高考数学 第一单元 集合与常用逻辑用语.docx

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高考数学第一单元集合与常用逻辑用语

第一单元

集合与常用逻辑用语

第1课

集__合

[过双基]

1．集合的含义及表示

（1）集合的含义：

研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：

确定性、无序性、互异性．

（2）元素与集合的关系：

①属于，记为∈；②不属于，记为∉.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法和图示法．

（4）常用数集的记法：

自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.

2．集合间的基本关系

　　表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A

AB或

BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

∀x，x∉∅，∅⊆A

∅

3．集合的基本运算

　表示

运算　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

1．（2017·云南统一检测）已知集合S＝{x|3x＋a＝0}，如果1∈S，那么实数a的值为（　　）

A．－3　　　　　　　　　　B．－1

C．1D．3

解析：

选A　∵1∈S，∴3＋a＝0，∴a＝－3.

2．（2017·江西临川一中期中）已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为（　　）

A．2B．－2

C．0D.

解析：

选B　若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±

，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±

，显然满足条件；若k2－2＝4，则k＝±

，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±

，±

，±

，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.

3．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则（　　）

A．P⊆QB．P⊇Q

C．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP

解析：

选B　解x2<2，得－

，∴P⊇Q.

4．（2017·河南适应性测试）已知集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B中的元素的个数为（　　）

A．6　　　　　　　　　　B．5

C．4D．3

解析：

选C　因为B＝{0,2,4}，所以A∪B＝{0,1,2,4}，其元素的个数为4，故选C.

5．（2016·全国丙卷）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（　　）

A．[2,3]　　　　　　　B．（－∞，2]∪[3，＋∞）

C．[3，＋∞）D．（0,2]∪[3，＋∞）

解析：

选D　由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0

6.设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则（∁UA）∩B＝________.

解析：

由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁UA＝{4,6,7,9,10}，即（∁UA）∩B＝{7,9}．

答案：

{7,9}

[清易错]

1．在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．

2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

1．（2017·西安质检）已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4

C．3D．2

解析：

选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.

2．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（　　）

A．0或1或2B．1或2

C．0D．0或1

解析：

选A　由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，

∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，

当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；

当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.

当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.

3.设全集U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则右图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}

C．{x|0

解析：

选D　由2x（x－2）<1，得x（x－2）<0，解得00，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB，因为∁UB＝[1，＋∞），画出数轴，如图所示，所以A∩∁UB＝[1,2）．

[全国卷5年命题分析]

考点

考查频度

考查角度

集合的基本概念

5年2考

集合的表示、集合元素的性质

集合间的基本关系

5年1考

子集概念

集合的基本运算

5年7考

交、并、补运算，多与不等式相结合

集合的基本概念

[典例]　

（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　　B．4

C．5D．6

（2）（2017·厦门模拟）已知P＝{x|2

[解析]　

（1）∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．

（2）因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5

[答案]　

（1）B　

（2）（5,6]

[方法技巧]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．　　

[即时演练]

1．（2017·莱州一中模拟）已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选C　A＝{x∈N|（x＋3）（x－1）≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.

2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

答案：

－

集合间的基本关系

[典例]　

（1）（2017·忻州一中期中）已知集合A满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为（　　）

A．8B．7

C．4D．3

（2）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a

[解析]　

（1）由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.

（2）因为B⊆（A∩B），所以B⊆A.

①当B＝∅时，满足B⊆A，

此时－a≥a＋3，即a≤－

；

②当B≠∅时，要使B⊆A，则

解得－

由①②可知，a的取值范围为（－∞，－1]．

[答案]　

（1）B　

（2）（－∞，－1]

[方法技巧]

已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．　　

[即时演练]

1．（2017·兰州模拟）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

解析：

选D　因为A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，所以结合数轴可得B⊆A.

2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，实数a的取值范围是（c，＋∞），则c＝________.

解析：

由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

而B＝（－∞，a），

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

答案：

4

集合的基本运算

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.,常见的命题角度有：

（1）求交集或并集；

（2）交、并、补的混合运算；

（3）集合的新定义问题.

角度一：

求交集或并集

1．（2016·全国乙卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A.

　　　　　　B.

C.

D.

解析：

选D　∵x2－4x＋3<0，

∴1

∵2x－3>0，∴x>

，

∴B＝

.

∴A∩B＝{x|1

＝

.

2．（2016·山东高考）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

解析：

选C　由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选C.

角度二：

交、并、补的混合运算

3．（2017·开封模拟）设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{－1,2}B．{－2，－1,1,2,4}

C．{1,4}D．∅

解析：

选A　∵B＝{x|x>4或x<－2}，

∴∁RB＝{x|－2≤x≤4}，

∴A∩（∁RB）＝{－1,2}．

4．（2017·沈阳教学质量监测）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{－1,1}，则下列结论中正确的是（　　）

A．A∩B＝{－1}B．（∁RA）∪B＝（－∞，0）

C．A∪B＝（0，＋∞）D．（∁RA）∩B＝{－1}

解析：

选D　由题意知，集合A＝{x|x>0}，则∁RA＝{x|x≤0}．又B＝{－1,1}，所以A∩B＝{1}，（∁RA）∪B＝（－∞，0]∪{1}，A∪B＝{－1}∪（0，＋∞），（∁RA）∩B＝{－1}，故选D.

角度三：

集合的新定义问题

5．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0

解析：

由已知，A∪B＝

，A∩B＝{x|0

答案：

{0}∪[2，＋∞）

[方法技巧]

解集合运算问题4个注意点

（1）看元素构成：

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．

（2）对集合化简：

有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．

（3）应用数形：

常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

（4）创新性问题：

以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．　　

1．（2016·全国甲卷）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

解析：

选C　因为B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}＝{x|－1

2．（2015·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{x|－1

A．（－1,3）B．（－1,0）

C．（0,2）D．（2,3）

解析：

选A　将集合A与B在数轴上画出（如图）．

由图可知A∪B＝（－1,3），故选A.

3．（2014·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝（　　）

A．∅　　　　　　　　　　　B．{2}

C．{0}D．{－2}

解析：

选B　因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.

4．（2013·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－

＜x＜

}，则（　　）

A．A∩B＝∅　　　　　　　　B．A∪B＝R

C．B⊆AD.A⊆B

解析：

选B　因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－

＜x＜

}＝R，故选B.

5．（2013·全国卷Ⅱ）已知集合M＝{x|（x－1）2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝（　　）

A．{0,1,2}　　　　　　　B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}

解析：

选A　不等式（x－1）2＜4等价于－2＜x－1＜2，得－1＜x＜3，故集合M＝{x|－1＜x＜3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.

一、选择题

1．（2017·郑州质量预测）设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U（A∩B）＝（　　）

A．{1,2,3}　　　　　　　　B．{1,2,4}

C．{1,3,4}D．{2,3,4}

解析：

选A　因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U（A∩B）＝{1,2,3}，故选A.

2．（2017·福州模拟）集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}，则A∩B＝（　　）

A．{－3}B．{－1,2}

C．{－3，－1,2}D．{－3，－1,2,4}

解析：

选C　由题意知，集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}＝{x|x<3}，则A∩B＝{－3，－1,2}，故选C.

3．（2017·重庆适应性测试）设全集U＝R，集合A＝

，B＝{x∈R|0

A．（1,2]B．[1,2）

C．（1,2）D．[1,2]

解析：

选B　依题意得∁UA＝{x|1≤x≤2}，（∁UA）∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2），选B.

4．（2017·武汉调研）已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝（　　）

A．（－∞，－4）∪[－2，＋∞）

B．（2,3]

C．（－∞，3]∪（4，＋∞）

D．[－2,2）

解析：

选A　因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.

5．（2016·浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]　　　　　　　　B．（－2,3]

C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

解析：

选B　∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪（∁RQ）＝{x∈R|－2＜x≤3}＝（－2,3]．

6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是（　　）

A．7B．10

C．25D．52

解析：

选B　因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，

所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．

由x∈A∩B，可知x可取0,1；

由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.

所以元素（x，y）的所有结果如下表所示：

Y

x　

－1

0

1

2

3

0

（0，－1）

（0,0）

（0,1）

（0,2）

（0,3）

1

（1，－1）

（1,0）

（1,1）

（1,2）

（1,3）

所以A*B中的元素共有10个．

7．（2017·吉林一模）设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a<1}B．{a|0≤a<1}

C．{a|a≥1}D．{a|a≤1}

解析：

选B　由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴（图略）．若A∩B中只有一个元素，则0≤a<1，故选B.

8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝（　　）

A．{x|0

C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}

解析：

选B　由log2x<1，得0

所以P＝{x|0

由|x－2|<1，得1

所以Q＝{x|1

由题意，得P－Q＝{x|0

二、填空题

9．（2017·辽宁师大附中调研）若集合A＝{x|（a－1）·x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．

解析：

由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－1＝0，即a＝1时，A＝

，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8（a－1）＝0，解得a＝－

.综上可知，实数a的值为1或－

.

答案：

1或－

10．（2017·湖南岳阳一中调研）已知集合A＝{x|x

解析：

由∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，

且A∪（∁RB）＝R，

可得a≥2.

答案：

[2，＋∞）

11．（2017·贵阳监测）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）

解析：

假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．

答案：

{a2，a3}

12．（2016·北京高考）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：

第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；

②这三天售出的商品最少有________种．

解析：

设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．

由图可知：

①第一天售出但第二天未售出的商品有19－（3－x）－x＝16（种）．

②这三天售出的商品有（16－y）＋y＋x＋（3－x）＋（6＋x）＋（4－x）＋（14－y）＝43－y（种）．

由于

所以0≤y≤14.

所以（43－y）min＝43－14＝29.

答案：

①16　②29

三、解答题

13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2

（1）分别求A∩B，A∪（∁UB）；

（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．

解：

（1）由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2

易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，

所以A∪（∁UB）＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．

（2）由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴（图略），易知2

14．（2017·青岛模拟）若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．

（1）证明M与P不可能相等；

（2）若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．

解：

（1）证明：

若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m＋1，即m＝－1且m＝3，不成立．

故M与P不可能相等．

（2）若PM，当P≠∅时，有

或

解得－1≤m≤2；

当P＝∅时，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥－1；

若MP，则

或

无解．

综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是PM，此时必有m≥－1，

即实数m的取值范围为[－1，＋∞）．

第2课

命题及其关系__充分条件与必要条件

[过双基]

1．命题

概念

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

特点

（1）能判断真假；

（2）陈述句

分类

真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系：

（2）四种命题中真假性的等价关系：

原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

A是B的真子集

集合与

充要条件

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

B是A的真子集

p是q的充要条件

p⇔q

A＝B

p是q的既不充分也不必要条件

P

q且q

p

A，B互不包含

1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：

选D　命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D.

2．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真　　　　　　　　B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

解析：

选B　原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命