高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量107离散型随机变量及其分布列课时提升作业理文档格式.docx
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6.(xx·
珠海模拟)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,…),则P(2<
X≤4)为 ( )
A.B.C.D.
【解析】选A.因为P(X=k)=,k=1,2,…,
所以P(2<
X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
7.已知随机变量X的概率分布列如下表:
4
5
6
7
8
9
10
m
则P(X=10)= ( )
A.B.C.D.
【解题提示】利用离散型随机变量的分布列的性质表示m,再利用等比数列的前n项和求得m.
【解析】选C.由题易知:
P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=10)=1
⇒++…++m=1⇒
m=1-
=1-2×
=1-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则常数a的值为 ,P= .
【解析】随机变量ξ的分布列为
ξ
2a
3a
4a
5a
由a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
P=P+P+P(ξ=1)
=3a+4a+5a=12a=.
答案:
【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:
随机变量ξ的分布列为
由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=,
P=1-P-P(ξ=)=.
9.(xx·
太原模拟)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的分布列为 .
【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,4,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=,
所以分布列为
10.(xx·
成都模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
【解题提示】女生人数服从超几何分布.
【解析】设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,其中N=6,M=2,n=3,
则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
(20分钟 40分)
1.(5分)(xx·
衡水模拟)已知随机变量X的概率分别为p1,p2,p3,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是 .
【解析】由已知得p1=p2-d,p3=p2+d,由分布列性质知
(p2-d)+p2+(p2+d)=1,得p2=,
又
得-≤d≤.
2.(5分)为检验某产品的质量,现抽取5件该产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:
毫克),测量数据如下:
编号
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75,该产品为优等品.
现从上述5件产品中,随机抽取2件,则抽取的2件产品中优等品数X的分布列是 .
【解题提示】X服从超几何分布.
【解析】5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==0.3,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.1,所以优等品数X的分布列为
0.3
0.6
0.1
3.(5分)如图所示,A,B两点间有5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)= .
【解析】由已知得X的取值为7,8,9,10.
因为P(X=7)==,
P(X=8)==,
P(X=9)==,P(X=10)==.
所以X的概率分布列为
所以P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
=++=.
4.(12分)(xx·
中山模拟)有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入坐编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ,已知ξ=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值.
(2)求随机变量ξ的概率分布列.
【解析】
(1)因为当ξ=2时,有种坐法,
所以=6,
即=6,
n2-n-12=0,n=4或n=-3(舍去),所以n=4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ,
由题意知ξ的可能取值是0,2,3,4,
所以P(ξ=0)==,
P(ξ=2)===,
P(ξ=3)===,
P(ξ=4)=1---=,
所以ξ的概率分布列为
【加固训练】一个袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回去,直到取到白球为止,求取球次数的分布列.
【解析】设取球次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,所以随机变量X的分布列为
【方法技巧】与离散型随机变量有关的应用题的解题步骤
第一步:
理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散型随机变量的所有可能取值;
第二步:
利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;
第三步:
画出随机变量的分布列;
第四步:
明确规范表述结论.
5.(13分)(xx·
湘潭模拟)据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
态度
调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
而且已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列.
(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,
所以=0.05,解得x=60,
所以持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720,
所以应在“无所谓”态度抽取720×
=72人.
(2)由
(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,
所以在所抽取的6人中,在校学生为×
6=4人,社会人士为×
6=2人,于是第一组在校学生人数ξ=1,2,3.
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==.
即ξ的分布列为:
【加固训练】
(xx·
贵阳模拟)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0,当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;
当两条棱异面时,ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0).
(2)求ξ的分布列.
(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(ξ=0)===.
(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,
故P(ξ=)==,
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,
所以随机变量ξ的分布列是
2019-2020年高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.8二项分布正态分布及其应用课时提升作业理
太原模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>
4)= ( )
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【解析】选B.因为X~N(3,1),所以正态分布曲线关于μ=3对称,所以P(X≥3)=0.5,又P(2≤X≤4)=0.6826,所以P(X>
4)=0.5-P(2≤X≤4)=0.5-×
0.6826=0.1587.
秦皇岛模拟)在正态分布N中,数值落在
(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 ( )
A.0.097 B.0.046
C.0.03 D.0.0026
【解析】选D.因为μ=0,σ=,所以P(X<
-1或X>
1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.9974=0.0026.
张家界模拟)如图,元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是 ( )
A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891
【解析】选B.电流能通过A1,A2的概率为0.9×
0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2,且也不能通过A3的概率为(1-0.81)(1-0.9)=0.019,
故电流能通过系统A1,A2,A3的概率为
1-0.019=0.981,
而电流能通过A4的概率为0.9,
故电流能在M,N之间通过的概率是(1-0.019)×
0.9=0.8829.
3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( )
A.0.85B.0.8192C.0.8D.0.75
【解析】选B.P=(0.8)3·
0.2+(0.8)4=0.8192.
石家庄模拟)1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱中,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是 ( )
A.B.C.D.
【解题提示】此问题为从1号箱中取到红球的条件下,从2号箱中也取到红球的条件概率问题.
【解析】选C.设从1号箱中取到红球为事件A,从2号箱中取到红球为事件B,由题意,P(A)==,P(B|A)==,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×
=,所以两次都取到红球的概率为.
5.(xx·
成都模拟)端午节那天,小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中2个腊肉馅3个豆沙馅,小明随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是豆沙馅”,则P(B|A)= ( )
A.B.C.D.
【解析】选A.由题意,P(A)==,
P(AB)==,所以P(B|A)==.
平顶山模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×
=.则所求概率为P(B|A)===.
中山模拟)假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p的取值范围是 ( )
A.B.
C.D.
【解题提示】由题意知各引擎是否有故障是独立的,4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,4引擎飞机可以正常工作的概率是p3(1-p)+p4,2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,根据题意列出不等式,解出p的值.
【解析】选B.每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-p,不出现故障的概率是p,
且各引擎是否有故障是独立的,
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;
4引擎飞机可以正常工作的概率是p3(1-p)+p4,
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,
2引擎飞机可以正常工作的概率是p2,
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,
依题意得到p3(1-p)+p4>
p2,
化简得3p2-4p+1<
0,
解得<
p<
1.
7.(xx·
洛阳模拟)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值
为 ( )
A.B.C.D.
【解题提示】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.
【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.
解得p=.
【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易因得不出方程组而无法求解.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
【解析】依题意,ξ~B,
故P(ξ=4)=×
=.
9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的.则进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率是 .
【解析】设“进入该商场的每一位顾客购买甲种商品”为事件A,“购买乙种商品”为事件B,则P(A)=0.5,P(B)=0.6.
设“进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C,则P(C)=P(A∪B)=P(A)·
P()+P()·
P(B)=0.5×
(1-0.6)+(1-0.5)×
0.6=0.5,
所以进入该商场的1位顾客仅购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5.
0.5
合肥模拟)某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有A,B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:
两项技术指标都达标的零件为合格品,则一个零件经过检测,为合格品的概率是 .
【解题提示】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,根据题意,可得关于P1,P2的二元一次方程组,可解得P1,P2的值,由题意将P1,P2相乘可得答案.
【解析】设A,B两项技术指标达标的概率分别为P1,P2,一个零件经过检测,为合格品的概率为P;
由题意得:
解可得P1=,P2=,或P1=,P2=,
则P=P1×
P2=.
(15分钟 30分)
三明模拟)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0= .
【解析】由X~N(800,502),知μ=800,σ=50,又P(700<
X≤900)=0.9544,则P(800<
X≤900)=×
0.9544=0.4772,所以P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<
X≤900)=0.5+0.4772=0.9772,故p0=P(X≤900)=0.9772.
0.9772
2.(5分)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
【解析】P(A)==.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果共有10个.
所以P(B)==.
当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P(AB)=.
所以P(B|A)===.
厦门模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是 .
【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P(B|A)===,即所求事件的概率是.
3.(5分)在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为 .
【解析】由题设知p(1-p)3≤p2(1-p)2,
解得p≥0.4,因为0≤p≤1,
所以0.4≤p≤1,所以概率p的最小值为0.4.
0.4
【方法技巧】n次独立重复试验有k次发生的概率的求法
在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少,解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字.
【加固训练】在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ~B(5,),则P(ξ=k)取最大值的k值
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.依题意,
≥·
且≥
解得≤k≤,所以k=1.
4.(15分)(xx·
太原模拟)据统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.3,0.5,0.2.
(1)求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率.
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.
(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”.
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”,
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”,
事件D表示“两个月内被投诉2次”,
所以P(Ai)=0.3,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.2(i=1,2),
所以两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),
所以P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2),
由事件的独立性得p(D)=0.3×
0.2+0.2×
0.3+0.5×
0.5=0.37.
【加固训练】1.(xx·
武汉模拟)在“出彩中国人”的一期比赛中,有6位歌手(1~6)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;
媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;
媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率.
(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列.
【解析】设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”,则
(1)P(A)==,P(B)==,
所以P(A)=P(A)P()
=×
(2)P(C)==,
因为X可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=P()=
×
=,
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=×
+×
=++=,
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(CB)
P(X=3)=P(ABC)=×
所以X的分布列为
南阳模拟)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,该单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,该单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(1)获赔的概率.
(2)获赔金额ξ(单位:
元)的分布列.
【解析】设第k辆车在一年内发生此种事故为事件Ak,k=1,2,3,由题意知A1,A2,A3相互独立,且P(A1)=