考研数学三真题及标准答案.docx
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考研数学三真题及标准答案
2011年考研数学三真题
一、选择题（18小题,每小题4分,共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）
（1）已知当时,与是等价无穷小,则
（A） （Ｂ）
（Ｃ） （D）
【答案】C。
【解析】
【方法一】
（洛必达法则）
（洛必达法则）
（）
由此得。
【方法二】
由泰勒公式知
则
故。
【方法三】
故
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达（Ｌ'Ｈoｓpiｔａl）法则
（2）已知在处可导,且,则
（A） （B）
（C） （D）０
【答案】B。
【解析】
【方法一】加项减项凑处导数定义
【方法二】拆项用导数定义
由于，由导数定义知
所以
【方法三】排除法:
选择符合条件的具体函数,则
而对于,显然选项（A）（C）（D）都是错误的，故应选（Ｂ）
【方法四】由于在处可导，则
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微分的四则运算
（3）设是数列,则下列命题正确的是
（A）若收敛，则收敛。
（B）若收敛，则收敛。
（C）若收敛,则收敛。
（D）若收敛，则收敛。
【答案】A。
【解析】
若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛
综上所述,本题正确答案是Ａ。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件
（4）设,则的大小关系为
（Ａ） （B）
（Ｃ） （D）
【答案】B。
【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，
由于当时,
又因为为上的单调增函数，所以
故
即
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
（5）设为3阶矩阵，将第２列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第３行得单位矩阵，记，,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵,矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵
按题意，
从而，从而
所以
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵
（6）设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解,为任意常数,则的通解为
（A） （B）
（Ｃ）
（D）
【答案】Ｃ。
【解析】
因为是非齐次线性方程组的３个线性无关的解，
那么是的2个线性无关的解。
从而 即
显然，因此
由于知（A）,（B）均不正确。
又，所以是方程组的解
综上所述，本题正确答案是Ｃ。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解
（7）设与为两个分布函数,其对应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是
（A） （B）
（Ｃ） （Ｄ）
【答案】D。
【解析】
判断函数是否为概率密度,一般地说有两种常用方法：
（1）满足是概率密度的充要条件
和
（2）或者,而为分布函数
由于与为两个分布函数,显然也是分布函数,而
综上所述,本题正确答案是Ｄ。
【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度
（8）设总体的服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本,则对于统计量和,有
（A） （Ｂ）
（C） （D）
【答案】D。
【解析】
所以，，相互独立均服从
可求得
而,
所以
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布,总体个体，简单随机样本
二、填空题（91４小题，每小题4分，共2４分。
）
（9）设，则 。
【答案】。
【解析】
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算
（10）设函数,则 。
【答案】。
【解析】由,可得
所以
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算
（11）曲线=在点处的切线方程为 。
【答案】。
【解析】
方程= 两端对求导得
将代入上式，
故所求切线方程为
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线
（12）曲线直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 。
【答案】
【解析】
由旋转体公式得
综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
（13）设二次型的秩为1,的各行元素之和为3,则在正交变换下的标准形为 。
【答案】
【解析】
的各行元素之和为3，即
所以是的一个特征值。
再由二次型的秩为1是的2重特征值。
因此正交变换下标准形为
综上所述,本题正确答案是。
【考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形
（14）设二维随机变量服从正态分布，则 。
【答案】。
【解析】
服从正态分布
所以与相互独立,且
==
综上所述,本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质
三、解答题：
小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）求极限．
【解析】
【方法一】
（等价无穷小代换）
（洛必达法则）
（极限为非零常数的因子极限先求）
（洛必达法则）
＝
【方法二】
（等价无穷小代换）
（分子有理化）
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算
（16）已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值,.求.
【解析】
由链导法则，,其中.
所以
由于是的极值，则
,
令，得
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值
（17）求不定积分.
【解析】
【方法一】
令，则
【方法二】
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
（18）证明恰有两个实根。
【解析】
令,本题也就是要证明恰有两个零点
令得,则
当时，,单调减；
当时，,单调增；
当时，，单调减；
又
则为的一个零点，在内还有一个零点
故恰有两个实根。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别
（19）设函数在上有连续导数，且
，其中.求的表达式。
【解析】
化已知等式左边的二重积分为二次积分计算
等式右边的二重积分化为二次积分
可知为区域的面积,区域易得为三角形，面积为
所以
所以
两边对求导得
解得 ，由得
所以,
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义
高等数学—常微分方程和差分方程—齐次微分方程，一阶线性微分方程
（20）设向量组,,不能由向量组，,线性表示
（I）求的值；
（II）将用线性表示。
【解析】
（I）因为,所以线性无关。
那么不能由线性表示线性相关,即
所以
（II）如果方程组都有解，即可由线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解
对做初等行变换，有
所以，
【考点】线性代数—向量—向量的线性组合与线性表示,向量组的线性相关与线性无关
（21）设为３阶实对称矩阵,的秩为2,且
（I）求的所有特征值与特征向量；
（II）求矩阵
【解析】
（I）因知，所以是的特征值
又
所以按定义,是的特征值,是属于的特征向量；
是的特征值，是属于的特征向量。
是属于的特征向量,作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此
解出
故矩阵的特征值为；特征向量依次为
其中均是不为0的任意常数。
（II）由,有
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质,实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
（22）设随机变量的概率分布分别为
0
１
Ｐ
0
１
Ｐ
且
（I）求二维随机变量的概率分布;
（II）求的概率分布;
（III）求的相关系数。
【解析】
（I）由得
而
即
的概率分布的边缘分布为
－１
0
1
0
１
已知
最后可得
-１
0
1
０
0
0
1
0
（II）的可能取值,由的概率分布可得的概率分布
0
1
P
（III）由及的概率分布得
所以。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质
（23）设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域
（I）求的概率密度；
（II）求条件概率密度。
【解析】
（I）
当或时，；
当时,；
当时,
所以
（II）
等价于
在时,条件概率密度
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度,常见二维随机变量的分布
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