第四章级数答案文档格式.docx
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e
n!
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是
[
]
（Ａ）
1（1
i）
（Ｂ）
[（
1）n
i
（Ｃ）
in
（Ｄ）
1）nin
n1n
n
n1
2n
n2lnn
2．若幂级数
cnzn在z1
2i
处收敛，那么该级数在
2处的敛散性为
n0
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（C）发散
（D）不能确定
12i
5
2，由Abel定理易得
3．幂级数
（1）n
1在|z|
1内的和函数为
0n
（Ａ）ln（1
z）
（B）ln（1
（C）ln1
（D）
ln1
1z
'
zn1
（1）nzn
z1
=
dz
dzln（1
n0n1
01z
.专业学习资料.
..
.
二、填空题：
．设n（1
n，则limn
。
2
．设幂级数
cnzn的收敛半径为R，那么幂级数
（2n
1）cnzn的收敛半径为
R
3
．幂级数
的收敛半径是
n0nn
4
（p为正整数）的收敛半径是
p
三、解答题：
．判断下列数列是否收敛？
如果有极限，求出它们的极限。
（1）n
1e
ni
当n
2k时，
1）k
（1）k
2k2k1
由lim
lim
0知，
k
2k
时，n
i
（1）k1
1,
k2k1
n0
（2）
3122n
12n
i（1
n）
12
1）n
1可得，
由lim3
3，lim（1
2．判断下列级数的敛散性。
若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
判断绝对收敛的两种方法：
（1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）1ii2i3in,
由limin不存在可知，级数发散
（级数收敛的必要条件）
（5i）3
（5i）5
（2）5i
53
55
52n
i（5
由级数
52n1
收敛可知，原级数绝对收敛.
n0（2n
nsinin
（3）
3n
nsininn（enen）
nn
23n
323e
及级数
收敛，可得原级数绝对收敛
n123e
（4）
[
（1）k
k1
ln2k
ln（2k
由于
和
1）k
为交错级数，由莱布尼兹准则，
1ln（2k1）
级数收敛，故原级数收敛。
又由
1和
发散，
k1ln2k
k1ln（2k
则原级数条件收敛。
3．求幂级数
（n
1）（z3）n1的收敛半径，收敛域及和函数，并计算
之值。
n12n
解：
由
知，收敛半径
R1.
nn1
当z=2时，原级数成为
（n
1）
（1）n1，为发散级数，
因而原级数的收敛域为
1（z3）（z3）2
（z3）n
3）
2（z3）
3（z
3）2
1）（z3）n
（z
z3
故
（n1）（z3）n1=（z3）
（z4）2
7时，
7
当z
（n1）（z3）n1=
=2
4）
4．求幂级数
n2zn的和函数，并计算
n2
12z3z2
（n1）zn
（n1）zn
232z43z2
（n2）（n1）zn
（n2）（n
1）zn
n2zn
z（z
（z1）3
（z1）2
时，nn=6
复变函数练习题第四章级数
系专业班姓名学号
3泰勒级数
一、选择题
1．设函数
ez
的泰勒展开式为
cnzn，那么幂级数
cnzn的收敛半径R
[C]
（A）
（B）1
（C）
（D）
函数在某点展成的幂级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离
cosz
k（k
Z）
在z
内解析
2．函数1
在
1处的泰勒展开式为
[D]
1）nn（z
1）n1（|z
1|
（B）
（1）n1n（z1）n
1（|z1|
n（z
1|1）
由1
1在点
，下面先对
进行展开.
1（z1）（z1）2
（z1）n
（z11）
2（z
n（z1）n1
注写成求和形式中注意保持第一项是一致的
3.函数sinz在z
处的泰勒展开式为
[B]
（A）
）2n1（|z
|
（B）
（1）n（z
）2n（|z
0（2n
（2n）!
（C）
（1）n1
（1）n1（z
sinz=sin（z
）cos（z
4．级数
z2n
[A]
z（ez2
z（e2z
zez2
ze2z
令w
z2，则
z2n1
wnw
w
wn
w（ew1）
其中
w表示某一单值分支
5．Re（
cos1
sin1
考虑
1（z
1（ez
1）（z
或者
2）
1（ez1）
zn1
取
，则可得
in1
i（cos11
isin1）
i（cos1
（e
二、填空题
1．函数f（z）
（1
0处的泰勒展开式为
f（z）
（1）n（n
1）zn（z1）
z）2
z）2
（1）nnzn1
（1）n（n1）zn（z1）
2．
的幂级数展开式为
（1）nz3n，收敛域为z1
三、解答题
求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。
遇到
1．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：
（1）
nz
2n
4z
4n0
n04
z2（n1）
4n
收敛半径R=2
（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方
法.）
4n
n0（2n）!
由lim
（1）n1
（2n）!
=0知，
（2n2）!
（1）
（2n2）（2n+1
收敛半径为
2．求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
1,z
z0
3z
43z
3i
3（z
i）
3in
n1（z
1i）n
3知，
10
收敛半径R
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