初中经典几何证明练习题含答案之令狐文艳创作Word文件下载.docx

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∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°

-75°

×

4=60°

∵MP=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形

3、已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

∠DEN＝∠F．

证明:

连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=

AD

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=

BC

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

经典题

（二）

△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：

AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：

AH＝AO．（初二）

（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

∵

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=

∠BOC=60°

∴∠OBM=30°

∴BO=2OM

由

（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

AP＝AQ．

作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

∴∠AEF=∠PAF

∵∠PAF+∠QAF=180°

∴∠FCQ=∠QAF

∴F、C、A、Q四点共圆

∴∠AFQ=∠ACQ

又∠AEP=∠ACQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

AP＝AQ．（初二）

作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG

∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D，∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC

∴△ABG∽△ADF

∴∠AGB=∠AFD

∴∠AGE=∠AFC

∵AM=AN，

∴OA⊥MN

又OG⊥BE，

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE

同理∠AOP=∠AFC

∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°

，OA=OA

∴△OAQ≌△OAP

∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

BC=2OP（初二）

分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°

，BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

CE＝CF．（初二）

连接BD交AC于O。

过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=

BD=

AC=

AE

∴∠EAG=30°

∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75°

又∠AFD=90°

∴∠CFE=∠AFD=75°

=∠AEC

∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直

线EC交DA延长线于F．

AE＝AF．（初二）

连接BD，过点E作EG⊥AC于G

∴BD⊥AC，又EG⊥AC

∴EG=OD=

CE

∴∠GCE=30°

∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

PA＝PF．（初二）

过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H

∵CD⊥CG∴HCGF是矩形

∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG

∴HCGF是正方形

∴CG=GF

∵AP⊥FP

∴∠APB+∠FPG=90°

∵∠APB+∠BAP=90°

∴∠FPG=∠BAP

又∠FGP=∠PBA

∴△FGP∽△PBA

∴FG：

PB=PG：

AB

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．

AB＝DC，BC＝AD．（初三）

过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，

连接OH、MH、EC

∵EH=FH

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°

又PC⊥OC，∴∠POC=90°

∴P、C、H、O四点共圆

∴∠HCO=∠HPO

又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK

∴∠HCM=∠HEM

∴H、C、E、M四点共圆

∴∠ECM=∠EHM

又∠ECM=∠EFA

∴∠EHM=∠EFA

∴HM∥AC

经典题（四）

△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求∠APB的度数．（初二）

解：

将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°

得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是正三角形

∴∠BQP=60°

，PQ=PB=3

在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5

∴△PQC是直角三角形

∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°

+90°

=150°

∴∠APB=∠BQC=150°

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

∠PAB＝∠PCB．（初二）

过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，

两平行线相交于点E，连接BE

∵PE∥AD，AE∥PD

∴ADPE是平行四边形

∴PE=AD，

又ABCD是平行四边形

∴AD=BC

∴PE=BC

又∠ADP=∠ABP

∴∠AEP=∠ABP

∴A、E、B、P四点共圆

∴∠BEP=∠PAB

∴∠PAB=∠PCB

又PE∥AD，AD∥BC

∴PE∥BC

∴BCPE是平行四边形

∴∠BEP=∠PCB

∵ADPE是平行四边形

∴∠ADP=∠AEP

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：

AB·

CD＋AD·

BC＝AC·

BD．（初三）

在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD

∴∠CAD=∠CBD

∴△BEC∽△ADC

∴AD·

BC=BE·

AC……………………①

∵∠BCE=∠ACD

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE

即∠BCA=∠ECD

①+②得AB·

CD+AD·

BC=DE·

AC+BE·

AC

=（DE+BE）·

=BD·

∴∠BAC=∠BDC

△BAC∽△EDC

∴AB·

CD=DE·

AC……………………②

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：

∠DPA＝∠DPC．（初二）

过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE

∴S△ADE=

AE·

DG，S△FDC=

FC·

DH

又S△ADE=S△FDC=

S□ABCD

∴AE·

DG=FC·

又AE=CF

∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上

∴∠DPA＝∠DPC

经典题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：

≤L＜2．

（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°

的△BEF，连接PE，

∵BP=BE，∠PBE=60°

∴△PBE是正三角形。

∴PE=PB又EF=PC

∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）

在△ABF中，∠ABP=120°

∴AF=

∴L=PA+PB+PC≤

（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G

则△ADG是正三角形

∴∠ADP=∠AGP，AG=DG

∵∠APD＞∠AGP

∴∠APD＞∠ADP

∴AD＞PA…………………………①

又BD+PD＞PB……………………②

CG+PG＞PC……………………③

①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC

∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L

∵AB=AC=1∴L＜2

由

（1）

（2）可知：

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

将△BCP绕点B顺时针旋转60°

得△BEF，连接PE，

则△BPE是正三角形

∴PE=PB

∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF

∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）

此时AF=PA+PE+EF

过点F作FG⊥AB的延长线于G

则∠GBF=180°

-∠ABF=180°

-150°

=30°

∴GF=

，BG=

∴PA＋PB＋PC的最小值是

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

将△ABP绕点B顺时针旋转90°

则△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=

PB=

2a=2

a

又QC=AP=a

∴QP2+QC2=（2

a）2+a2=9a2=PC2

∴∠BQC=135°

∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·

CQ·

cos∠BQC

=PB2+PA2-2PB·

PAcos135°

=4a2+a2-2×

2a×

a×

（-

）

解得BC=

∴正方形的边长为

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°

，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°

，∠EBA＝20°

，求∠BED的度数．

在AB上取一点F，使∠BCF=60°

，CF交BE于G，连接EF、DG

∵∠ABC=80°

，∠ABE=20°

，∴∠EBC=60°

，又∠BCG=60°

∴△BCG是正三角形∴BG=BC

∵∠ACB=80°

，∠BCG=60°

∴∠FCA=20°

∴∠EBA=∠FCA

又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF

∴∠AFE=∠AEF=

（180°

-∠A）=80°

又∵∠ABC=80°

=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°

∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°

∵ACB=80°

，∠DCA=30°

∴∠BCD=50°

∴∠BDC=180°

-∠BCD-∠ABC=180°

-50°

-80°

=50°

∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG

∠BGD=∠BDG=

-∠ABE）=80°

∴∠FGD=180°

-∠BGD-∠EGF=180°

-60°

=40°

又∠DFG=180°

-∠AFE-∠EFG=180°

∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD

∴∠BED=∠FED=

∠FEG=

60°

5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。

∵∠ACD=∠BCD∴

∴AD=BD

∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形

∵∠ACB=90°

，AC=6，BC=8∴AB=10

∴AD=AB·

cos∠DAB=10×

=5

又AE⊥CD，∠ACD=45°

∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=AC·

cos∠CAE=6×

=3

在△ADE中，DE2=AD2-AE2∴DE2=

∴DE=

∴CD=CE+DE=3

+

∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴

∴PC=

PD，PA=

PD∵PC=PA+AC∴

PD=

PD+6解得PD=