寿险精算习题及答案Word文件下载.docx
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II
表4乞死亡赔付现值计算表
1000*q40=1.650
1650
1601.94
1000*1|q40=1.809
1809
1705.16
1000*2^40=1.986
1986
1.03’
1817.47
1000*^q40=2.181
2181
1.03-
1937.79
1000*4〔q40=2.391
2391
2062.50
10017
9124.86
2J_2J3_4_5
1000^（q4^<
1.03+1|q4^<
1.03+2|q4^<
1.03+3^4^1.03+4|q4^1.03）=912486
（元）
则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；
II、单位赔付现值期望的方差；
III、（总）趸缴纯保费；
I、单位趸缴纯保费为，
Ai0：
3|二"
V■k〔q40=（vq40v1|q40■v2040）=（vq40■vP40q41v2P40q42）
k=0
0.00165丄（1—0.00165）x0.001812丄（1—0.00165）x（1—0.001812）x0.001993"
[1.051.0521.053
=0.00492793（元）。
II、单位赔付现值期望的方差为，
A40:
3|-（A40：
3|）v"
）k|q40-（A40：
3|）=（vq40v1|q40v2|q40）〜（Al0：
3）=°
.00444265
k=0
III、趸缴纯保费为，10000a4°
3=49.28（元）
【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%假设
x
lx=1000
（1），计算趸缴纯保费。
105
29
=100000'
1.08"
1）kP50q50k
2955_k
故，100000a50:
30|=100000、1.08«
k1—-
心5555-k
=20468.70（元）
10000011—（1/1.08）30
xx
551.081-（1/1.08）
二、终身寿险
【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；
64
k-12365
A40=為V山40=Vq40v1040v2^40…V64^40=0.18853（元）。
II、单位赔付现值期望的方差为，
2A40-（A40）2八v2（k°
^40-（人。
）2=0.00191979
III、趸缴纯保费为，10000At0=1885.29（元）
三、n年定期生存寿险
【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为
5%根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费为，a40：
20广V2020p40=0.342332（元）
II、单位赔付现值期望的方差为，v22020p4020q40=0.0313891
III、趸缴纯保费为，10000江氐為=342332（元）
纯保费+风险附加费用=100（E（z）R）=100（0.34233170.0213183）=36.365（元）
四、n年定期两全保险
【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：
解:
I、单位趸缴纯保费为，俭远严人:
词+人如晶=0.391722（元）
II、单位赔付现值期望的方差为，Var（z）二Var（z））•Var（z2）-2E（zJE（Z2）=0.004261
III、趸缴纯保费为，10000At0:
20|=391722（元）
六、延期寿险
【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付
50000元；
65-75岁死亡，赔付100000元；
在75岁后死亡，保险金为30000元。
利用生命表93U、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。
解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，
50000（M40-M65）100000（M65-M75）30000M7550000（M4°
M65）-70000M
E（z）=
D40D40D40D40
_50000（13451.43+7800.72）-70000汉4432.388QQ8487一
-9394295-元
这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即，
七、变额寿险
【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，
死亡年度末给付，年利率6%参照生命表（U,93,1000000）:
I、终身寿险；
II、20年定期寿险；
III、20年定期两全保险；
IV、延期10年终身寿险；
V、延期10年的20年定期寿险；
VI、延期10年的20年定期两全保险。
解、I、终身寿险：
Aso=M50'
D50=11729.04‘51090.53=0.229574
DA50二DM50/DD50-M50/d50=225.6235/2773.6211-（11729.04「51090.53）2=0.028642
II、20年定期寿险：
AL20|=（M50-M70）/D50=（11729.04-6149.05）/51090.53=0.109218
DA10:
20|=（DM50-DM70）/DD50-（M50-M70）2/D；
二（225.6235-60.4193）/2773.6211-（（11729.04-6149.05）/51090.53）二0.047634
III、20年定期两全保险：
A50:
20|=（M50-M70D70）/D50=（11729.04-6149.0512374.69）/51090.53=0.351429
22
DA50：
20|=（DM50-DM70DD70）/DD5^_（M5^_M70D70）/D50
0.011583
=（225.6235-60.4193209.471）/2773.6211-（（11729.04-6149.0512374.69）/51090.53）2二
IV、延期10年终身寿险：
10|As0=M60/D50=9301.66/51090.53=0.182062
222
elDA50=DM60/DD50-M6o/D50=130.1094/2773.6211-（9301.66/51090.53）=0.013763
V、延期10年的20年定期寿险：
10|A50:
20|=（M60-M80）/D50=（9301.66-2802.27）/51090.53=0.127213
122
10|DA50：
20|=（DM60-DM80）/DD50_（M60_M80）/D50
^（130.1094-18.522）/2773.6211-（（9301.66-2802.27）/51090.53）2=0.024048
VI、延期10年的20年定期两全保险：
10|人0:
20|訥60的。
D80）/D50=（9301.66-2802.274312.51）/51090.53=0.211622
=10|DA50：
20|=（DM60一DM80■DD80）/DD50-（M601M80'
D80）/D50
=（130.1094-18.52240.7625）/2773.6211-（（9301.66-2802.274312.51）/51090.53）=0.010144
第三节连续型（死亡即刻赔付）寿险趸缴纯保费
求A40和DA40。
当x=40，fx（t）二丄，0Et^100-40=60。
60
DA40=2A40-（A40）^0.06593；
【例4.10】
（x）投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。
假设余命服从常数死亡率分布，亠-0.06，
利息力6=0.03。
计算，I、Ax、DAx；
II、Pr（w兰J.9）=0.9，求J.9；
III、假设有100
个（x）独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为（VR）Ax。
在正态分布条件下
X~ftt
二二，则,
解、在常数死亡力下，tPx=exp（—fAds）=e」，4X*
2”e」y
p
解得，09■0.9；
Zagg二100_E（z）100RE（z）
III、Zagg二z■Z2■...■Z100>
N{100E（z）,100Var（z）}，根据题意,
Pr{zagg=100（1R）E（Z）}和亏00—Var（z）_100—Vag}"
95
二、延期定额寿险
利息力为、：
=0.06，生存函数S（x）=e°
04x，（x_0）。
求赔付现值zt趸缴净保费、方差和
中位数-0.05。
趸缴净保费:
方差:
ioiDA<
=doAx-（io|Ax）0.028820484
中位数005:
当事件乙=0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率，
也称为重点概率。
在本例中延期范围m=10，则，
10
P（Zt=0）=R（t：
：
10）=°
O.O4ed04tdt=0.32968
也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。
由于0.32968<
0.5，说明中位数不在重点
概率上。
则,
r
10O.O4e4.04tdt=0.5—0.32968=0.17032二土」。
4"
10=0.17032弋r=17.32867721中位数=17.33。
第五章生存年金
第一节离散型年金
1、终身生存年金
【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%根据
93U生命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。
1.052r922.7917“24700.0312各
2[（）]=10.6076
0.0511849.2184106465.3200
每年可领取金额=10000/a45=10000/15.128=661.026（元）
2、定期生存年金
【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000
元的给付，利率6%,根据93U生命表计算精算现值。
3、延期终身生存年金
【例5.3】对于（30）从60岁起每年年初6000元的终身生存年金，利率为6%试用93U生命表
求趸缴净保费。
4、延期定期生存年金
【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确
定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。
如果年金每年年初支付一次，每次支付6000元，利率6%根据93U生命表计算趸缴净保费。
解、趸缴净保费=6000（希V3030P30•40030）=6000（帝30E30•40©
30）
=11205.45
或者，趸缴净保费
1_V=6000（a和「10|360）30E30=6000（■
dD60
三、年付一次变额生存年金
1、一般变额生存年金
【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：
被保险人60-69岁每年付给6000元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。
在预定利率6%条件下，根据93U表计算趸缴净保费。
解、保费二600030E30a60:
10|700040E30a7010|800050E30a8010|
-（6000N601000N701000N80-8000N90）“D30=11455.98（元）
2、等额递增生存年金
【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一
年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。
计算这笔年金的精算现值。
解、可以理解为一个每年支付4500元的3年期等额生存年金加上一个每年递增500元的3年期
等额递增生存年金，贝
精算现值=4500a50500（la）50=（4500N51500S51）/D50=75416.67（元）
五、年付多次生存年金
1、年付r次终身生存年金
【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求趸缴净保费。
解、净保费简算法:
6000汉30a302）茫6000汉（30点30—汉30E30）=6000汉24"
60一11。
60=1035708（元）
2x1224D30
净保费简算法:
=94035.82（元）
6000过12斛.叫12-1）^06"
4730.1^1]0037.79
12x（1.06;
—1）x（1—1.06）
【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年年末获赔10000元。
如果利率6%根据93U表计算精算现值。
解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，
10000心30|600030冃302）=10000凹20阪6000竺昱11D6^=10676.33（元）
:
|D3024D30
第六章均衡净保费
第一节离散型均衡净保费
一、全期缴纳的均衡净保费
【例6.1】某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。
已知利率6%按93U表计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。
解、1000P60=1000皿9301.663530.4264（元）
N60305710.3817
【例6.2】某人40岁购买了3年期1000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付，保险费每年初
缴付保费，已知利率6%按93U表分别计算2和3年内的缴均衡净保费。
解、
【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6%
如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93U表分别计算年均衡净保费。
解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果30内均衡缴付，则有,
如果10内均衡缴付，则有,
【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后
多存活一年后死亡，保险金减少500元，保险金额减少到零时，合同终止。
若保险金额在死
亡年末付，保费5年内缴清。
利率为4%根据03M表计算年缴净保费。
解、该人购买的是定期16年递减寿险，每年递减额为500元。
均衡方程式为，
5Pa45:
5|=50°
（。
人冶词，
第二节连续型均衡净保费
【例6.5】设生存函数J1-丄（x_0），-=0.05，试求40岁的人投保终身寿险的连续
100
型均衡净保费。
解、tPx二
lxt
100—x—t
lx
100-x'
，当"
40时，fxf
则有，A=
*0
fx（t）dt二丄
60.t
0edt"
3167
所以，陽二A40
a40
A40=0.0232
1-A40
第四节一年多次缴的均衡净保费
【例6.6】
（25）投保35年期的定期寿险，保险金额为10000元，保费在每月月初缴纳，保险金
在死亡年末付给，利率4%根据93U表计算I、全期缴纳月保费；
II、10年限期缴纳的月保费。
解、I、年缴12次的年净保费：
（12）,"
1、A25:
35|M25-M60
p（）（A25:
35|）L10000
a25:
35iN_N—12T（D_D）
54683.2936-39801.6626
n25n60212（D25D60）
10000石21・65
8138148.1240-1134383.2491（367688.9906-83431.7875）
月保费为，P（12）（a25:
35）/12=1.8042
【例6.7】对于（40）的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付100000元
外，还退还过去已缴净保费的累积。
假设利率5%保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付
一次、20年付清，根据93U表计算以下几种情况的年缴均衡净保费。
I、退换保费部分不计利息；
II、退换保费部分按3%十复利；
解、设年缴均衡净保费为P,则，
I、不计利息；
已缴净保费的累积虽然不计息，但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这
就构成定期递增的寿险，其收支平衡式为，P汉a40页|=100000汉A；
0页|+卩汇（IA）；
0：
勿，解
得，
P=100000江A40勿=100000540-M60）=74629
a40：
20|—（IA）40：
20|（N40-N60）—（民0-R60+20汇M60）
II、按3%十复利：
如果退还保费以利息率j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值，即，b心=P^s刊j,其现值变量为，W=vk*汇,
（0_k_n）
n-1
E（W）二P'
vk15口仃k|qx,
收支平衡式为，Pa40:
20|=100000A：
0:
羽PS，解得,
二409.2965
100000〃40画P二
a__S
40:
20|
1000000.0493905
12.773834-0.706665
第二章责任准备金
第一节离散型责任准备金
一、将来法全期缴费责任准备金
【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。
当利率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。
解、每人年缴净保费为，
1000P4o,5|=1000^A40^=1000M4^M45=100013451.43-12667.171.876062
1-““1422016.88-1003984.10
a40:
5|
N40—■N45
1终身寿险
【例7.2】
（35）投保1单位元终身寿险，保险金在死亡年末给付，保费在每年年初缴纳。
在
利率6%条件下，运用93U表计算5V35、1（y35、
2“35。
解、5V3「M1_M5山=13451.43_14116・121422016.89=0.03558
D40N35D4093942.951985692.0293942.95
10V35-
M45M35N4512667.17
—\=
D45N35D4569496.46
14116・121003984.11=0.07957
1985692.0269496.46
20V35
M55M35N5510611.87
—-■■■■.
D55N35D5537176.27
14116.12469304-4^0.19571
1985692.0237176.27
6%
【例7.3】某人40岁投保1000元死亡年末付终身寿险，保费在每年初均衡缴付，利率为
试用93U表米用将来法计算未来各年责任准备金。
1000汉A40*
10005P40汉a40*：
5Zk|
kV40
143.19
0.00
150.38
117.71
32.67
157.87
90.93
66.94
165.68
62.45
103.23
173.81
32.18
141.63
182.27
229.57
20
349.61
30
496.91
注：
由于保费在5年内缴付，5年后的责任准备金正好等于
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