全等三角形几种常见辅助线精典题型.docx
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全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常有协助线精典题型
一、截长补短
1、已知ABC中，A60o，BD、CE分别均分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判
断BE、CD、BC的数目关系，并加以证明．
A
2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的随意
一点（点B除外），作DMN60，射线MN与∠DBA外角的均分线交于点N，DM与MN有如何的数目关系?
E
OD
D
BC
N
3、如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，
∠BMC=45°，求AB的长。
ADMBE
4、已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：
BE+DF=AE.
C
5、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边
ABD、ACE，连结CD、A
M
B
BE订交于点O．求证：
OA均分DOE．
6、如下图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶
点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．
7、如下图，在ABC中，ABAC，D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且
BED2CEDBAC，求证BD2CD.
8、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，
求证：
AD均分∠CDE
二、全等与角度
A
A
A
E
N
M
BE
BC
CD
BDDC
1、如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的均分线，且ACABBD，求ABC的度
数.
2、如下图，在ABC中，ACBC，C20，又M在AC上，N在BC上，
且知足BAN50，ABM60，求NMB.C
3、在正
ABC内取一点D，使
DADB，在ABC外取一点E，使
DBE
DBC，且BEBA，求
BED.
M
N
4、如下图，在ABC中，BAC
BCA
44，M为ABC内一点，使
得MCA
30，MAC16，求BMC的度数.
A
B
5、如图：
在ABC内取一点M，使得MBA
30o，MAB10o.设ACB80o，AC
BC，求
AMC.
6、如图，点M为正方形ABCD的边AB上随意一点，MNDM且与∠ABC外角的均分线交于点N，MD与MN有如何的数目关系？
如是正五边形，正六边形呢？
参照答案：
一、截长补短
1、BECDBC，
原因是：
在BC上截取BFBE，连结OF，
A
E
OD
1
4
23
BFC
利用SAS证得BEO≌BFO，∴1
2，
∵A60，∴BOC
90o1
A120o，∴
DOE120o，
2
∴ADOE180o，∴AEOADO180o，∴13180o，
∵24180o，∴12，∴34，
利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．
2、DMMN.
过点M作MG∥BD交AD于点G，AGAM，∴GDMB
又∵∠ADMDMA120o，∠DMA∠NMB120o
∴∠ADM∠NMB，而∠DGM∠MBN120o，
∴DGM≌MBN，∴DMMN．
3、过点D作BC的垂线，垂足为E.
∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°
D
E
∵
DMCM
∴CDDM
C
=
=
∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°
AMB
∴∠ADM=∠EDC
∴△ADM≌△CDE
∴AD=DE
故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.4、延伸CB至M，使得BM=DF，连结AM.
AD
F
MBEC
∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF
∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
5、因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAEBAD60o，
则BAEDAC，所以BAE≌DAC，
则有ABEADC，AEBACD，BEDC．
在DC上截取DFBO，连结AF，简单证得ADF≌ABO，ACF≌AEO．
从而由AFAO．得AFOAOF；
由AOEAFO可得AOFAOE，即OA均分DOE．
6、如下图，延伸AC到E使CEBM.
在BDM与CDE中，因为BDCD，MBDECD90o，BMCE，
所以BDM≌CDE，故MDED.
A
N
M
BC
E
D
因为BDC120o，MDN60o，所以BDMNDC60o.
又因为BDMCDE，所以MDNEDN60o.
在MND与END中，DNDN，MDNEDN60o，DMDE，
所以MND≌END，则NEMN，所以AMN的周长为2.
7、如下图，作
BED的均分线交BC于F，又过A作AH∥EF交BE于G，交BC于H，则
知EAGDEF
1
BEFAGEBAC，从而GEAE.
2
又AGE
1
BEDCED，则AGBCEA.
2
由ABEBAEBEDBACCAEBAE可得
A
ABGCAE.
E
注意到ABCA，故有ABG≌CAE，从而BGAE，AGCE，
G
于是BGGE.
BHFDC
又由AH∥EF，有BH
HF，GH
1
EF，且AH
HD.
2
EF
FD
而CED
FED，从而CD
EC
AG
AHGH
AH
1
HD
1，
FD
EF
EF
EF
EF
2
FD
2
1
1
1
1
1
即CDHDFDHF
FD
2
BF
FDBD，故BD2CD.
2
2
2
2
8、延伸DE至F，使得EF=BC，连结AC.
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF
∴
EFBC，ACAF
A
=
=
∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF
∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF
即AD均分∠CDE.
F
BE
CD
二、全等与角度
1、如下图，延伸AB至E使BEBD，连结ED、EC.
A
由ACABBD知AEAC，
而BAC60o，则AEC为等边三角形.
BDC
注意到EADCAD，ADAD，AEAC，
E
故AED≌ACD.
从而有DEDC，DECDCE，
故BEDBDEDCEDEC2DEC.
所以DECDCE20o，ABCBECBCE60o20o80o
【另解】在AC上取点E，使得AEAB，则由题意可知CEBD.
A
在ABD和AED中，ABAE，BADEAD，ADAD，
E
BDC
则ABD≌AED，从而BDDE，
从而有DECE，ECDEDC，
AEDECDEDC2ECD.
注意到ABDAED，则：
ABC
ACB
ABC
1
ABC
3
ABC180o
BAC120o，
2
2
故ABC80.
【评论】由已知条件能够想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角均分线AD能够结构全等三角形.相同地，将AC拆分红两段，以后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然
的.
需要说明的是，不论采纳哪一种方法，都表现出对于角均分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方
法.
2、过M作AB的平行线交BC于K，连结KA交MB于P.
连结PN，易知APB、MKP均为正三角形.
因为BAN50，ACBC，C20，
所以ANB50，BNABBP，BPNBNP80，
则PKN40，KPN180608040，
故PNKN.从而MPN≌MKN.
从而有PMN
1
30
KMN，NMBKMP
2
3、如下图，连结DC.因为AD
BD，AC
BC，CD
CD，
则ADC≌BDC，
故BCD30o.
而DBEDBC，BEABBC，BDBD，
B
所以BDE≌BDC，
故BEDBCD30o.
4、在ABC中，由BACBCA44可得ABAC，ABC92.
如下图，作BDAC于D点，延伸CM交BD于O点，连结OA，
则有OACMCA3
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