数：
设：
为对称阵
则海森阵为：
（3）一般二次函数：
由上题结果，设A为对称阵，
则梯度为：
，
海森阵为：
2-3、多元函数的无约束极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么？
充分条件是什么？
答：
（一）多元函数的无约束极值的必要条件是：
设多元函数在处有一阶及二阶连续偏导数
（1）必要条件：
=0
（2）充分条件：
=0
H（X*）为正定或者是负定，即二阶导海森阵正定或者负定，即对任何非零N维向量Y有，正定时有极小值，负定时有极大值。
（二）多元函数的等式约束极值必要条件为Largrange条件：
在极值点X*，满足1），2），3）三个条件：
1）．
2）．
3）．正则条件；要求秩为J。
充分条件：
在Largrange条件基础上，满足目标函数的高阶条件与凸规划等理论判别。
（三）多元函数的不等式约束极值必要条件：
1）．
2）．
3）．
4）．
另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。
充分条件：
当f（X）为凸函数、可行域D为凸集的凸规划问题时，必要条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：
1）．f（X）为凸函数、可行域D为凸集
2）．
3）．
4）．
5）．
另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。
2-4、求的极值点及其性质，图解验证。
解：
由得：
得三个解及相应的函数值，如下：
，，
求导得海森阵：
H=
将代入上式得：
是正定阵，因此是局部极小值点
将代入上式得：
也是正定阵，因此也是局部极小值点。
将代入上式得：
既非正定阵，也非负定阵，因此是鞍点。
又由于，所以是最小点。
在MATLAB中画出如下图形：
从图上看出是鞍点，和是极小点，然后他们的函数值，可以看出是最小点。
与计算结果相符合。
2-5、Find
min
s.t.
检查（2，1，2），（4/3，2/3，3），（3/2，3/2，2）三点的Kuhn-Tucker条件。
解：
不等式约束极值Kuhn-Tucker条件为：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。
先判定是否为凸函数
ƒ（x）=x12+x22+x32
∂ƒ/∂x1=2x1，∂2ƒ/∂x12=2，∂2ƒ/∂x1∂x2=0，∂2ƒ/∂x1∂x3=0
∂ƒ/∂x2=2x2，∂2ƒ/∂x22=2，∂2ƒ/∂x2∂x1=0，∂2ƒ/∂x2∂x3=0
∂ƒ/∂x3=2x3，∂2ƒ/∂x32=2，∂2ƒ/∂x3∂x1=0，∂2ƒ/∂x3∂x2=0
经计算H（x）的各阶顺序主子式大于等于0，即：
H（x）半正定。
∴ƒ（x）为凸函数。
同理可知：
g（x）也为凸函数。
再求出f（X）和gj（X）在X*处的梯度：
①将x1*=（2，1，2）代入
g1（X*）=0，g2（X*）=0，g3（X*）=-2，g4（X*）=-1，g5（X*）=0
∴g1（X*）、g2（X*）和g5（X*）为起作用的约束。
则▽g1（X*）=[-1，-1，-1]T，▽g1（X*）=[0，-2，-1]T▽g5（X*）=[0，0，-1]T，
▽ƒ（X*）=[4，2，4]T
代入（j=1、2、5）即：
解得：
因为,不满足，所以对于点（2，1，2）不存在满足Kuhn-Tucker条件的。
②将x2*=（4/3，2/3，3）代入
g1（X*）=0，g2（X*）=0，g3（X*）=-4/3，g4（X*）=-2/3，g5（X*）=-1
∴g1（X*），g2（X*）为起作用的约束。
▽g1（X*）=[-1，-1，-1]T，▽g2（X*）=[0，-3，-2/3]T▽ƒ（X*）=[8/3，4/3，6]T代入即：
无解，所以对于点（4/3，2/3，3）不存在满足Kuhn-Tucker条件的。
③将x2*（3/2，3/2，2）代入
g1（X*）=0，g2（X*）=-1，g3（X*）=-3/2，g4（X*）=-3/2，g5（X*）=0
∴g1（X*）与g5（X*）为起作用的约束。
▽g1（X*）=[-1，-1，-1]T，▽g5（X*）=[0，0，-1]T，▽ƒ（X*）=[3，3，4]T
代入（j=1、5）即：
解得：
λ1=3λ5=1
∴λ1=3>0λ5=1>0
∴当λ=[30001]T时点（3/2，3/2，2）满足K—T条件。
第三章无约束规划的解法
3-1、用黄金分割法求目标函数f=x（x+2）的最优解，初始区间为[-3,5],误差ε不大于0.05。
解：
（1）a=-3，b=5
，得11次迭代能得到理想解。
在[-3，5]内取点
则
所以令，即新的区间为[-3，1.944]
（2）
则
所以令，即新的区间为[-3，0.056]
（3）
则
所以令，即新的区间为[-1.833，0.056]
（4）、
则
所以令，即新的区间为[-1.833，-0.6656]
（5）、
则
所以令，即新的区间为[-1.3871，-0.6656]
（6）、
则
所以令，即新的区间为[-1.1114，-0.6656]
（7）、
则
所以令，即新的区间为[-1.1114，-0.8359]
（8）、
则
所以令，即新的区间为[-1.1114，-0.9412]
（9）、
则
所以令，即新的区间为[-1.0464，-0.9412]
（10）、
则
所以令，即新的区间为[-1.0062，-0.9814]
（11）、
则
所以令，即新的区间为[-1.0062，-0.9909]
区间长度为：
|-0.9909-（-1.0062）|=0.0153<ε=0.05
所以，最优解：
x*=（-0.9909-1.0062）/2=-0.9986
f（x*）=-0.9986*（2-0.9986）=1
第四章线性规划与二次规划
4-1.用单纯形法求解以下线性规划：
Find
Min
S．t．
解：
引入非负松弛变量，化不等式约束为等式约束：
构造单纯形表：
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
di
（1）
0
2/3
0
1
0
0
0
0
35
（2）
0
8/15
2/5
0
1
0
0
0
70
（3）
0
2/15
3/5
0
0
1
0
0
70
（4）
3/4
7/12
1/4
0
0
0
1
0
90
（5）
1/4
5/12
3/4
0
0
0
0
1
90
（6）
-
升级会员 