概率论与数理统计课后答案北邮版第四章.docx
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概率论与数理统计课后答案北邮版第四章
习题四
1•设随机变量X的分布律为
X
0
1
2
P
1/8
1/2
1/8
1/4
求E(X),E(X2),E(2X+3).
11111
【解】
(1)E(X)=(-1)012;
82842
22121212〔5
(2)E(X2)=(-1)2-02—12-22;
82844
1
(3)E(2X3)=2E(X)3=2—3=4
2
2•已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P
C5
590=0.583
C;00
呼。
=0.340
C;00
C2C3
10590=0.070冼0
C3C2
=0.007
C00
CM。
0
5=0C100
C5
晋=0
C100
故E(X)=0.58300.34010.07020.0073
-0.501,
5
2
D(X)八[Xi-E(X)]P
i=Q
=(0-0.501)20.583(1-0.501)20.340:
:
;■…川(5-0.501)20=0.432.
3•设随机变量X的分布律为
X
70
1
P
P1
P2
P3
且已知E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求P1,P2,P3.
【解】因r+p2+f3=1……①,
又E(X)=(—1)R+0畀十1^=P3—P=0.1……②,
E(X2)=(—1)2勒+02电+12匪=只+巳=0.9……
由①②③联立解得P=O.4,P2=0.1,P3=0.5.
4.袋中有N只球,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?
【解】记A={从袋中任取1球为白球},则
N
P(A)全概率公式'P{A|X二k}_P{X=k}
7
Nk1N
P{X=k}kP{X=k}
7NNk」
1n
=n£(X^n
5•设随机变量X的概率密度为
x,0乞x:
:
1,
f(x)=」2—x,1兰x兰2,
0,其他.
求E(X),D(X).
【解】E(X)
-be122
xf(x)dx=°xdx亠Ix(2「x)dx
2--21322
E(X)xf(x)dxxdx亠Ix(2-x)dx=
01
故
6•设随机变量
的数学期望•
d(X)=E(x2)—[E(X)]2T
X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量
(1)U=2X+3Y+1;
(2)V=YZ-4X.
【解】
(1)E[U]=E(2X+3Y+1)=2E(X)+3E(Y)+1
=253111=44.
(2)E[V]=E[YZ_4X]=E[YZ]_4E(X)
因Y,Z独立E(Y)_E(Z)-4E(X)
=118-45=68.
7•设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X-2Y),
D(2X-3Y).
【解】
(1)E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=33-23=3.
22
(2)D(2X-3Y)=2D(X)(-3)DY=412916=192.
8•设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(X,y)
k
0,
0:
:
x:
:
1,0:
:
y:
:
x,
其他.
试确定常数k,并求E(XY).
1X1,,
【解】因f(x,y)dxdy二dxkdyk=1,故k=2
o旳2
:
:
:
:
1x
E(XY)二xyf(x,y)dxdyxdx2ydy=0.25.
0-0
9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
0乞x岂1,1^4“),y5,
fY(y)=iy
其他;0,其他•
求E(XY).
【解】方法一:
先求X与Y的均值
12E(X)=0x2xdx3,
3
址_£v5)令z=y_5址丄"be.
E(Y)=j5ygy^=5ezidj0zz=d+516.
由X与Y的独立性,得
E(XY)=E(X)_E(Y)=26=4.
3
方法二:
利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为
fX(x)“2x,
0,
4y^)
2xe72,0_x_1,y5,
“沪皿閱⑶科。
,其他,
W,1/y_c)
E(XY)xy-2xedxdy
12(v-5)2
°2xdx®yedy6二4.
3
10.设随机变量
X,Y的概率密度分别为
fX(x)=*
2e,xa0,
fy(y)=*x兰0;
心y>0,
y乞0.
求
(1)
E(X+Y);
(2)E(2XWY2).
【解】(X)二
._xfx(x)dx.x_2e'xdx二[-xe'x]0「
0
0e-2:
e“dx=1.
02
-He+oc
E(Y)二―yf(yd0y-g
-oO
2勺°2"bC242
E(Y)yfY(y)dy「°y^^yd^4^
113
从而
(1)E(XY)二E(X)E(Y).
244
22115
(2)E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2-3
288
11.设随机变量X的概率密度为
r_k2x2
cxe
=<
0,
求
(1)系数c;
(2)E(X);(3)D(X).
22
【解】
(1)由f(x)dx=ocxe上%dx厂1得c=2k2.
:
:
:
:
2k2x2
(2)E(X)二xf(x)d(x)=ox2kxedx
12.袋中有12个零件,其中9个合格品,3个废品•安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和D(X).
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X的可能取值为0,1,2,
3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知
P{X
9
=0}0.
750,
P{X
=1}
_9_
0.204,
12
12
11
32
9
3
2
19
P{X
=2}=■:
<
-0.041,
P{X
=3}
=
X
浜=0.005
1211
10
12
11
109
于是,
得到X的概率分布表如下:
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得E(X)=00.75010.20420.04130.005=0.301.
E(X2)=02750120.204220.041320.005=0.413D(X)二E(X2)-[E(X)]2=0.413-(0.301)2=0.322.
13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为
为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:
100元和-200元
:
:
1
PWgpX—}14
P{Y=-200}=PX<1>/4e
故E(Y)=100e」/4(—200)(1-e」/4)=300e」/4-200=33.64(元).
⑶因E(XJ二u,D(XJ乂2,故E(X:
)=D(Xi)(EXJ2*2u2.
从而
盒i=1,2,…,
E(s2)=E-1-rX:
—nX2)=-^[E^X:
)—nE(X2)]
ILn-1vn-1i4
15.对随机变量X和丫,已知D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=-1,计算:
Cov(3X-2Y+1,X+4Y-3).
【解】Cov(3X-2Y1,X4Y-3)=3D(X)10Cov(X,Y)-8D(Y)
=3210(-1)-83二-28
(因常数与任一随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16•设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
J-,X2+y2兰1,f(x,y)=n
[o,其他.
试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的•
【解】设D={(x,y)|x2y2_1}.
112n12
xydxdyrsinrcosrrdrd;-0,
00
nx2-y2!
n
由此得,xy=0,故X与Y不相关•
显然fx(x)-fY(y)=f(x,y).
故X和Y不是相互独立的
17•设随机变量(X,Y)的分布律为
-10
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的•
【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的
分布律,其分布律如下表
X-101
P
3
2
3
8
8
8
Y
-1
0
1
P
3
2
3
8
8
8
XY
0
1
由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0.
从而E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知p即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的•
331
又P{X二-1}F{Y二-1}P{X二-1,丫二—1}
888
从而X与Y不是相互独立的•
18•设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求Cov(X,Y),釵丫.
1
【解】如图,Sd=,故(X,Y)的概率密度为
2
题18图
)12,(x,y)^D,
心沪0,其他.
从而
同理
所以
从而
E(X)=xf(x,y)dxdy二
1
0dx0x2d^-
11_x
E(X2)=x2f(x,y)dxdy=
11_x
0dx.0
2x2dy
22
D(X)=E(X)-[E(X)]
19.设(X,Y)
求协方差
【解】E(X)
_18
E(XY)二xyf(x,y)dxdy
Cov(X,Y)
的概率密度为
f(x,y)
二2xydxdy
D
1
dx