高中数学复习专题二 第2讲 函数的应用Word文件下载.docx

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解析　

（1）因为f（）＝ln－4<

0，f

（1）＝ln2－2<

0，f（e－1）＝1－<

0，f

（2）＝ln3－1>

0，故零点在区间（e－1,2）内．

（2）先画出y轴右边的图象，如图所示．

∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标．

令cosπx＝，∵x∈[0，]，

∴πx＝，∴x＝.

令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.

根据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－.

∵f（x－1）≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，

∴≤x－1≤或－≤x－1≤－，

∴≤x≤或≤x≤.

思维升华　函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；

②零点个数的确定；

③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

（1）已知函数f（x）＝（）x－cosx，则f（x）在[0,2π]上的零点个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

（2）已知a是函数f（x）＝2x－logx的零点，若0<

x0<

a，则f（x0）的值满足（　　）

A．f（x0）＝0B．f（x0）>

C．f（x0）<

0D．f（x0）的符号不确定

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）f（x）在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝（）x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝（）x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.

（2）∵f（x）＝2x－logx在（0，＋∞）上是增函数，又a是函数f（x）＝2x－logx的零点，即f（a）＝0，∴当0<

a时，f（x0）<

0.

热点二　函数的零点与参数的范围

例2

　对任意实数a，b定义运算“⊗”：

a⊗b＝设f（x）＝（x2－1）⊗（4＋x），若函数y＝f（x）＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（　　）

A．（－2,1）B．[0,1]

C．[－2,0）D．[－2,1）

思维启迪　先确定函数f（x）的解析式，再利用数形结合思想求k的范围．

答案　D

解析　解不等式：

x2－1－（4＋x）≥1，得：

x≤－2或x≥3，

所以，f（x）＝

函数y＝f（x）＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f（x）的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．

如图，所以－1<

－k≤2，故－2≤k<

1.

思维升华　已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；

也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．

　定义在R上的函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）的单调增区间为（－1,1），若方程3a（f（x））2＋2bf（x）＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________．

答案　a<

－

解析　∵函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）的单调增区间为（－1,1），∴－1和1是f′（x）＝0的根，

∵f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，

∴，∴b＝0，c＝－3a，

∴f（x）＝ax3－3ax，

∵3a（f（x））2＋2bf（x）＋c＝0，

∴3a（f（x））2－3a＝0，∴f2（x）＝1，∴f（x）＝±

1，

∴，即，∴a<

－.

热点三　函数的实际应用问题

例3

　省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）＝|－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．

（1）令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

思维启迪　

（1）分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．

（2）利用换元法把函数f（x）转化成g（t）＝|t－a|＋2a＋，再把函数g（t）写成分段函数后求M（a）．

解　

（1）当x＝0时，t＝0；

当0<

x≤24时，x＋≥2（当x＝1时取等号），

∴t＝＝∈（0，]，

即t的取值范围是[0，]．

（2）当a∈[0，]时，记g（t）＝|t－a|＋2a＋，

则g（t）＝

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，]上单调递增，

且g（0）＝3a＋，g（）＝a＋，

g（0）－g（）＝2（a－）．

故M（a）＝

即M（a）＝

当0≤a≤时，M（a）＝a＋<

2显然成立；

由得<

a≤，

∴当且仅当0≤a≤时，M（a）≤2.

故当0≤a≤时不超标，当<

a≤时超标．

思维升华　

（1）关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．

（2）对函数模型求最值的常用方法：

单调性法、基本不等式法及导数法．

　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？

（注：

年利润＝年销售收入－年总成本）

解　

（1）当0<

x≤10时，

W＝xR（x）－（10＋2.7x）＝8.1x－－10；

当x>

10时，W＝xR（x）－（10＋2.7x）＝98－－2.7x.

∴W＝

（2）①当0<

x≤10时，由W′＝8.1－＝0，

得x＝9，且当x∈（0,9）时，W′>

0；

当x∈（9,10）时，W′<

0，∴当x＝9时，W取得最大值，

且Wmax＝8.1×

9－·

93－10＝38.6.

②当x>

10时，

W＝98－≤98－2＝38，

当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，

故当x＝时，W取最大值38.

综合①②知：

当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．

1．函数与方程

（1）函数f（x）有零点⇔方程f（x）＝0有根⇔函数f（x）的图象与x轴有交点．

（2）函数f（x）的零点存在性定理

如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·

0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使f（c）＝0.

①如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f（x）在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f（a）·

0时，函数f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点，即存在唯一的c∈（a，b），使f（c）＝0.

②如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·

f（b）>

0，那么，函数f（x）在区间（a，b）内不一定没有零点．

2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．

3．应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

真题感悟

1．（2014·

重庆）已知函数f（x）＝且g（x）＝f（x）－mx－m在（－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

A.∪B.∪

C.∪D.∪

答案　A

解析　作出函数f（x）的图象如图所示，其中A（1,1），B（0，－2）．

因为直线y＝mx＋m＝m（x＋1）恒过定点C（－1,0），故当直线y＝m（x＋1）在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m（x＋1）在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点（直线y＝m（x＋1）可与AC重合但不能与x轴重合），此时0<

m≤，g（x）有两个不同的零点．当直线y＝m（x＋1）过点B时，m＝－2；

当直线y＝m（x＋1）与曲线f（x）相切时，联立得mx2＋（2m＋3）x＋m＋2＝0，由Δ＝（2m＋3）2－4m（m＋2）＝0，解得m＝－，可知当y＝m（x＋1）在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点（直线y＝m（x＋1）可与BC重合但不能与切线重合），此时－<

m≤－2，g（x）有两个不同的零点．综上，m的取值范围为（－，－2]∪（0，]，故选A.

2．（2014·

北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟B．3.75分钟

C．4.00分钟D．4.25分钟

答案　B

解析　根据图表，把（t，p）的三组数据（3,0.7），（4,0.8），（5,0.5）分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－（t2－t＋）＋－2＝－（t－）2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．

押题精练

1．已知函数f（x）＝则函数y＝f[f（x）＋1]的零点有________个．

答案　4

解析　当f（x）＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f（x）＋1]＝0时，f（x）＋1＝－1或1.当f（x）＋1＝－1，即f（x）＝－2时，解得x＝－3或x＝；

当f（x）＋1＝1，即f（x）＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f（x）＋1]有四个不同的零点．

2．函数f（x）＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　（－，0）

解析　令f′（x）＝（x＋1）ex＝0，得x＝－1，

则当x∈（－∞，－1）时，f′（x）<

0，

当x∈（－1，＋∞）时，f′（x）>

f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，则极小值

f（－1）<

0，即－e－1－a<

0，∴a>

－，又x→－∞时，f（x）>

0，则a<

∴a∈（－，0）．

3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：

万元）与机器运转时间x（单位：

年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*）．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

答案　5　8

解析　由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－（x＋），而x>

0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．

（推荐时间：

60分钟）

一、选择题

1．函数f（x）＝log2x－的零点所在的区间为（　　）

A．（0，）B．（，1）

C．（1,2）D．（2,3）

答案　C

解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数．

f（）＝log2－＝－1－2＝－3<

f

（1）＝log21－＝0－1<

f

（2）＝log22－＝1－＝>

f（3）＝log23－>

1－＝>

即f

（1）·

f

（2）<

∴函数f（x）＝log2x－的零点在区间（1,2）内．

2．函数f（x）＝＋ln，下列区间中，可能存在零点的是（　　）

A．（1,2）B．（2,3）

C．（3,4）D．（1,2）与（2,3）

解析　f（x）＝＋ln＝－ln（x－1），函数f（x）的定义域为（1，＋∞），且为递减函数，

当1<

x<

2时，ln（x－1）<

0，>

0，所以f（x）>

0，故函数在（1,2）上没有零点；

f

（2）＝－ln1＝1>

0，f（3）＝－ln2＝＝，

因为＝2≈2.828，所以>

e，故lne<

ln，

即1<

ln8，所以2<

ln8，即f（3）<

0，f（4）＝－ln3＝－ln3<

0.故f（x）在（2,3）存在零点．

3．f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

解析　∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，

∴f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.

4．设函数f（x）＝若方程f（x）＝m有三个不同的实根，则实数m的取值范围为（　　）

A．[－，1]B．[－，1]

C．（－，0）D．（－，0]

解析　作出函数y＝f（x）的图象，如图所示．

0时，f（x）＝x2－x＝（x－）2－≥－，所以要使函数f（x）＝m有三个不同的零点，则－<

m<

0，即m的取值范围为（－，0）．

5．（2013·

江西）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点．设弧

的长为x（0<

π），y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）

解析　如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.

因为弧

的长度为x，所以∠FOG＝x，

则AN＝OM＝cos，

所以＝＝cos，

则AE＝cos，

∴EB＝－cos.

∴y＝EB＋BC＋CD＝－cos＋

＝－cos＋2（0<

π）．

6．已知定义在R上的函数f（x）满足：

f（x）＝且f（x＋2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[－5,1]上的所有实根之和为（　　）

A．－5B．－6

C．－7D．－8

解析　由题意知g（x）＝＝＝2＋，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[－5,1]上的图象如图所示：

由图形可知函数f（x），g（x）在区间[－5,1]上的交点为A，B，C，

易知点B的横坐标为－3，若设C的横坐标为t（0<

t<

1），则点A的横坐标为－4－t，所以方程f（x）＝g（x）在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋（－4－t）＋t＝－7.

二、填空题

7．若函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案　（0,1]

解析　当x>

0时，由f（x）＝lnx＝0，得x＝1.

因为函数f（x）有两个不同的零点，

则当x≤0时，

函数f（x）＝2x－a有一个零点，

令f（x）＝0得a＝2x，

因为0<

2x≤20＝1，所以0<

a≤1，

所以实数a的取值范围是0<

a≤1.

8．（2014·

课标全国Ⅰ）设函数f（x）＝

则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是________．

答案　（－∞，8]

解析　当x<

1时，x－1<

0，ex－1<

e0＝1≤2，

∴当x<

1时满足f（x）≤2.

当x≥1时，

≤2，x≤23＝8,1≤x≤8.

综上可知x∈（－∞，8]．

9．已知函数f（x）＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．

答案　m>

1

解析　函数f（x）有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．

∵＝m|x|⇔＝|x|（x＋2），作函数y＝|x|（x＋2）的图象，如图所示，由图象可知m应满足：

0<

<

故m>

10．我们把形如y＝（a>

0，b>

0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.

解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝

在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．

三、解答题

11．设函数f（x）＝ax2＋bx＋b－1（a≠0）．

（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f（x）的零点；

（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝x2－2x－3，

令f（x）＝0，得x＝3或x＝－1.

∴函数f（x）的零点为3和－1.

（2）依题意，f（x）＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．

∴b2－4a（b－1）>

0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>

所以有（－4a）2－4（4a）<

0⇒a2－a<

0，所以0<

a<

因此实数a的取值范围是（0,1）．

12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<

2a<

420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

解　设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则

y＝（2a－x）（b＋0.01bx）－0.4bx＝－[x2－2（a－70）x]＋2ab.

依题意得2a－x≥·

2a，

所以0<

x≤.

又140<

420，即70<

210.

（1）当0<

a－70≤，即70<

a≤140时，x＝a－70，y取到最大值；

（2）当a－70>

，即140<

210时，x＝，y取到最大值．

故当70<

140时，公司应裁员（a－70）人，经济效益取到最大，

当140<

210时，公司应裁员人，

经济效益取到最大．

13．是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？

若存在，求出a的取值范围；

若不存在，说明理由．

解　令f（x）＝0，则Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8＝9（a－）2＋>

即f（x）＝0有两个不相等的实数根，

∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·

f（3）≤0即可．

f（－1）·

f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·

（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0，

∴a≤－或a≥1.

检验：

（1）当f（－1）＝0时，a＝1，所以f（x）＝x2＋x.

令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.

（2）当f（3）＝0时，a＝－，此时f（x）＝x2－x－.

令f（x）＝0，即x2－x－＝0，

解得x＝－或x＝3.

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.

综上所述，a<

－或a>