专题01 相交线与平行线知识点串讲学年七年级数学下学期期末考点大串讲人教版解析版Word格式文档下载.docx
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判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°
，∴a∥b.
2．平行公理的推论：
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：
条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
典例1．（2018春•磴口县期末）如图，现给出下列条件：
①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°
．其中能够得到AB∥CD的条件有____．（填序号）
【答案】①②
①∵∠1＝∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；
②∵∠2＝∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；
③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
④∵∠D+∠BCD＝180°
，∴AD∥CB，故本小题错误．
故答案为：
①②．
【点睛】熟知同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
典例2．（2018春•荷塘区期末）
（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
【答案】见解析
（1）AB∥CD，
理由：
如图
（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：
如图
（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及两直线平行的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
三、平行线的性质
平行线的性质：
性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°
.
典例1．（2018春•新乡期末）如图，把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°
，则∠AEG的度数是____________．
【答案】116°
∵∠CEF由∠C′EF折叠而成，
∴∠CEF＝∠C′EF，
∵AC′∥BD′，∠EFB＝32°
，
∴∠C′EF＝∠EFB＝32°
∴∠AEG＝180°
﹣32°
＝116°
．
116°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：
两直线平行，内错角相等．
典例2．（2018春•灵石县期末）如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示放置，∠AEG＝30°
，则∠HFD度数为__________．
【答案】45°
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠AEG+∠FEG＝∠EFH+∠HFD，
即30°
+45°
＝30°
+∠HFD，
∴∠HFD＝45°
故答案为45°
【点睛】本题考查了平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，同旁内角互补；
典例3．（2018春•新城区期末）如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝35°
，那么∠BED的度数为__________．
【答案】70°
如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5＝∠ABE，∠3＝∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6＝∠CDE，∠4＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BFD＝35°
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠BED＝∠5+∠6＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×
35°
＝70°
70°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
四、平移现象
平移的定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
注意：
（1）图形的平移的两要素：
平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
典例1．下列生活现象中，属于平移的是（ ）
A．足球在草地上跳动
B．急刹车时汽车在地面上滑行
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上
D．钟摆的摆动
【答案】B
A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，故本选项错误；
B．急刹车时汽车在地面上滑行符合平移的定义，故本选项正确；
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上不符合平移的定义，故本选项错误；
D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；
B．
【点睛】平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
典例2．（2018春•开鲁县期末）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．
B．
D．
观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
【点睛】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．
典例3．（2018春•潜江期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为__________m2．
【答案】540
如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×
18＝540（平方米）．
答：
绿化的面积为540m2．
540．
【点睛】将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
五、平移的性质
平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等．
“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
典例1．（2018春•长春期末）如图，△ABE的周长是19cm，将△ABE向右平移3cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长．
∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴EF＝AD＝3cm，AE＝DF．
∵△ABE的周长为19cm，
∴AB+BE+AE＝19cm．
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD
＝AB+BE+AE+EF+AD
＝19+3+3
＝25（cm）．
【点睛】平移的基本性质：
①平移不改变图形的形状和大小；
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
典例2．如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（4，﹣1）、C（3，2）．
（1）在所给的直角坐标系中画出△ABC；
（2）把△ABC向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出点C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．
（1）如图所示：
△ABC，即为所求；
（2）如图所示：
△A′B′C′即为所求，点C′的坐标为：
（0，4）；
（3）△A′B′C′的面积为：
5×
3
1×
2×
4
5＝7．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
巩固训练
1．（2018春•东城区期末）下列现象是平移的是（ ）
A．电梯从底楼升到顶楼B．卫星绕地球运动
C．碟片在光驱中运行D．树叶从树上落下
【答案】A
A、电梯从底楼升到顶楼，是平移现象，故此选项正确；
B、卫星绕地球运动，不是平移现象，故此选项错误；
C、碟片在光驱中运行，不是平移现象，故此选项错误；
D、树叶从树上落下，不是平移现象，故此选项错误；
2．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则（ ）
A．乙比甲先到B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到D．无法确定
∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，
∴两只蚂蚁同时到达．
3．（2018春•尚志市期末）下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②③④D．①②④
【答案】D
根据同位角的定义，可得图①②④中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角．
D．
4．如图，按角的位置关系填空：
∠1与∠2是__________角，∠1与∠3是________角，∠2与∠3是________角．
【答案】同旁内，内错，邻补
∠1与∠2是同旁内角，∠1和∠3是内错角，∠2和∠3是邻补角；
同旁内，内错，邻补．
5．（2018秋•淮安期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3B．如果∠2＝30°
，则有AC∥DE
C．如果∠2＝30°
，则有BC∥ADD．如果∠2＝30°
，必有∠4＝∠C
∵∠CAB＝∠EAD＝90°
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴（A）正确．
∵∠2＝30°
∴∠1＝90°
﹣30°
＝60°
∵∠E＝60°
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴（B）正确．
∴∠3＝90°
∵∠B＝45°
∴BC不平行于AD．
∴（C）错误．
由AC∥DE可得∠4＝∠C．
∴（D）正确．
6．（2017秋•确山县期末）如图所示，∠B＝25°
，∠D＝42°
，∠BCD＝67°
，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．
AB∥ED，
如图，过C作CF∥AB，
∵∠B＝25°
∴∠BCF＝∠B＝25°
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°
又∵∠D＝42°
∴∠DCF＝∠D，
∴CF∥ED，
∴AB∥ED．
7．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°
，求证：
BC∥GD．
【解析】证明：
∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°
（已知），
∴∠BCD+∠CDG＝180°
（等量代换），
∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）．
8、如图，已知直线a∥b，将一块含30°
角的三角板如图放置，若∠1＝26°
，则∠2＝__________
【答案】34°
如图，过B作BD∥a，则BD∥b，
∴∠2＝∠ABD，∠1＝∠CBD＝26°
又∵∠ABC＝60°
∴∠ABD＝60°
﹣26°
＝34°
∴∠2＝34°
34°
9.（2018春•惠山区期末）已知直线l1∥l2，∠1＝120°
，∠2＝20°
，∠3＝________°
【答案】80
作直线l1∥l3，则直线l1∥l2∥l3，
∵l1∥l3，∠1＝120°
∴∠5＝60°
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝20°
∴∠3＝∠4+∠5＝80°
80．
10．（2018秋•牡丹区期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°
，则图中∠BEG的度数为__________．
【答案】56°
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠FEC＝62°
由翻折可得：
∠FEG＝∠FEC＝62°
∴∠BEG＝180°
﹣62°
＝56°
56°
11．（2018秋•长春期末）把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数为__________．
【答案】75°
作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：
∠2＝∠3＝45°
，∠4＝∠5＝30°
故∠1的度数是：
45°
+30°
＝75°
故答案是：
75°
12．（2018春•宝应县期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为__________米．
【答案】108
利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×
2，
∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为50+（30﹣1）×
2＝108米，
108．
13．（2018春•晋江市期末）如图，把Rt△ABC（∠ABC＝90°
）沿着射线BC方向平移得到Rt△DEF，AB＝8，BE＝5，则四边形ACFD的面积是________．
【答案】40
∵Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF，
∴AB＝DE＝8，BE＝CF＝5，△ABC≌△DEF，
∴四边形ACFD的面积是：
8＝40．
40．
14．（2018春•天心区校级期末）四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题：
（1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）请写出四边形A1B1C1D1的顶点B1、D1坐标；
（3）请求出四边形A1B1C1D1的面积．
（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
（2）B1坐标为（﹣2，1）、D1坐标为（1，1）；
（3）四边形A1B1C1D1的面积
3×
2
3＝7.5．
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