中考数学专题汇编全集圆的证明与计算题.docx

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中考数学专题汇编全集圆的证明与计算题

圆的证明与计算题

类型一　与全等三角形有关

1.如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F.

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若BC＝10，AB＝16，求OF的长．

第1题图

（1）证明：

∵OC⊥AB，AB∥CD，

∴OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，连接BO.

设OB＝x，

∵AB＝16，OC⊥AB，

∴HA＝BH＝8，

∵BC＝10，∴CH＝6，

∴OH＝x－6.

在Rt△BHO中，

∵OH2＋BH2＝OB2，

∴（x-6）2＋82＝x2，解得x＝，

∵CB∥AE，∴∠CBH＝∠FAH，

在△CHB和△FHA中，

∴△CHB≌△FHA，∴CH＝HF，

∴CF＝2CH＝12，

∴OF＝CF－OC＝12－＝.

第1题解图

2.已知，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，B点在⊙O上，连接OB.

（1）求证：

DE＝OE；

（2）若CD∥AB，求证：

四边形ABCD是菱形．

第2题图

证明：

（1）如解图，连接OD，

第2题解图

∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，

∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD＝90°，

又∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE；

（2）∵OD＝OE，∴OD＝DE＝OE，

∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，

∴∠2＝∠1＝30°，

∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，

∴OA＝OB＝DE＝EC，

∵CD∥AB，∴∠4＝∠1，

∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，

∴△ABO≌△CDE（AAS），

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵∠DAE＝∠DOE＝30°，

∴∠1＝∠DAE，∴CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.

（1）若∠BCD＝36°，BC＝10，求的长；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）求证：

2CE2＝AB·EF.

第3题图

（1）解：

如解图，连接OD，

∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，

∵BC是⊙O的直径，且BC＝10，∴l＝＝2π.

第3题解图

（2）解：

DE是⊙O的切线；理由如下：

∵BC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

又∵点E是线段AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝AC，

在△DOE与△COE中，

∵∴△DOE≌△COE（SSS），

∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，

∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（3）证明：

∵△DOE≌△COE，

∴OE是线段CD的垂直平分线，DE＝CE，

∴点F是线段CD的中点，

∵点E是线段AC的中点，则EF＝AD，

在△ACD与△ABC中，

∴△ACD∽△ABC，

则＝，即AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，

∴（2CE）2＝AB·2EF，

即4CE2＝AB·2EF，

∴2CE2＝AB·EF.

类型二　与相似三角形有关

4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.

（1）求证：

∠BDC＝∠A；

（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．

第4题图

（1）证明：

如解图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴∠ODC＝90°，

即∠ODB＋∠BDC＝90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即∠ODB＋∠ADO＝90°，

∴∠BDC＝∠ADO，

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠A，

∴∠BDC＝∠A;　　

第4题解图

（2）解：

∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，

∴∠DCE＝∠BDC，

∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，

∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，

∴＝，∴EC2＝DE·AE，

∴

（2）2＝2（2＋AD），∴AD＝4.

5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.

第5题图

（1）求证：

BD＝BE；

（2）若DE＝2，BD＝，求CE的长．

（1）证明：

∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD＝90°，

∴∠DAB＋∠D＝90°.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠CAE＋∠CEA＝90°，

∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠DAB，

∴∠CEA＝∠D.

∵∠CEA＝∠DEB，∴∠D＝∠DEB，

∴BD＝BE；

（2）解：

如解图，设AD与⊙O交于点F，连接BF，

第5题解图

∵BD＝BE，BF⊥AD，

∴DF＝EF＝1，BE＝BD＝，

在Rt△BDF中，由勾股定理得BF＝2.

∵∠DFB＝90°，

∴∠D＋∠DBF＝90°，

∵∠D＋∠DAB＝90°，

∴∠DBF＝∠DAB，

∵∠D＝∠D，

∴△DBF∽△DAB，

∴＝，

∴DB2＝DF·DA，

即（）2＝1·DA，解得DA＝5，

∴AE＝DA－DE＝3.

∵∠C＝∠BFE，∠AEC＝∠BEF，

∴△AEC∽△BEF，

∴＝，即＝，

解得CE＝.

6.如图，PA与以AC为直径的圆相切于点A，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E.

求证:

（1）AD＝AE；

（2）AB·AE＝AC·DB.

第6题图

证明：

（1）∵PA为圆的切线，AC为直径，

∴∠PAE=∠ABC=90°，

∴∠PAD+∠BAC=∠C+∠BAC=90°，

∴∠PAD=∠C，

∵PE平分∠APC，

∴∠APD＝∠CPE，

∵∠ADE＝∠APD＋∠PAD，∠AED＝∠CPE＋∠C，

∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE;

（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，

∴△APB∽△CPA，得＝.

∵∠APE＝∠BPD，

∠AED＝∠ADE＝∠PDB，

∴△PBD∽△PAE，

得＝.

∴＝.

∴AB·AE＝AC·DB.

7.如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，求证：

DE2＝DF·DB;

（3）在

（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．

第7题图

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，

∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠EBA＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：

∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，＝，

∴∠ABD＝∠DEA，

∴∠DEA＝∠DBE，

∵∠EDB＝∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴＝，

∴DE2＝DF·DB；

（3）解：

如解图，连接DO，

第7题解图

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，∴＝，

∵PA＝AO，∴PA＝AO＝OB，

∴＝，∴＝，

∴＝，

∵DE＝2，∴PD＝4.

类型三　与锐角三角函数有关

8.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD、DE.

（1）若＝，求sinC;

（2）求证：

DE是⊙O的切线．

第8题图

（1）解：

∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，

又∵∠ABC＝90°，∠A为公共角，

∴△ABD∽△ACB，

∴＝＝，

在Rt△ABC中，sinC＝＝;

（2）证明:

如解图，连接OD，由

（1）知，∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°，∴△BCD是直角三角形．

∵E是△BCD斜边BC的中点，

∴DE是斜边BC上的中线，

∴BE＝DE＝CE，

∴∠DBE＝∠BDE，

又∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE，

即∠OBC＝∠ODE.

∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°，

∵OD为圆O的半径，

∴DE是圆O的切线．

第8题解图

9.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.

第9题图

（1）求证：

BD是⊙O的切线；

（2）求证：

CE2＝EH·EA；

（3）若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长．

（1）证明：

∵∠ODB＝∠AEC，

∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，

即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，

∵OB是⊙O的半径，

∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：

如解图①，连接AC，

第9题解图①

∵OF⊥BC，∴＝，

∴∠CAE＝∠ECB，

∵∠CEA＝∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴＝，

∴CE2＝EH·EA；

（3）解：

如解图②，连接BE，

第9题解图②

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，

∴AB＝5，BE＝AB·sin∠BAE＝5×＝3，

∴在Rt△ABE中，EA＝＝4，

∵＝，∴BE＝CE＝3，

∵CE2＝EH·EA，∴EH＝，

∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝.

10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE.

（1）求证：

△ECF∽△GCE；

（2）求证：

EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝，AH＝3，求EM的值．

第10题图

（1）证明：

∵AC∥EG，

∴∠G＝∠ACG，

∵AB⊥CD，∴＝，

∴∠CEF＝∠ACD，

∴∠G＝∠CEF，

∵∠ECF＝∠ECG，

∴△ECF∽△GCE；

（2）证明：

如解图，连接OE，

∵FG＝EG，

∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，

∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，

∵∠AFH＋∠FAH＝90°，

∴∠GEF＋∠AEO＝90°，

∴∠GEO＝90°，即GE⊥OE，

又∵OE是⊙O的半径，

∴EG是⊙O的切线；

第10题解图

（3）解：

如解图，连接OC，设⊙O的半径为r.

在Rt△AHC中，AH＝3，tan∠ACH＝tan∠G＝＝，

∴HC＝4，

在Rt△HOC中，OC＝r，

OH＝r－3，

∴（r－3）2＋（4）2＝r2，

解得r＝，

∵EG∥AC，∴∠CAH＝∠M，

∵∠OEM＝∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴＝，∴＝，

∴EM＝.