集合与常用逻辑用资料文档格式.docx
《集合与常用逻辑用资料文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合与常用逻辑用资料文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
子集
集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）
A⊆B
（或B⊇A）
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
（或BA）
集合相等
集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．
（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（ ）
（2）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（ ）
（3）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（ ）
（4）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（ ）
（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（ ）
（6）含有n个元素的集合有2n个真子集．（ ）
1．（2015·
四川）设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B等于（ ）
A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于（ ）
A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1}D．{－1,0}
3．（2015·
陕西）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N等于（ ）
A．[0,1]B．（0,1]
C．[0,1）D．（－∞，1]
4．（教材改编）已知集合A＝{x|3≤x<
7}，B＝{x|2<
x<
10}，则∁R（A∪B）＝________.
5．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
题型一 集合的含义
例1
（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．5D．9
（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
思维升华
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；
（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a＝________.
题型二 集合间的基本关系
例2
（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<
5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2）已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<
0}，B＝{x|x<
a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
思维升华
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
（1）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．A＝BB．A∩B＝∅
C．A⊆BD．B⊆A
（2）已知集合A＝{x|
＝
，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（ ）
A．2B．－1
C．－1或2D．2或
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3
（1）设全集U＝{x∈N*|x<
6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）等于（ ）
A．{1,4}B．{1,5}
C．{2,5}D．{2,4}
（2）已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|0<
log2x<
2}，则∁R（A∩B）是（ ）
A．{x|2<
4}B．{x|x≥2}
C．{x|x≤2或x≥4}D．{x|x<
2或x≥4}
命题点2 利用集合运算求参数
例4
（1）已知集合A＝{1,3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（ ）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
（2）设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>
a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≥1
C．a≥0D．a≤0
思维升华
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；
集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
（1）（2015·
天津）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩（∁UB）等于（ ）
A．{2,5}B．{3,6}
C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}
（2）已知集合A＝{x|x>
2或x<
－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2<
x≤4}，则
＝_______________.
题型四 集合的新定义问题
例5 若集合A具有以下性质：
（Ⅰ）0∈A,1∈A；
（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，
∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（ ）
（1）集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
（2）有理数集Q是“好集”；
（3）设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0B．1C．2D．3
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
（2015·
湖北）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则AB中元素的个数为（ ）
A．77B．49C．45D．30
[方法与技巧]
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；
对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
[失误与防范]
1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；
二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
A组 专项基础训练
（时间：
30分钟）
1．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}
答案 B
解析 选项A中的集合M表示由点（3,2）所组成的单点集，集合N表示由点（2,3）所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案 C
解析 ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.
∴B中共有6个元素．
课标全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案 D
解析 A＝{…，5,8,11,14,17，…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有两个元素．
4．（2015·
课标全国Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）＜0}，则A∩B等于（ ）
A．{－1,0}B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{0,1,2}
答案 A
解析 由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故选A.
5．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅
解析 ∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，
又∁UB＝{3,4}，∴A∩（∁UB）＝{3}．
6．设集合A＝{3，x2}，B＝{x，y}，若A∩B＝{2}，则y的值为（ ）
A．1B．2C．4D．3
解析 由A∩B＝{2}得x2＝2，∴x＝±
，故y＝2.
7．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4个．
8．已知集合A＝{x|－1<
0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．（－∞，0]B．[0，＋∞）
C．（－∞，0）D．（0，＋∞）
解析 用数轴表示集合A，B（如图）
由A⊆B得a≥0.
9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>
0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，1]
解析 ∵1∉{x|x2－2x＋a>
0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
10．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m的可能取值组成的集合为________．
答案 {0,1，－
}
解析 A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；
B＝{－1}时，m＝1；
B＝{2}时，m＝－
.
11．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1,2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
答案 {（0,1），（－1,2）}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
12．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<
3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<
0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<
3}＝{x∈R|－5<
1}，
由A∩B＝（－1，n）可知m<
1，
则B＝{x|m<
2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
B组 专项能力提升
15分钟）
13．已知集合A＝{x|x≤1}．若B⊆A，则集合B可以是（ ）
A．{x|x≤2}B．{x|x>
1}
C．{x|x≤0}D．R
解析 因为B⊆A，且A＝{x|x≤1}，所以选项中只有C满足题意．故选C.
14．全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>
0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）B．（－∞，2]
C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）
解析 A＝{x|x2－3x＋2>
0}＝（－∞，1）∪（2，＋∞），B＝{x|x≤a}，则∁UB＝（a，＋∞）．∵（a，＋∞）⊆（－∞，1）∪（2，＋∞），∴a≥2.故选D.
15．定义在R上的运算：
xy＝
.若关于x的不等式x（x＋3－a）>
0的解集为A，B＝[－3,3]，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．
答案 [4，＋∞）
解析 x（x＋3－a）>
0⇔
<
0.由A∩B＝∅得，当x∈[－3,3]时，
≥0或x＋1－a＝0，由于在[－3,3]上，x－5<
0，所以x＋1－a≤0，即a≥x＋1在[－3，3]上恒成立，所以a≥4.
16．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝
，则∁UA＝________.
答案 {0}
解析 因为A＝
，
当n＝0时，x＝－2；
n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；
n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；
n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.
故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．
17．已知集合A＝{x|1≤x<
5}，C＝{x|－a<
x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．
答案 （－∞，－1]
解析 因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－
；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－
a≤－1.
综上，a的取值范围是（－∞，－1]．
18．已知集合A＝{（x，y）|y＝a}，B＝{（x，y）|y＝bx＋1，b>
0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．
答案 （1，＋∞）
解析 由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1（b>
0，b≠1）与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是（1，＋∞）．
升级会员 