1、PA=PD,BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA,CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP,MP=CP BP=CP BPC是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、FDENF证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MGCN=DN,CG=DGGNAD,GN=ADDEN=GNMAM=BM,AG=CGGMBC,GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F经典题(二)ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OMBC于M(1)求证:A
2、H2OM;(2)若BAC600,求证:AHAO(初二)(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OGAD于GOGAFAG=FGF=ACB又ADBC,BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD又ADBC,OMBC,OGAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM(2)连接OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC,OMBCBOM=BOC=60OBM=30BO=2OM由(1)知AH=2OMAH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线,过O作
3、OAMN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.APAQ作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D四点共圆AEF+FCQ=180EFAG,PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEFAEF=PAFPAF+QAF=180FCQ=QAFF、C、A、Q四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQAFQ=AEP3、设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、QAPAQ(初二)作OFCD于F,O
4、GBE于G,连接OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E四点共圆B=D,E=CABEADCABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN,OAMN又OGBE,OAQ+OGQ=180O、A、Q、E四点共圆AOQ=AGE同理AOP=AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90,OA=OAOAQOAPAP=AQ4、如图,分别以ABC的AB和AC为一边,在ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点,OPBCBC=2OP(初二)分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、NOF=OD,DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPABFG是正方形ABM
5、+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90,BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,AEAC,AE与CD相交于FCECF(初二)连接BD交AC于O。过点E作EGAC于GABCD是正方形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30AC=AEACE=AEC=75又AFD=90CFE=AFD=75=AECCE=CF2、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,且CECA,直线
6、EC交DA延长线于FAEAF(初二)连接BD,过点E作EGAC于GBDAC,又EGACEG =OD =CEGCE=30AC=EC3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCEPAPF(初二)过点F作FGCE于G,FHCD于HCDCGHCGF是矩形HCF=GCFFH=FGHCGF是正方形CG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG:PB=PG:AB4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、DABDC,BCAD(初三)过点E作EKBD,分别交AC、AF于M、K,取EF的
7、中点H,连接OH、MH、ECEH=FHOHEF,PHO=90又PCOC,POC=90P、C、H、O四点共圆HCO=HPO又EKBD,HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMAC经典题(四)ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA3,PB4,PC5求APB的度数(初二)解:将ABP绕点B顺时针方向旋转60得BCQ,连接PQ则BPQ是正三角形BQP=60,PQ=PB=3在PQC中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5PQC是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=1502、设P是平行四边形ABCD内部的
8、一点,且PBAPDAPABPCB(初二)过点P作AD的平行线,过点A作PD的平行线,两平行线相交于点E,连接BEPEAD,AEPDADPE是平行四边形PE=AD,又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四点共圆BEP=PABPAB=PCB又PEAD,ADBCPEBCBCPE是平行四边形BEP=PCBADPE是平行四边形ADP=AEP3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:ABCDADBCACBD(初三)在BD上去一点E,使BCE=ACDCAD=CBDBECADCADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得ABCD
9、+ ADBC =DEAC+ BEAC =(DE+BE) =BD,BAC=BDCBACEDCABCD=DEAC4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AECF求证:DPADPC(初二)过点D作DGAE于G,作DHFC于H,连接DF、DESADE=AEDG,SFDC=FCDH又SADE=SFDC=SABCDAEDG=FC又AE=CFDG=DH点D在APC的角平分线上DPADPC经典题(五)1、设P是边长为1的正ABC内任一点,LPAPBPC,求证:L2(1)将BPC绕B点顺时针旋转60的BEF,连接PE,BP=BE,PBE=60PBE是正三角形。PE=PB
10、 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF的值最小(如图)在ABF中,ABP=120AF=L=PA+PB+PC(2)过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则ADG是正三角形ADP=AGP,AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由(1)(2)可知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PAPBPC的最小值将BCP绕点B顺时针旋转60得BEF,连接PE,则B
11、PE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小,则PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)此时AF=PA+PE+EF过点F作FGAB的延长线于G则GBF=180-ABF=180-150=30GF=,BG=PAPBPC的最小值是3、P为正方形ABCD内的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长将ABP绕点B顺时针旋转90则BPQ是等腰直角三角形,PQ=PB=2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(
12、-)解得BC=正方形的边长为4、如图,ABC中,ABCACB80,D、E分别是AB、AC上的点,DCA30,EBA20,求BED的度数在AB上取一点F,使BCF=60,CF交BE于G,连接EF、DGABC=80,ABE=20,EBC=60,又BCG=60BCG是正三角形BG=BCACB=80,BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A,AB=ACABEACFAE=AFAFE=AEF=(180-A)=80又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG是等边三角形EF=EG,FEG=EGF=EFG=60ACB=80,DCA=30BCD=50BDC=180-BCD-ABC=180-50
13、-80=50BCD=BDCBC=BD前已证BG=BCBD=BGBGD=BDG=-ABE)=80FGD=180-BGD-EGF=180-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180FGD=DFGDF=DG又EF=EG,DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=605、如图,ABC内接于O,且AB为O的直径,ACB的平分线交O于点D,过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AECD于点E,过点B作BFCD于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD的长。ACD=BCD AD=BDAB为O的直径ADB=90ABD是等腰直角三角形ACB=90,AC=6,BC=8 AB=10AD=ABcosDAB=10=5又AECD,ACD=45ACE是等腰直角三角形CE=AE=ACcosCAE=6=3在ADE中,DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+PDA=PCD,P=P PDAPCD PC=PD,PA=PDPC=PA+ACPD=PD+6解得PD=
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