等价无穷小替换极限的计算Word格式文档下载.docx
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函数sinx是当x0时的无穷小
函数-是当X时的无穷小.
X
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；
零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
当在给定的X*下，|fx|无限增大，则称fX是X*下的无穷大，即凹fX。
显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；
无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
0ex0,
limex,
x
所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。
2.无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，
则丄为无穷小；
反之，如果fx为无穷小，且fx
fx0，则亠为无穷大。
7fx
小结：
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何
非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系：
定理1l?
mf（x）=A?
f（x）A+（x）,其中（x）是自变
X?
Xo
量在同一变化过程xXo（或x）中的无穷小.证：
（必要性）设l?
mf（x）=A,令（x）=f（x）-A,则有
x0
驭（x）=0,
f（x）A（x）.
（充分性）设f（x）=A+（x）,其中（x）是当x?
x时的无穷小，贝U
limf（x）=lim（A+（x））Alim（x）A.
X冷X冷XX。
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;
（2）给出了函数f（x）在X0附近的近似表达式f（x）?
A,误差为（X）.
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
11
例如,n时，丄是无穷小，但n个丄之和为1不是无穷小.
nn
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如:
lim
（1）n-0，limxsin—0，lim-sinx0
nnx0xxx
推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，当x?
0时,x,x2,sinx,x2sin1都是无穷小，观察各极限:
x
2
lim—0,x2比3x要快得多；
x03x
limSinX1,sinx与x大致相同
X0x
1.定义:
设，是自变量在同一变化过程中
的两个无穷小，且10.
（1）如果lim—=0,就说是比高阶的无穷小，记作=o（）;
（2）如果lim-
-C（C0）,就说与是同阶的无穷小；
特殊地如果lim—=
：
1,则称与是等价的无穷小，记作~
⑶如果limC（C?
0,k0）,就说是的k阶的无穷小
例1证明：
当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小
证
例2当x0时，求tanxsinx关于x的阶数.
2.常用等价无穷小:
当x°
时,
tanx〜x
（4）
arctanx〜x
（5）ln（1x）〜x；
（6）
（7）1cosx〜—
（8）（1x）1
（9）
ax-1〜Ina*x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式
lim—1,
lim
0,即
0（）,于是有
o（）.
例如sinx
122
xo（x）,cosx1xo（x）.
3.
等价无穷小替换
定理:
且lim一存在,贝ylim—lim一.
证:
—lim（———）
lim—lim—
lim一lim
tan22x
（1）求lim
x01cosx
•.?
（2）
（1）当x0时,1
12
cosx〜x,
tan2x~2x.
x0cosx1
故原极
2限"
im^Lx?
012
（2）原极限
=lim
o12
例4
求lim
tanxsinxsin32x
错解：
当x
0时，tanx~x,sinx
正解:
0时,sin2x〜2x,tanx
〜X.原式
xxlim3x0（2x）
=0
13
sinxtanx（1cosx）〜x3,
故原极限=恥話右
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
三、极限的简单计算
于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，
l叫心就代不进去了，但我们看出了这是一个2型
X3X30
未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2.分解因式，消去零因子法
例如，limx—9limx36。
x3x3x3
3.分子（分母）有理化法
limx253
x22x1、5
.x253..x253、2x15
5v2x1.5xx253
x2.2x1
limX4
x22x4
x2x2
22x2
又如，
lim-x21x
4.
化无穷大为无穷小法
23+1Z
例如，Iim3x2+x「7=lim+『了=x2x-x+4x14
2-匚+疋
子分母同时除以x2这个无穷大量
2，实际上就是分
由此不难得出
m
..a°
xlim
xbox
m1
qx
nr
dx
ambn
aobo0,
n
1
1（分子分母同除丘）
再如,
2n
3n
1，（分子分母同除5n）
5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
xarctanx1
3x2x1
0,（无穷小量乘以有界量）
x1
4x1
x22x3
解：
！
m（x22x3）0,商的法则不能用又呵你1）30,妁―V0°
由无穷小与无穷大的关系,得im仝丄.
X1X2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节
例3—例5。
6.利用两个重要极限求极限（例题参见§
1.4例3—例5）
7.分段函数、复合函数求极限例如，设f（x）12x，%0求limf（x）.
x1,x0x0
x0是函数的分段点，两个单侧极限为
limf（x）lim（1x）1,limf（x）lim（x21）1,
x0x0x0x0
左右极限存在且相等，故xm）f（x）1.
【启发与讨论】
思考题1:
当X?
0时,y^sin丄是无界变量吗？
是无穷大吗？
xx
y（xo）2k^，当k充分大时，y（x。
）M.无界，
（2）取xo（k0,1,2,3,）
2k
当k充分大时,Xk,但y（xj2ksin2k0M.不是无穷大.
结论：
无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：
若f（x）0，且limf（x）A，问：
能否保证有A0的结论？
试举例说明.
不能保证.例f（x）丄x0,f（x）-0
limf（x）lim-A0.
xxx
思考题3:
任何两个无穷小量都可以比较吗？
不能•例如当x时f（x）丄,g（x）皿都是
无穷小量
但lim鹽limsinx不存在且不为无穷大，故当xxf（x）x
时f（x）和g（x）不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
t3sinxx2cos-d）求00（1cosx）ln（1：
）
【分析】“0”型，拆项
【分析】“抓大头法”，用于-型
54/3—
原极限=lim54x/3=号，或原极限
x2J阳2
5x55
=!
im2T2
（4）lim（x2xx）；
【分析】分子有理化
原极限=何宀=何占弓
2）
（5）
【分析】型，是不定型，四则运算法则无
法应用，需先通分，后计算
解:
1Xx2x1_3
）=lim2—lim
x2x2x4x2x24
【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则
失效，使用分母有理化消零因子
原极限—limf-x：
93—6
x0x2
（7）
12n
求lim（—222）.
nnnn
n时,是无穷小之和.先变形再求极限.
12lim（-2-2nnn
n.12n广丁⑴1）-111
2）nim2nim2nim
（1）
nnnnnn2n2
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的
1、主要内容:
两个定义;
四个定理;
三个推论.
2、几点注意：
（1）无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高（低）阶无穷小;
等价无穷小;
无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）
a.多项式与分式函数代入法求极限；
b.消去零因子法求极限；
c.无穷小因子分出法求极限；
d.利用无穷小运算性质求极限；
e.利用左右极限求分段函数极限.
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