线性代数学习体会与理解Word文件下载.docx

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数列的定义是按一定顺序排列的一列数，怎么理解数列，和现实世界怎么建立联系？

首先从几何上来了解数列，一个数a表示了一个数轴上的点，如P（80），那么要表示平面上的点P呢，那得用P（x，y）来表示，x和y是平面上的点的坐标，实际上就是2个数，如点P（80，90）。

对于空间上的点P，就得用P（x,y,z）来表示，如P（80，90.70）。

如果坐标原点用O表示，那么有向线段OP就表示向量。

这就是数学和物理上通常的向量解释——向量是有大小也有方向的量。

如果我们把表示点的括号前面的P去掉，写成（80）、（80，90）、（80，90，70），然后摆在你面前，你还能知道它们代表什么意思么？

显然那是不知道的，可是当在数组旁边加上P，P（80）、P（80，90）、P（80，90.70），通过点的常用表示方法我们就知道括号里的数列是表示点的位置，那么如果我改一下，把P换成

、

、

通过这样的表示方法，我们就可以知道，相同的向量，可以是描述点的坐标，也可以是描述的是张三的考试成绩好坏的，描述张三成绩好坏需要描述三个方面即数学、语文、英语（3维向量时）的成绩。

因此，2维或3维向量是用来描述事物的2个或3个可度量特性的，描述几何上的点只是2维或3维向量其中一个应用。

也就是说，对于2维和3维向量，它可以用来描述几何上点的坐标，也可以用来描述其他事物的可度量特征的。

因此，对于2维或3维向量，我是这么理解的1、1、2维和3维向量在几何上可以表示为平面或空间上的一个点，特定的点集（向量几何）就组成了几何图形；

2、2维或3维向量是从现实世界中抽象出来表征事物可度量的特征的；

3、向量也是可以用来解决现实中许多实际问题的一种工具，比如解N次方程，解平面或立体解析几何范围内的问题等等。

三、N维向量的理解：

2维或3维向量往往是借助对平面或立体图形的理解建立起来的，了解了2维或3维向量之后很自然的在脑海里产生这样的问题：

那么对于4维向量组合成的图形会是怎么样的？

5维，6维还有更高维的图形会怎样？

为这个问题我纠结了很长时间，但有一天我突然发现，这个问题根本就不是问题，一秒钟都不应该浪费在这上面。

原因何在？

（20120229，先写到这，以后再接着写）20120301我们先来了解次声波、声波和超声波，人耳的听觉范围是20——20KHz，老鼠可听到90KHz，超过20KHz的声音人耳听不到，为超声波，低过20Hz的人耳也听不到，为次声波。

对于低频的如100Hz听起来是很沉闷的嗡嗡声，高频的如10Khz时是刺耳的唧唧声，那么你现在问我，“对于50Khz的声波，是什么声音？

“，我的回答就是：

”我的耳朵听不到，没声音。

50KHz声音是给老鼠听的，不是给我听的，所以这个问题没有什么意义，等我有了老鼠的耳朵，我会告诉你它是个怎么样的声音，可是即便告诉你这是什么样的声音，你可能也只有装上鼠耳才会知道这个声音正真是怎么样的。

“那么现在你再问我“5维，6维还有更高维的图形会怎么个样子的”，我会那怎么么回答：

“我的身体器官无法感知高维的物体形状，这个问题你只能去问高维生物，可是即便高维生物告诉你它是什么形状了，你还是无法想象得出来。

所以根本不用去考虑这个毫无意义的问题，因为高维向量这个工具本身就不是应用在这2、3维的解析几何领域里的。

”现在再问个问题：

“X射线是什么颜色的？

”我想你会回答我“你怎么会问我这个没意义的问题？

只有在可见光频段的电磁波在人眼中才有颜色，X射线已跑出这个频段，它可以应用在别的领域，但它无法应用于色彩这个领域。

“

啰啰嗦嗦一大堆，其实无非是想说明:

不用纠结于高维的物体或图形是个什么样的，这样的物体或图形在我们现实中不存在的。

既然不存在，就没必要去老想它存在的话会是个什么样的。

现在我们来看下N维向量的定义：

N个有序的数所组成的数组成为N维向量，其实刚才在二、部分中提到的数列，当它个数为N个时就是个N维向量，它是2、3维向量的推广，一个N维向量它可以描述某事物的N种状态或特性，如确定飞机的状态，需要用5个参数：

飞机的位置x,y,z,机身的俯仰角θ1，θ2，那么想描述飞机的状态就可以用个5维向量（x,y,z,θ1,θ2）来表示，因此N维向量可以理解为：

1、N维向量是从现实世界中抽象出来表征事物N个可度量的特征的；

2、N维向量也是可以用来解决现实中许多实际问题的一种工具，比如解N次方程，解平面或立体解析几何只是N维向量这种工具的一个应用等等。

四、有关向量的一些概念:

单个向量描述了1个事物的的N个特征，若干个（m个）同维数的向量就描述了m个事物的N个特征，这m个向量的集合就叫向量组。

四、矩阵概念的理解1：

20120302

1、先来看下矩阵的定义：

一个排成m行n列的数表就是一个

m×

n矩阵，若m=n，则为n阶方阵。

可用在数表外加个括号表示，也可用大写的A、B、C、X、Y等加下标表示。

数字一般用小写字母a,b,c加下标表示,向量用αβγ等表示。

诈一看还真不懂这矩阵，也就一个数表有什么用？

这和这个上面所说的数、向量是一样情况，我们诈一看1个数、1个数列、然后到1个数表，这一堆数字有什么用？

既然明白数、向量的含义，当然也就理解了矩阵的含义，其实它也是用来表征现实世界中事物的可度量特征的，只是向量表征的是1个事物的N个特征，而N阶方阵表征的则是N个事物的N个特征，这样一来我们就明白了当现实中某些情况我们用单个数无法表述清楚时，我们引入向量（多个有序的数）来表述，当某些情况单个向量无法表述或无法直观的表述时，我们就引入了矩阵（多个按顺序排列的同维数向量）来表述事物。

联系一下实际，数表无处不在，当我们使用一个数表来表述问题时，也就是在使用矩阵了。

这就是矩阵的一个含义。

举所学课本上2例子

列出矩阵，可以清楚表述且方便统计及数学处理。

再如

和向量类似，矩阵也可以理解为1、矩阵是从现实世界中抽象出来表征事物N个可度量的特征的；

2、矩阵也是可以用来解决现实中许多实际问题的一种工具

2、上面叙述了矩阵的其中一个含义及矩阵、向量、数之间的关系，那下面来讨论下数、向量、矩阵的运算是否相似呢？

数可看成是向量的一个特例（1维向量），向量也可看成是矩阵的的一个特例（行矩阵或列矩阵），那么向量的运算适用于矩阵运算规律、数的运算也适用于向量运算规律，三者之间的运算是有许多相似之处的,甚至连方程的表示型式都是一样的，a*x=b、A*X=B；

a+x=b、A+X=B；

数相加。

数相乘和矩阵相加、矩阵相乘是多么相像啊。

数有特别特殊的2个数0和1，方阵也有零阵O和单位阵I，数有加减乘除，矩阵同样也有，只不过除法不叫除，叫逆阵，数除可以看为数乘以数的倒数，a/b=a*b-1，a*a-1=1，同样A*A-1=I。

数里面有0是没法除的，方阵里也有一类方阵是不可逆的，类似于不能除的，也就是方阵行列式为0的矩阵。

矩阵的运算规律和逆阵的求法。

一些特殊阵的定义，如零阵、单位阵、对角阵、对称阵、阶梯阵等等不再叙述。

五、再看向量：

20100319

前面简单介绍了向量，现在再来看下向量的表示，我们来看下下面的等式，①3=1*3=2*1.5=500*（3/500）=4*（3/4）=………和②

看出什么问题来了么？

如果我们把①等式中的3看成是描述某物体的重量3斤，那么1*3中前一个数字可以看成是1斤体系，后面数字3为物体重量。

相应的2*1.5中前1个数字2可以看成是公斤体系，在公斤体系下物体重量为1.5，那么500*（3/500）可以看成是500斤体系下物体重量是3/500,原来描述物体的重量的数值是需要说明你是在哪个系下才能说得清楚你要描述的物体重量。

如果你说这物体重量为a，只要a不为0，都是对的，为什么？

现在不用说也知道为什么了。

因此要确切的表示，其实3斤应表示成=1斤*3。

那扩展到2维，3维。

。

N维去考虑呢？

道理其实是一样的，看下式子②就清楚了，前面的那个矩阵A1，A2，A3不就是刚才我们说的坐标系么，向量α1，α2，α3不就是我们要描述的同一个物体特性的向量啊，原来描述同样事物特性，你也可以用不同的向量去描述，只是你得再向量的前面填上矩阵A1、A2或A3。

而我们常说的向量（4，3）其实是按习惯针对单位矩阵I所说（4，3）T=I*（4，3）T所说的。

其实矩阵A1，A2，A3就是坐标系（把组成它的列向量叫成一组基），向量α的各分量就是坐标值。

推广到N维也是一样道理。

我们可以把放在前面的矩阵看为坐标系，后面的向量的分量看为坐标值。

那么很自然就会有一个问题：

是不是所有的矩阵放在前面都可以做为基呢？

如果不是所有的矩阵，那怎么样的矩阵才能做基？

要说明这个，先得了解向量的一些概念。

首先是1、空间，我们研究问题，往往是在一定范围内去进行研究的，超出了这个范围，往往会有不同的结论，我们定义的这个范围就是空间，数学上定义空间为一个集合，集合中的元素满足一定的性质和运算规律，那么这些元素和连同性质和运算规律就构成了你所定义的空间，那么什么是向量空间（线性空间）？

对于一个集合V，一个数域F，集合中的元素对加法和数乘封闭，且满足八条运算规律（加法交换、加法结合、零加律、1乘律、对称律、数乘结合律、数乘分配律、元素乘法分配律共八条），那么集合及其性质、运算律就可以称为在数域F上的线性空间，空间里的元素叫向量。

这里向量的概念由得到了推广，由原来的有方向和大小的量推广到N为有序数组，再推广到线性空间里的元素。

线性空间里的向量可以是N维数组、也可以是多项式，矩阵等等，只要它们满足线性空间的要求就可以称为向量。

2、其次是向量组的线性相关和线性无关：

一个向量组中若某个向量能有其他向量线性表出则向量组是线性相关的，如果任何一个向量都不能由其他的向量线性表出，则向量组是线性无关的。

3、向量组的极大无关组：

如果向量组A中有一组向量A0线性无关，且A中的向量都能由这个向量组线性表出，则称A0为A的极大无关组。

4、线性映射和线性变换：

A和B为2个集合，A中元素a按一定规则B中总有一个元素b和它对应，则规则T称为A到B的映射。

线性关系的映射即为线性映射。

（满足那2条映射规律）如果A=B，即映射只在集合A中进行的线性映射就称为线性变换。

由于矩阵就是一个向量组，所以讨论向量往往不能离开讨论矩阵，讨论矩阵也不能离开向量，要搞清什么样的矩阵才能做基，2个基之间和坐标值之间怎么变换，线性变换如何用矩阵来表示，还得再回到矩阵，结合向量再讨论一些矩阵的性质。

六、再看矩阵：

以方阵为例，前面已经讲了矩阵是一个工具、也是可以用来表征N个事物，每个事物的N个特征量的。

在五部分中还叙述了方阵还能用来表征向量所在的基（坐标系）。

另外按照线性变换的定义，我们知道矩阵还和线性变换T（α）=A*α，为一一对应关系，即一个向量α，如何能使它成为另一个向量β呢?

通过一个变换，也就是乘矩阵A就能完成，也就是A*α=β，跟过去所学的函数所类似。

如

因此矩阵可以理解为可以用来解决实际问题的一个工具，这个工具可以用来表征事物特性（数据），可以做向量的坐标系（基），可以用来表征一个变换。

研究一个对象，我们往往从研究它的特点入手，矩阵也不例外。

那么矩阵具有什么特点呢？

这些特点又包含了哪些含义？

现在我们就来看下矩阵的特点：

1、方阵的行列式拿到一个N阶方阵A，我们可以算出它的行列式的值D，那么这个值D有什么用？

大有用处，如果D不等于0，首先它说明（1-这个方阵可逆，你可以求它的逆阵）。

其次说明这个（2-组成这个N阶方阵的行向量或列向量都是线性无关）；

这（3-N个向量是N维向量空间中的一个极大无关组）；

可以（4-做为表征向量的基）；

它还说明（5-这是个满秩矩阵），秩r也是矩阵的一个重要特征，下面2、中再介绍,而且这5点还是可互推的，也就是互为充要条件。

如果D等于0呢？

它说明（1-这个方阵不可逆，无法求它的逆阵）。

其次说明这个（2-组成这个N阶方阵的行向量或列向量组是线性相关的）；

这（3-N个向量不是N维向量空间中的一个无关组）；

可以（4-不能做为表征向量的基）；

它还说明（5-这不是个满秩矩阵）。

这5点同样是互推的。

2、矩阵的秩

拿到一个矩阵A，我们可以

如果把方阵A当成是个变换来看，A*B=C（A、B、C都为方阵），或A*α=β（α、β为向量）,B通过A变成了C，α通过A变成了β,