非线性系统分析Word文档下载推荐.docx

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该方法适用于非线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。

．李雅普诺夫法李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。

原则上适用所有非线性系统但对大多数非线性系统寻找李雅普诺夫函数相当困难关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。

．计算机辅助分析利用计算机模拟非线性系统特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观为非线性系统的分析提供了有效工具。

按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。

死区特性（不灵敏区）死区特性的的数学描述为：

三、典型非线性特性�死区特性对系统性能的影响：

（）由于死区的存在增大了系统的稳态误差降低了系统的控制精度（）若干扰信号落在死区段可大大提高系统的抗干扰能力。

例子：

液压比例伺服系统中比例阀直流调速电机启动．饱和特性饱和特性对系统性能的影响：

（）将使系统的开环增益有所降低对系统的稳定性有利（）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。

有时从系统安全性的考虑常常加入各种限幅装置其特性也属饱和特性。

控制器执行机构的饱和特性�．间隙特性（回环特性）间隙特性对系统的影响：

一般来说间隙使系统输出相位滞后降低了系统的稳定裕度控制系统的动态特性变坏甚至使系统振荡间隙的存在使系统的稳态误差扩大稳态特性变差。

齿轮传动中的间隙�．继电器特性继电器特性可包含理想继电器特性、死区继电器特性、回环继电器特性和死区加回环继电器特性如图所示。

�（）理想继电器特性（）死区继电器特性（）回环继电器特性（）死区加回环继电器特性四、非线性控制系统的特殊性、稳定性线性系统的稳定性只由系统本身的结构及参数决定而与系统的初始状态无关。

然而非线性系统的稳定性不仅取决于系统本身的结构和参数而且还与系统的初始状态有关。

对于同一结构和参数的非线性系统初始状态位于某一较小的区域内时系统稳定但在较大初始值时系统可能不稳定有时也可能相反。

故对非线性系统不应笼统地讲系统是否稳定要研究的是非线性系统平衡状态的稳定问题。

、不能用纯频率法分析和综合校正系统在线性系统中输入为正弦函数时稳态输出也是频率相同的正弦函数两者仅在幅值和相位上有所不同因而可以用频率特性法分析和综合校正系统。

但对于非线性系统如果输入为正弦函数其输出通常包含有一定数量的高次谐波的非正弦函数。

非线性系统有时可能出现跳跃谐振、倍频振荡和分频振荡等现象所以不能用纯频率法分析和综合校正系统。

、非线性系统存在自持振荡现象线性系统的时域响应仅有两种基本形式即稳定或不稳定表现的物理现象为发散或收敛。

然而在非线性系统中其时域响应除了发散和收敛两种形式外即使无外部作用也可能发生某一固定振幅和频率的振荡并且当受到扰动作用后运动仍然保持原来的频率和振幅即这种周期运动具有稳定性这种现象称为自持振荡这是非线性系统独有的现象。

、非线性系统不适用叠加原理在线性系统中若干个信号作用于系统上我们可以分别求单独信号作用的响应然后再叠加就可以求出总的响应。

这给分析综合线性系统带来了很大方便。

通常在典型输入函数和零值初始条件下研究线性系统。

而非线性系统需要用非线性常微分方程描述或更复杂的非线性微分方程描述不能应用叠加原理。

相平面法是庞加莱（Poincare）提出的它是一种求解二阶非线性微分方程组的图解法它比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始状态和输入信号下系统的运动形式。

虽然相平面法适用一阶、二阶非线性控制系统的分析但它形成特定的相平面法它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极限环等特殊现象也起到了直观形象的作用。

相平面分析法若令则二阶系统可写成两个一阶微分方程即设二阶非线性系统的微分方程为：

一、相平面的基本概念相平面相点和相轨迹以为横坐标为纵坐标的平面称为相平面相应的分析法称为相平面法相平面上的点称为相点由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称为相平面轨迹简称相轨迹不同初始条件下构成的相轨迹称为相轨迹族由相轨迹族构成的图称为相平面图简称相图。

相轨迹方程和平衡点考察二阶非线性时不变微分方程:

引入相平面的概念将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:

一般形式为消去时间变量t得到相轨迹的斜率方程求解可得相轨迹方程即表示相平面上的一条曲线即相轨迹。

相轨迹的性质：

（）一般情况下相轨迹不相交。

相点处的斜率由唯一确定不同条件下的相轨迹不相交。

（）当某一相点满足此时两个状态变量对时间的变化率都为零系统的状态不再发生变化即系统到达了平衡状态相应的状态点（相点）称为系统的平衡点。

平衡点处的斜率则上式不能唯一确定其斜率相轨迹上斜率不确定的点在数学上也称为奇点故平衡点即为奇点。

奇点处由于相轨迹的斜率dx／dx为不定值可理解为有多条相轨迹在此交汇或由此出发即相轨迹可以在奇点处相交。

令,则有二、线性系统的相轨迹线性二阶系统微分方程为:

相轨迹的斜率方程为:

系统的奇点（平衡点）满足解得为系统的奇点。

系统的特征根为对于不同的阻尼比二阶系统的特征根不同系统的时域响应由特征根决定而时域响应和响应的导数决定系统的相轨迹。

（）无阻尼运动（=）此时系统特征根为一对共轭虚根相轨迹方程变为对上式分离变量并积分得式中A为由初始条件决定的积分常数。

初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆每一个椭圆对应一个等幅振动。

在原点处有一个平衡点（奇点）该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线这类奇点称为中心点。

图无阻尼二阶线性系统的相轨迹（）欠阻尼运动（）系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为式中,A、B、为由初始条件确定的常数。

时域响应过程是衰减振荡的。

可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点）不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点这样的奇点称为稳定焦点。

图欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹（）过阻尼运动（＞）系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的表达式为式中,A,A初始条件决定的常数,特征根不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。

相轨迹是一族汇聚到原点的抛物线单调地趋于平衡点（奇点）坐标原点如图所示。

这种奇点称为稳定节点。

图过阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹（）、负阻尼运动（）（系统不稳定根据极点位置分三种情况分别讨论）（a）＜＜时,特征根为S右半平面的共轭复根,响应为振荡发散,相轨迹是一族从原点向外卷的对数螺旋线,如图所示。

奇点为坐标原点,称为不稳定焦点。

图＜＜时的相轨迹（b）＜时特征根是两个正实根响应为单调发散相轨迹是一族从原点出发向外单调发散的抛物线如图所示。

奇点为坐标原点称为不稳定节点。

图＜时的相轨迹（c）对图所示的正反馈二阶系统图方框图其特征方程式为特征根为�特殊情况：

两边积分得：

双曲线方程特征根为一正一负则有：

特征根为一对符号相反的实根响应依然单调发散的相轨迹是一族双曲线如图所示。

这时的奇点也是坐标原点称为鞍点。

图相轨迹以上分析表明二阶线性系统特征根在复平面上位置不同时时域响应的形式不同相轨迹的形状也完全不同。

可见相轨迹的形状与系统闭环极点的位置密切相关与奇点类型也密切相关。

三、二阶非线性系统的线性化对于非线性系统描述二阶非线性系统的微分方程为表示非线性系统的平衡点（奇点）它往往不止一个。

对于非线性系统奇点类型与相轨迹的类型仅适用于奇点附近的区域。

整个系统的相图就可能由几个不同类型的相轨迹组成。

对于非线性系统奇点性质分析采用小范围线性化的方法。

假设奇点在坐标原点将在奇点附近展开成泰勒级数并取一次近似假若平衡点在坐标原点时得：

令：

方程组可改写为特征方程线性化方程组在一般情况下线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。

但是若线性化方程求解至少有一个根为零根据李雅普诺夫小偏差理论不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性此时平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。

例：

确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。

解：

令求得奇点（）（）。

即由（）奇点（）线性化方程为特征根（,）奇点为稳定焦点其附近的相轨迹为收敛的对数螺旋线。

（）奇点（）奇点不在坐标原点令则原方程变为线性化方程：

特征根S=S=（）奇点为不稳定的鞍点相轨迹为双曲线。

图系统的相平面图对于非线性系统还有一种与线性系统不同的运动状态自持振荡它在相平面图上表现为一条孤立封闭曲线称之为极限环或奇线。

极限环附近的相轨迹都卷向极限环或从极限环卷出。

因此极限环将相平面分成内部平面和外部平面极限环内部（外部）的相轨迹不能穿过极限环进入它的外部（内部）。

极限环（奇线）分析极限环邻近相轨迹的特点可将极限环分成：

（）稳定极限环：

极限环内部和外部的相轨迹均收敛于该极限环稳定极限环对应稳定的自持振荡。

（）不稳定极限环：

极限环内部和外部的相轨迹均从该极限环发散出去不稳定极限环对应不稳定的自持振荡。

（）半稳定极限环：

极限环内部和外部的相轨迹有一侧收敛于该极限环而另一侧的相轨迹从极限环发散出去半稳定极限环。

稳定的极限环可通过实验观察到。

当系统相轨迹方程不易用解析法求解时,可使用等倾线法绘制系统的相轨迹。

将上式表示为：

对非线性系统：

四、相轨迹图的绘制等倾线法其中是相轨迹的斜率令为一常数则有上式称为等倾线方程各相轨迹与该曲线交点的斜率相等且等于。

绘制思路：

对于给定斜率求解等倾线方程得到一条等倾曲线。

给定不同的值可在相平面上绘制不同的等倾曲线。

由初始条件出发沿各条等倾曲线的切线方向依次画出系统相轨迹。

试用等倾线法绘制系统的相轨迹。

系统的微分方程可以化或令得等倾线方程取不同的值分别绘制等倾线等倾线为直线例线性二阶系统的运动方程为图中作出了取不同值时的等倾线及等倾线上表示斜率值的小线段。

若给定的初始条件为A点,从A点出发顺时针将各小线段光滑地联接起来,就得到了从A点出发的一条相轨迹。

系统相轨迹图五、由相轨迹图求时间相轨迹图是系统的输出响应或误差响应在相平面上的映象它虽然可以反映系统时间响应的主要特征但不能直接显示时间信息。

如需要求出系统的时间响应就必须确定相轨迹上各点对应的时间可以采用以下两种方法近似求取。

．根据相轨迹的平均斜率求时间t设系统的相轨迹如图所示设相轨迹由A点转移到B点所需的时间为故在此期间的平均值为：

据此可求得相轨迹由A点转移到B点所需的时间为�用同样的方法可求出相轨迹由B点转移到C点的时间以次类推可得的曲线。

．面积法求时间设系统的相轨迹如图所示�例：

设恒温箱动态结构图如图所示若要求温度保持度恒温箱由常温度启动试在相平面上作出温度控制的相轨迹并计算升温时间。

�由继电器模型及框图可得即上式等价于相应的相轨迹为直线相轨迹在开关线上跳至另一条相轨迹。

由前面分析可得系统分段微分方程为�一、描述函数的定义设非线性系统的结构图如图所示。

在此假定：

①非线性环节不是时间的函数②非线性环节特性是斜对称的③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。

描述函数法�设非线性环节的输入输出特性为当非线性环节的输入为正弦信号非线性环节的输出一般不是正弦信号但仍是一个周期信号其傅立叶级数展开式为非线性环节的输出信号y（t）中含有基波及各高次谐波。

通常谐波的次数越高其相应的傅立叶系数越小即相应的谐波分量幅值就越小。

如果系统线性部分G（s）具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号x（t）时只有y（t）的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性。

定义：

正弦信号作用下非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比称为非线性环节的描述函数记为N（A）其数学表达式为二、典型非线性环节的描述函数死区特性的描述函数输出波形是单值奇对称的所以并且�理想继电器特性的描述函数傅氏展开斜对称、奇函数A=An=（偶次对称性）饱和特性死区特性死区饱和特性常见非线性环节的描述函数三、描述函数分析法假设非线性系统的线性动态部分具有良好的低通特性那么非线性特性可以用描述函数非线性系统的稳定性根据线性系统稳定性的频率特性分析法将频率特性推广到非线性系统则其闭环系统频率特性为：

�系统的特征方程为：

假设G（s）是最小相位环节与线性系统的Nyquist判据比较非线性系统中的相当于线性系统中的临界稳定点（,j）。

（）如果在复平面上／N（A）曲线不被G（j）曲线所包围则非线性系统是稳定的。

（）如果在复平面上／N（A）曲线被G（j）曲线所包围则非线性系统不稳定。

（）如果在复平面上／N（A）曲线与G（j）曲线相交非线性系统处于临界状态则在非线性系统中产生周期性振荡（稳定或不稳定）稳定自持振荡的振幅由／N（A）曲线交点处对应的A值决定振荡的频率由G（j）曲线交点处的值决定。

自持振荡非线性系统的自持振荡是在没有外界输入信号作用下系统产生的具有固定频率和振幅的稳定的等幅运动。

若满足即系统产生自持振荡。

如果不止一组参数满足则系统存在几个等幅运动（稳定或不稳定的自持振荡）。

描述函数的负倒当微小扰动使振幅A增大到c点时c点“（,j）”被G（j）轨迹包围系统不稳定振幅A继续增大不返回到a。

当微小扰动使振幅A减小到d点d点“（,j）”未被G（j）轨迹包围系统稳定振幅A继续减小不返回到a。

a点为不稳定自持振荡点。

分析法当微小扰动使振幅A增大到e点时e点“（,j）”未被G（j）轨迹包围系统稳定振幅A减小返回到b。

当微小扰动使振幅A减小到f点f点“（,j）”被G（j）轨迹包围系统不稳定振幅A增大返回到b。

b点为稳定自持振荡点。

具有饱和特性的非线性系统A＝a时A∞时G（j）轨迹不与负倒描述函数轨迹相交不存在自持振荡G（j）轨迹与负倒描述函数轨迹相交b点:

稳定自振交点bAb非线性系统描述函数分析具有死区特性的非线性系统A＝a时A∞时G（j）轨迹不与负倒描述函数轨迹相交不存在自持振荡G（j）轨迹与负倒描述函数轨迹相交b点:

不稳定自振交点具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴）如有数个交点必有稳定的自振交点）如只有一个交点必为稳定的自振交点例如图所示系统试求：

①当K＝时该系统是否存在自持振荡如果存在则求出自持振荡的振幅和频率②当K为何值时系统处于稳定边界状态。

非线性饱和特性参数a=、k=相交于稳定自振交点mA＝a时A∞时负倒描述函数轨迹为实轴上（∞）。

aA=A=A=稳定自振交点m:

临界状态下轨迹在负实轴上的交点nK=本章小结（）非线性系统与线性系统在稳定性、系统动态特性等方面有很大的不同严格地来说实际系统均为非线性系统。

线性系统分析法一般不能用来分析非线性系统。

（）非线性系统的数学模型一般是非线性微分方程当系统非线性程度不严重、或系统仅作初步分析可以用小偏差理论将其在平衡点附近近似为线性系统。

（）非线性系统的相平面法是一种时域法、图解法可以分析系统的稳定性、自持振荡、动态特性和稳态特性。

该方法适用一阶和二阶系统对于高阶系统可近似分析。

（）相平面的基本概念（奇点、奇点的类型、性质、极限环）相轨迹的绘制（解析法、图解法）相轨迹图分析系统。

（）描述函数法是一种频域法基于谐波线性化的概念给出了非线性环节的描述函数的定义将线性系统的Nyquist稳定判据延伸到非线性系统在非线性系统临界稳定变为一条曲线描述函数负倒曲线。

（）对于复杂的非线性系统可以简化为典型的非线性特性和线性部分的串联的典型结构。

采用描述函数法可以分析非线性系统的稳定性特别是非线性系统的自持振荡确定自持振荡的频率和振幅及消除自持振荡的措施。