高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案1北师大版选修11Word下载.docx

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　　显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：

　　②若，则是的必要条件；

　　③若，则是的充要条件；

　　④若，且，则是的既不必要也不充分条件．

　　（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

（二）教法建议

　　1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．

　　2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

　　3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

　　4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

教学过程设计

1．复习引入

　　练习：

判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若，则；

（2）若，则；

　　（3）全等三角形的面积相等；

　　（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

　　（5）若，则；

　　（6）若方程有两个不等的实数解，则．

（学生口答，教师板书．）

（1）、（3）、（6）是真命题，

（2）、（4）、（5）是假命题．

　　置疑：

对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

　　答：

看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．

　　对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．

　　2．讲授新课

　　（板书充分条件的定义．）

　　一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．

　　提问：

请用充分条件来叙述上述

（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“，”是“”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

　　（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．

　　从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

　　提出问题：

用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；

（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；

　　（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

　　（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

　　（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；

　　（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．

　　总结：

如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

　　例1 

（用投影仪投影．）

B

A是B的什么条件

B是的什么条件

是有理数

是实数

、是奇数

是偶数

是4的倍数

是6的倍数

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

　　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　③、是奇数，那么一定是偶数；

是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；

　　④表示或，所以是成立的必要非充分条件；

2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案2北师大版选修1-1

课题

充分条件和必要条件

1）理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；

2）会判断充分条件，必要条件和充要条件．

3）从集合的观点理解充要条件。

4）会证明简单的充要条件的命题。

重点

充分条件，必要条件和充要条件的判断．

难点

充要条件的理解和充要条件的命题的证明。

【知识点梳理】

1、命题“若p则q”为真，记作pq；

“若p则q”为假，记作“pq”.

2、充分与必要条件：

①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.

②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.

3、充分、必要条件与四种命题的关系：

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若p则q”都是真命题.

②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。

4、充要条件的判断方法：

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么；

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：

直接证法或间接证法，集合思想）；

⑶确定条件是结论的什么条件.

【典型例题分析】

例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）是的___________________条件；

（2）是的___________________条件；

（3）是的___________________条件；

（4）是或的___________________条件.

分析：

从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.

解：

（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.

（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.

（3）当时，均不存在；

当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.

（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.

点评：

判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；

若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；

若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；

若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.

在判断时注意反例法的应用.

在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.

例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.

将各个命题间的关系用符号连接，易解答.

故p是s的的充要条件.

将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.

例3.已知，

，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.

由题知：

，

是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.

，即

得.

故m的取值范围为.

对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：

若集合，则是的充分条件；

若集合，则是的必要条件；

若集合，则是的充要条件．

例4.求证：

关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．

充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．

证明：

必要性：

若是方程的根，求证：

．

是方程的根，，即．

充分性：

关于x的方程的系数满足，求证：

方程有一根为－1．

，，代入方程得：

得，是方程的一个根．

故原命题成立．

在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：

充分性和必要性，缺一不可

【小结】

1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；

会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：

3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力

【课堂练习】

【基础达标】

1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．

（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．

（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的__必要不充分条件．

（4）已知，，那么是的____必要不充分___条件．

3.函数过原点的充要条件是．

4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；

②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>

b”是“a2>

b2”的充分条件；

④“a<

5”是“a<

3”的必要条件.

其中真命题的序号是____②_④___．

5.若，则的一个必要不充分条件是．

【能力提高】

必要不充分

6．设集合，，则“”是“”的__________条件．

7．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。

现有下列命题：

①是的充要条件；

②是的充分条件而不是必要条件；

③是的必要条件而不是充分条件；

④的必要条件而不是充分条件；

⑤是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．

8．已知条件

，条件

．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

，若是的充分不必要条件，则．

若，则，即；

若，则

解得．

综上所述，．

【探究创新】

9．已知关于x的方程

，．求：

（1）方程有两个正根的充要条件；

（2）方程至少有一个正根的充要条件．

（1）方程

有两个正根的充要条件

设此时方程的两实根为，，则

，的正数的充要条件是．

综上，方程有两个正根的充要条件为或．

（2）

方程有两个正根，由

（1）知或．

当时，方程化为，有一个正根．

方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是

即．

综上，方程至少有一正根的充要条件是或．

【课后作业】

1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分

充分不必要

条件．

2．已知p：

1＜x＜2，q：

x（x－3）＜0，则p是q的条件．

3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件．

4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件．

5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x||x－b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是．

6．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：

①的充要条件是card=card+card；

②的必要条件是cardcard；

③的充分条件是cardcard；

④的充要条件是cardcard.

其中真命题的序号是_①②__．

7．已知函数，求证：

函数是偶函数的充要条件为．

证：

定义域关于原点对称．

，，

所以，所以为偶函数．

因为是偶函数，则对任意x有，

得

，即，所以．

综上所述，原命题得证．

作业