人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的判定》练习题含答案Word文档格式.docx
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A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°
，∠BAD＝90°
，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC
5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
B．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β
C．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β
二、填空题
6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8.如图所示，在三棱锥SABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝
，则二面角SBCA的大小为________．
三、解答题
9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：
面A1CD1⊥面C1BD.
10．如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°
，O为BC的中点．
（1）证明SO⊥平面ABC；
（2）求二面角ASCB的余弦值．
B级 能力提升
1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（ ）
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
2．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝
，则二面角ABDP的度数为________．
3．（2015·
课标全国Ⅰ卷节选）如图所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°
，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：
平面AEC⊥平面AFC.
参考答案
答案：
C
解析：
因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m⊂α，所以α⊥β.
因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°
.
A
由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.
D
α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.
如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
面面垂直的判定定理
可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°
45°
如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.
因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，
所以∠SOA是二面角SBCA的平面角．
在△AOB中，∠AOB＝90°
，∠ABO＝60°
，AB＝1，
所以AO＝1·
sin60°
＝
.同理可求SO＝
又SA＝
，所以△SOA是等边三角形，
所以∠SOA＝60°
，所以二面角SBCA的大小为60°
60°
因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD，
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥BD.
又因为AA1∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACA1，
又因为A1C⊂平面ACA1，
所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C，
因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD，
因为A1C⊂平面A1CD1，
所以面A1CD1⊥面C1BD.
（1）证明：
如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.
连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OC＝
SA，且AO⊥BC.
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO＝
SA.
从而OA2＋SO2＝SA2，
所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO.
又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.
（2）解：
取SC的中点M，连接AM，OM.
由
（1）知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，
得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM＝
SA，AO＝
SA，
故sin∠AMO＝
所以二面角ASCB的余弦值为
因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.
又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.
过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．
因为由AB＝3，AD＝4知BD＝5，
又AB·
AD＝BD·
AE，
所以AE＝
所以tan∠AEP＝
.所以∠AEP＝30°
30°
连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°
，可得AG＝GC＝
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝
，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝
，故DF＝
在Rt△FDG中，可得FG＝
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝
，DF＝
，可得EF＝
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
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