集合与常用逻辑用语.docx

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集合与常用逻辑用语

　集合与常用逻辑用语

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

集合的概念、运算与性质；四种命题；充要条件；简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”；全称量词与存在量词

教学目标

复习巩固基本知识点，掌握专题间知识点交汇综合问题

教学重点

集合与函数、不等式、解析几何等知识的交汇

充要条件；命题真假的判断

教学难点

充要条件；命题真假的判断

教学过程

一、课堂导入

集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．

二、复习预习

复习集合的概念、运算与性质；四种命题；充要条件；简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”；全称量词与存在量词

三、知识讲解

考点1

1.集合的概念、运算和性质

（1）集合的表示法：

列举法，描述法，图示法．

（2）集合的运算：

①交集：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

②并集：

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

③补集：

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

（3）集合的关系：

子集，真子集，集合相等．

（4）需要特别注意的运算性质和结论．

①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；

②A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U.

A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

考点2

2.四种命题

（1）用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：

若p则q；则逆命题：

若q则p；否命题：

若¬p则¬q；逆否命题：

若¬q则¬p.

（2）四种命题的真假关系

原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．

考点3

3.充要条件

（1）若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．

（2）若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

（3）若p⇔q，则p是q的充分必要条件

考点4

4.简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”

用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；

用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；

对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．

考点5

5.全称量词与存在量词

（1）全称命题p：

∀x∈M，p（x）．

它的否定¬p：

∃x0∈M，¬p（x0）．

（2）特称命题（存在性命题）p：

∃x0∈M，p（x0）．

它的否定¬p：

∀x∈M，¬p（x）.

四、例题精析

考点一集合的概念及运算

例1　设集合A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（　　）

A．3个　　　　　　　B．4个

C．5个D．6个

．

【规范解答】　

U＝A∪B＝{3,4,5,6,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U（A∩B）＝{3,5,6,8}，故选B.

【总结与反思】

1．用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．

2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程（不等式）求出集合，特别注意集合中的限制条件（如x∈Z）．

3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：

先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：

（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；

（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；

（3）若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．

考点二命题真假判断与逻辑联结词、量词

例2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q是线段CC1上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面为S，则下列命题正确的是____________．（写出所有正确命题的编号）

①当0

时，S为四边形；②当CQ＝

时，S为等腰梯形；

③当CQ＝

时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

；

④当

⑤当CQ＝1时，S的面积为

.

【规范解答】

①当Q为CC1的中点时，PQ∥BC1∥AD1，此时截面为等腰梯形APQD1，CQ＝

；②当0

时，在平面AA1D1D内作AE∥PQ，显然E点在DD1上，此时截面S为四边形APQE；

③如图

（1），当CQ＝

时，作BF∥PQ交CC1的延长线于F，则G1F＝

，作AE∥BF，交DD1的延长线于E，则D1E＝

，AE∥PQ，连接EQ交C1D1于R，则Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，∴

＝

＝

，∴C1R＝

；④当

（1）设M为AE与A1D1的交点，连接RM，此时S为五边形APQRM；

⑤当CQ＝1时，如图

（2），作AE∥PQ交DD1的延长线于E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，∴S为菱形APQM，其面积为

MP·AQ＝

×

×

＝

.

【总结与反思】

1．判定命题真假的方法：

（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．

（2）四种命题真假的判断依据：

一个命题和它的逆否命题同真假．

（3）形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．

（4）判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题（存在性命题）真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．

2．注意含逻辑联结词的命题的否定．

3．设函数y＝f（x）（x∈A）的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f（x）恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f（x）恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f（x0）成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f（x0）成立，则a≥m.

考点三四种命题及其关系

例3有下列四个命题：

（1）若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；

（3）“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

（4）“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为（　　）

A．

（1）

（2）B．

（2）（3）

C．（4）D．

（1）

（2）（3）

【规范解答】

（1）的逆命题：

“若x、y互为倒数，则xy＝1”是真命题；

（2）的否命题：

“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；

（3）的逆否命题：

“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题

（4）是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的，故选D.

【总结与反思】

1．要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．

常见命题的否定形式有：

原语句

是

都是

>

至少有一个

至多有一个

∀x∈A使p（x）真

∃x0∈m，p（x0）成立

否定形式

不是

不都是

≤

一个也没有

至少有两个

∃x0∈A使p（x0）假

∀x∈M，p（x）不成立

原语句

p或q

p且q

否定形式

¬p且¬q

¬p或¬q

2.要注意掌握不同类型命题的否定形式，

（1）简单命题“若A则B”的否定．

（2）含逻辑联结词的复合命题的否定．

（3）含量词的命题的否定．

3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．

考点四充分条件与必要条件

例4函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【规范解答】　∵x＝x0是f（x）的极值点，∴f′（x）＝0，即q⇒p，而由f′（x0）＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C.

【总结与反思】

1．要善于举出反例：

如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．

2．要注意转化：

如果p是q的充分不必要条件，那么¬p是¬q的必要不充分条件．同理，如果p是q的必要不充分条件，那么¬p是¬q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么¬p是¬q的充要条件．

3．命题p与q的真假都与m的取值范围有关，使命题p成立的m的取值范围是A，使命题q成立的m的取值范围是B，则“p⇒q”⇔“A⊆B”．

课程小结

1．认清集合元素的属性及元素所代表的意义．

2．区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．

3．p或q的否定：

¬p且¬q；p且q的否定：

¬p或¬q.

4．“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.