版新课标名师导学高考第一轮总复习理科数学第一章集合 常用逻辑第1讲 集合及其运算Word文档格式.docx

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【解析】∵集合A＝{x|x2－3x>

0}＝{x|x＜0或x＞3}＝（－∞，0）∪（3，＋∞），B＝{x||x|<

2}＝{x|－2＜x＜2}＝（－2，2），∴A∩B＝（－2，0）．

【答案】A

4．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A⊆B，则a的值为（　　）

A．－2B．－1C．0D．1

【解析】因为{0，1}⊆{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2.

5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<

0}，B＝{1，2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{1，2}B．{2，3}

C．{3，4}D．{2，3，4}

【解析】由题意A＝{x|－2<

x<

3}，∁UA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴阴影部分为（∁UA）∩B＝{3，4}．

【知识要点】

1．集合的含义与表示

（1）一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素组成的总体叫__集合__，简称为集．

（2）集合中的元素的三个特征：

__确定性__、__互异性__、__无序性__．

（3）集合的表示方法有：

__列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__．

（4）集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“__∈__”与“__∉__”来表示．

（5）常用的数集：

自然数集N；

正整数集N*（或N＋）；

整数集Z；

有理数集Q；

实数集R.

2．集合之间的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素__都是__集合B中的元素，我们就说这两个集合有__包含__关系，称集合A为集合B的__子集__，记作__A⊆B（或B⊇A）__；

若A⊆B，且A≠B，则AB，我们就说A是B的真子集．

（2）不含任何元素的集合叫做__空集__，记作__∅__，它是__任何一个集合的子集__，是任何一个__非空集合的真子集__，即∅⊆A，∅B（B≠∅）．

3．集合的基本运算

（1）并集：

A∪B＝{x|x∈A__或__x∈B}；

（2）交集：

A∩B＝{x|x∈A__且__x∈B}；

（3）补集：

∁UA＝__{x|x∈U且x∉A}__．

4．集合的运算性质

（1）A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；

（2）A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；

（3）A⊆B，B⊆C，则A⊆C；

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB），A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A；

（5）A⊆B，B⊆A，则A＝B.

典例剖析　【p2】

考点1　集合的基本概念

（1）对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（　　）

A．{x|x是小于18的正奇数}

B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<

5}

C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}

D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}

【解析】A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；

B中集合当k取负数时，多出了若干元素；

C中集合当t＝0时多了－3这个元素，只有D正确．

【答案】D

（2）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，则实数m的值为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0或2或3

【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得只有m＝3符合．

【答案】B

（3）若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是（　　）

A．{1}B．{－1}

C．{0，1}D．{－1，0，1}

【解析】当m＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，满足题意；

m≠0时，Δ＝4－4m2＝0，m＝±

1.

综上m的取值集合是{－1，0，1}．

【点评】

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集，还是其他类型集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

考点2　集合间的基本关系

（1）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

【解析】由集合A中的函数y＝ln（x＋3），

得到x＋3＞0，即x＞－3，∴A＝（－3，＋∞），

∵B＝{x|x≥2}＝[2，＋∞），

∴A≠B，A∩B＝[2，＋∞），

∴B⊆A.

（2）若集合{a，0，1}＝

，则a＝______，b＝______．

【解析】∵0∈

，∴c＝0，从而

＝1，即b＝1，∴a＝－1.

【答案】－1；

1

（3）已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．[4，＋∞）

C．（－∞，4）D．（－∞，4]

【解析】集合A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}＝[－1，4]，B＝{x|x≤a}，

若A∪B＝B，则A⊆B，所以a≥4，

∴实数a的取值范围是[4，＋∞）．

【点评】已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

考点3　集合的基本运算

（1）设集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1}B．{1，2}

C．{1，2，3}D．{0，－1，3}

【解析】由题得B＝{x|0＜x＜3}，所以A∩B＝{1，2}．

（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3>

0}，则∁UA＝________.

【解析】由已知得，A＝{x|x2－2x－3>

0}＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），又全集为R，根据补集的定义可得∁UA＝[－1，3]．

【答案】[－1，3]

（3）设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{0，2}，则B∪（∁UA）＝（　　）

A．{0}B．{－2，0，1，2}

C．{－1，0，2}D．{－1，0，1，2}

【解析】由题得A＝{－1，2}，所以∁UA＝{0，1，－2}，所以B∪（∁UA）＝{－2，0，1，2}．

（4）设全集U为实数集R，集合A＝{x|y＝ln（3－2x）}，B＝{y|（y－1）（y－3）≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.

∪

B.

C.

D.

【解析】由题意可得：

A＝

，B＝[1，3]，

图中阴影部分表示集合∁U

，

其中A∩B＝

则∁U

＝

.

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；

集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

考点4　集合中的创新问题

（1）定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈（A∪B）且x∉（A∩B）}，设M＝{x||x|<

2}，N＝{x|x2－4x＋3<

0}，则M⊗N用区间表示为________．

【解析】M＝{x||x|<

2}＝（－2，2），N＝{x|x2－4x＋3<

0}＝（1，3），

∴M∪N＝（－2，3），M∩N＝（1，2），

∴M⊗N＝（－2，1]∪[2，3）．

【答案】

（－2，1]∪[2，3）

（2）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆

，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（　　）

A．10B．11C．12D．13

【解析】因为A⊆

，所以符合条件的非空集合A可以是：

，共11个．

【点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

方法总结　　【p3】

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；

对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

4．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．

5．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

6．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

走进高考　　【p3】

1．（2018·

全国卷Ⅲ）集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}

【解析】由题意知，A＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．

2．（2018·

全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－x－2>

0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1<

2}

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<

－1}∪{x|x>

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

【解析】A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x>

2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．

3．（2018·

全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

【解析】∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0，1，

当x＝1时，y＝－1，0，1；

当x＝0时，y＝－1，0，1；

当x＝－1时，y＝－1，0，1，

所以共有9个．

考点集训　　【p175】

A组题

1．集合{x∈N|x－3<

2}用列举法表示是（　　）

A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}

C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}

【解析】由题意x<

5，又x∈N，∴集合为{0，1，2，3，4}．

2．下列各式：

①1∈{0，1，2}；

②∅⊆{0，1，2}；

③{1}∈{0，1，2}；

④{0，1，2}＝{2，0，1}，其中错误的个数是（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；

对于②，由空集是任何集合的子集知正确；

对于③，根据集合间的关系知不正确；

对于④，由于集合的元素具有无序性知正确．

3．设集合A＝{x|x2－4x＋3<

0}，B＝{x|－1＜x＜3}，则（　　）

A．A＝BB．A⊇B

C．A⊆BD．A∩B＝∅

【解析】∵A＝{x|x2－4x＋3<

0}＝{x|1<

3}，

B＝{x|－1<

3}，∴A⊆B.

4．设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，则∁UA＝（　　）

A．{－1，2}B．{－2，0，1}

C．{－2，1}D．{－1，0，2}

【解析】集合A＝{x|（x＋2）（x－1）＝0}＝{－2，1}，

因为全集U＝{－2，－1，0，1，2}，

所以∁UA＝{－1，0，2}．

5．设全集U＝R，集合A＝{x|1<

4}，集合B＝{x|2≤x<

5}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{x|1≤x<

2}B．{x|1<

2}D．{x|x≥5}

【解析】∁UB＝{x|x<

2或x≥5}，

故A∩（∁UB）＝{x|1<

2}．

6．设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<

0}，则下图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x<

3}B．{x|－3<

x≤1}

2}D．{x|－2＜x≤1}

A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2<

又由图可知，阴影部分表示的集合为A∩B，

∴A∩B＝{x|－2＜x≤1}．

7．设A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x－a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．

【解析】由题意B＝{x|x＞a}，∵A⊆B，∴a≤1.

（－∞，1]

8．已知集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为________．

【解析】集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，

若A∩B＝{2}，则a＝2或a2＋3＝2（无解）．

所以a＝2，此时B＝{2，7}．

【答案】2

B组题

1．设集合M＝{x|x≥4}，a＝

，则下列关系中正确的是（　　）

A．a∈MB．a∉M

C．{a}∈MD．{a}∉M

【解析】∵4>

，∴a∉M.

2．已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，则m－n＝（　　）

A．1B．2C．4D．8

【解析】因为A∩B＝{0}，故0∈A，0∈B，所以log7m＝0，故m＝1，

又n＝0，因此m－n＝1.

3．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈（A∪B）且x∉（A∩B）}，已知M＝{y|y＝－x2＋2x，0<

2}，N＝{y|y＝2x－1，x>

0}，则M⊗N＝______________．

【解析】由已知，M＝{y|y＝－x2＋2x，0<

2}＝（0，1]，

N＝{y|y＝2x－1，x>

0}＝

所以M∪N＝（0，＋∞），M∩N＝

所以M⊗N＝

∪（1，＋∞）．

∪（1，＋∞）

4．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

【解析】∵A∩B＝B，∴B⊆A，

∵A＝{0，－4}，

∴B＝∅，或B＝{0}，或B＝{－4}，或B＝{0，－4}．

当B＝∅时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数根，

则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<

0，整理得a＋1<

0，解得a<

－1；

当B＝{0}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两等根均为0，则

解得a＝－1；

当B＝{－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两等根均为－4，则

无解；

当B＝{0，－4}时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两根分别为0，－4，则

解得a＝1.

综上所述：

a≤－1或a＝1.

备课札记