全等三角形专项训练及答案解析讲解Word格式文档下载.docx
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BC=DC.
25.课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推
论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;
用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
26.如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:
△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°
,求∠EBC的度数。
27.已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=9°
0,D为AB边上一点.求证:
BD=AE.
E、F在线段AC上,且
28.如图,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点AF=CE。
求证:
FD=BE。
29.如图,已知线段AB。
(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写出作法);
(2)在
(1)中所作的直线l上任意取两点M、N(线段AB的上方),连接AM、AN。
BM、BN。
∠MAN∠=MBN。
30.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建
一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:
不写作法,保留作图痕迹,写出结论.)
31.两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号反射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条
公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?
请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
32.如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=C.E求证:
∠A=∠B.
33.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠B>
∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
DE=EF;
(2)连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:
∠B=∠A+∠DGC.
34.如图:
已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
BE=CD.
35.如图,∠AOB=9°
0,OA=0B,直线l经过点O,分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C,BD⊥l交l于点D.
AD=OD.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE
与QF的数量关系式;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
37.如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:
AC=DF.
38.如图,CD=C,A∠1=∠2,EC=BC,求证:
DE=AB.
39.如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
40.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
BN=D;
N
(2)求△ABC的周长.
41.如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=9°
0,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.
42.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=9°
0,∠DAE=9°
0,B,C,D在同一条直线上.求证:
BD=CE.
43.如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:
△ABC≌△AED.
44.如图,把一个直角三角形AC(B∠ACB=9°
0)绕着顶点B顺时针旋转60°
,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
45.已知等腰三角形ABC中,∠ACB=9°
0,点E在AC边的延长线上,且∠
DEC=4°
5,点M、N分别是DE、AE的中点,连接MN交直线BE于点F.当点
(1)当点D在CB边上时,如图2所示,上述结论是否成立?
若成立,请给与证明;
若不成立,请写出你的猜想,并说明理由.
(2)当点D在BC边的延长线上时,如图3所示,请直接写出你的结论.(不需要证明)
46.如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是.
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
47.如图,AD=BC,AC=BD,求证:
△EAB是等腰三角形.
48.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:
△ABC≌△A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)证明:
分别过点B,B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=90°
,
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴△BCD≌△B1C1D1,
∴BD=B1D1.
(2)归纳与叙述:
由
(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论
49.有一块不规则的鱼池,下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案,请你分析一下两种方案的理由.方案一:
小明想出了这样一个方法,如图①所示,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,测得DE的长就是AB的长.你能说明一下这是为什么吗?
方案二:
小军想出了这样一个方法,如图②所示,先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C,连结AC并延长到点D,使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,量出DE的长,这个长就是A、B之间的距离.你能说明一下这是为什么吗?
50.MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路,小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处,这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走,如图所示,经过一段时间后,同时到达A、D两点,他们的行走路线AB、DE平行吗?
请说明你的理由.
全等三角形参考答案
1.C
【解析】试题分析:
∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,
∴AC平分∠BCD,平分∠BCD,BE=DE。
∴∠BCE=∠DCE。
在Rt△BCE和Rt△DCE中,∵BE=DE,BC=DC,∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)。
∴选项ABD都一定成立。
故选C。
2.C
根据全等三角形的判定方法分别进行判定:
A、已知AB=DE,加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
B、已知AB=DE,加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;
D、已知AB=DE,加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意。
3.C
【解析】
试题分析:
∵OP平分∠AOB,∠AOB=60,∴∠AOP=∠POB=30。
∵CP∥OA,∴∠OPC=∠AOP=30。
又∵PE⊥OB,∴∠OPE=60。
∴∠CPE=∠OPC=30。
∵CP=2,∴PE=3。
又∵PD⊥OA,∴PD=PE=3。
∴OP=23。
又∵点M是OP的中点,∴DM=1OP=3。
2
4.C。
【解析】∵AB=AD,CB=CD,AC公用,∴△ABC≌△ADC(SSS)。
∴BAO=DAO,BCO=DCO。
∴△BAO≌△DAO(SAS),△BCO≌△DCO(SAS)。
∴全等三角形共有3对。
5.C。
【解析】根据全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质对各选项解析判断后利用排除法求解:
A、添加BD=C,E可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
B、添加AD=AE,根据等边对等角可得∠ADE=∠AED,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC,故本选项正确;
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误。
6.B
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+E。
F∴AF=CE。
AC
A.∵在△ADF和△CBE中,AFCE,∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,
AFDCEB
故本选项错误。
B.根据AD=C,BAF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确。
AFCE
C.∵在△ADF和△CBE中,AFDCEB,∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故
DFBE
本选项错误。
D.∵AD∥BC,∴∠A=∠C。
由A选项可知,△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误。
故选B。
7.A
【解析】本题考查的是两平行线间的距离
过A作AE⊥l3于E,过C作CF⊥l3于F,求出∠AEB=∠CFB,∠EAB=∠CBF,根据AAS证△AEB≌△BFC,推出AE=BF=2,BE=CF=,3由勾股定理求出AB和BC,再由勾股定理求出AC即可.
过A作AE⊥l3于E,过C作CF⊥l3于F,
则∠AEF=∠CFB=∠ABC=9°
0,∴∠ABE+∠CBF=180°
-90°
=90°
,∠EAB+∠ABE=90°
,∴∠EAB=∠CBF,
∵在△AEB和△BFC中
∴△AEB≌△BFC(AAS),
∴AE=BF=,2BE=CF=2+1=,3
由勾股定理得:
ABBC223213,
AC(13)2(13)226,
故选A.8.AC=BD(答案不唯一)
利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等,再根据全等三角形对应边相等解答即可:
CD
∵在△ABC和△BAD中,ABCBAD,
ABBA
∴△ABC≌△BAD(AAS)。
∴AC=BD,AD=BC。
由此还可推出:
OD=O,CAO=BO等(答案不唯一)。
9.15。
【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,则
∵∠A=Rt∠,BD是∠ABC的平分线,AD=3,
∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,得DE=3。
又∵BC=10,∴△BDC的面积是1BCDE110315。
22
10.AC=C(D答案不唯一)。
【解析】∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠DCE。
又∵BC=EC,
∴根据全等三角形的判定,若添加条件:
AC=CD,则由SAS可判定△ABC≌△DEC;
若添加条件:
∠B=∠E,则由ASA可判定△ABC≌△DEC;
若添加条件:
∠A=∠D,则由AAS可判定△ABC≌△DEC。
答案不唯一。
11.2
【解析】∵∠ACB=9°
0,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°
。
∵∠F=30°
,∴∠A=∠F=30°
(同角的余角相等)。
又AB的垂直平分线DE交AC于E,∴∠EBA=∠A=30°
∴Rt△DBE中,BE=2DE=。
12.3
如图,延长CF交AB于点G,
∵在△AFG和△AFC中,∠GAF=∠CAF,AF=AF,∠AFG=∠AFC,
∴△AFG≌△AFC(ASA)。
∴AC=AG,GF=CF。
又∵点D是BC中点,∴DF是△CBG的中位线。
1113
∴DF=1BG=1(AB﹣AG)=1(AB﹣AC)=3。
2222
13.AC=D(F答案不唯一)
由BF=CE,根据等量加等量,和相等,得BF+FC=CE+FC,即BC=EF;
由AC∥DF,根据平行线的内错角相等的性质,得∠ACB=∠DFE,△ABC和△DEF中有一角一边对应相等,
∴根据全等三角形的判定,添加AC=DF,可由SAS得△ABC≌△DEF;
添加∠B=∠E,可由ASA得△ABC≌△DEF;
添加∠A=∠D,可由AAS得△ABC≌△DEF。
14.56°
∵∠BOC=118°
,∴∠OBC+∠OCB=6°
2。
又∵点O是△ABC的两条角平分线的交点,∴∠ABC+∠ACB=12°
4。
∴∠A=56°
15.AE=AD(答案不唯一)。
【解析】要使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,∠A=∠A,则可以添加AE=AD,利用SAS来判定其全等;
或添加∠B=∠C,利用ASA来判定其全等;
或添加∠AEB=∠ADC,利用AAS来判定其全等。
等(答案不唯一)。
16.∠B=∠C(答案不唯一)。
【解析】由题意得,AE=AD,∠A=∠A(公共角),可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定,答案不唯一:
添加,可由AAS判定△ABE≌△ACD;
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD;
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB,可由ASA判定△ABE≌△ACD。
17.AB=AC(答案不唯一)。
【解析】已知∠B=∠C.加上公共角∠A=∠A.要使△ABD≌△ACE,只要添加一条对应边相等即可。
故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等,答案不唯一。
考点:
开放型,全等三角形的判定。
18.AB=DE(答案不唯一)
可选择利用AAS或SAS进行全等的判定,答案不唯一,写出一个符合条件的即可:
∵BE=CF,∴BC=EF。
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF。
∴在△ABC和△DEF中,已有一边一角对应相等。
∴添加AB=DE,可由SAS证明△ABC≌△DEF;
添加∠BCA=∠F,可由ASA证明△ABC
≌△DEF;
添加∠A=∠D,可由AAS证明△ABC≌△DEF;
等等。
19.2
如图,连接FD,
∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=,6∠A=60°
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点,AB=6,PB=1,∴AD=BD=AF=,3DP=DB﹣PB=3﹣1=2,EF为△ABC的中位线。
∴EF∥AB,EF=1AB=3,△ADF为等边三角形。
∴∠FDA=60°
,∴∠1+∠3=60°
∵△PQF为等边三角形,∴∠2+∠3=60°
,FP=FQ。
∴∠1=∠2。
∵在△FDP和△FEQ中,FP=FQ,∠1=∠2,FD=FE,∴△FDP≌△FEQ(SAS)。
∴DF=QE。
∵DF=2,∴QE=2。
20.20
如图,∠A=180°
﹣50°
﹣60°
=70°
∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC=2,0即x=20。
21.120°
【解析】本题主要考查全等三角形的判定(SAS)与性质:
全等三角形的对应角相等.
∵△ABD、△ACE都是正三角形
∴AD=AB,AC=AE∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴∠ADC=∠ABE
∴∠DAB=∠BOD=6°
0∠BOC=180∠-BOD=6°
22.25
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质.过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点,由AE⊥BC,AF⊥CF,∠C=90°
可得四边形AECF为矩形,则∠2+∠3=90°
,而∠BAD=9°
0,根据等角的余角相等得∠1=∠2,加上∠AEB=∠AFD=90°
和AB=AD,根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF,由全等三角形的性质有AE=AF=5,S△ABE=S△ADF,则S四边形ABCD=S正方形AECF,然后根据正方形的面积公式计算即
∵AE⊥BC,AF⊥CF,
∴∠AEC=∠CFA=90°
而∠C=90°
∴四边形AECF为矩形,
∴∠2+∠3=90°
又∵∠BAD=9°
0,
∴∠1=∠2,
在△ABE和△ADF中
∠1=∠2,∠AEB=∠AFD,AB=AD
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF=,5S△ABE=S△ADF,
∴四边形AECF是边长为5的正方形,
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=5=25.故答案为25.
23.证明:
∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∠A=∠D。
∵在△AOB和△DOC中,∠B=∠C,OA=O,D∠A=∠D,∴△AOB≌△DOC(SSA)。
∴AB=CD。
首先根据AB∥CD,可得∠B=∠C,∠A=∠D,结合OA=O,D可证明出△AOB≌△DOC,即可得到AB=CD。
24.证明:
∵∠BCE=∠DCA,
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠ACB=∠ECD。
在△ABC和△EDC中,
ACBECD
∵ACEC,
AE
∴△ABC≌△EDC(ASA)。
∴BC=DC
先求出∠ACB=∠ECD,再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等,然后根据全等三角形对应边相等证明即可。
25.解:
(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是:
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
(2)已知:
在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,BC=EF。
△ABC≌△DEF。
证明:
如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F(已知),
∴∠A+∠C=∠D+∠F(等量代换)。
又∵∠A+∠B+∠C=180°
,∠D+∠E+∠F=180°
(三角形内角和定理),∴∠B=∠E。
CF
∴在△ABC与△DEF中,BCEF。
BE
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
(1)两边及其夹角分别对应相等的两个三角