第4章空中交通系统整数规划Word文档下载推荐.docx
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8
360
设备
3
200
原材料
300
利润元/台
60
80
建模分析步骤为：
1、确定决策变量：
设生产A产品
x1台，B产品x2台
2、确定目标函数：
3、确定约束条件：
=60x1
+80x2
人力约束设备约束
8x1
3x1
+5x2
≤360
≤200
原材料约束
2x1
≤300
非负性整数约束
x1≥
0,x2≥0
且取整数
例4.2人员安排问题
对于一个零售企业的部门经理，需要根据实际情况安排职员的
工作时间。
根据统计和调查，每天需要在班上工作的职员数目分别为：
工作日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
要求人数
12
16
18
每个职员要求5天一次轮班，即连续工作5天，然后连续休息2天；
正常工作日（星期一~星期五）每个员工每天工资60元，星期六、星期日每人每天工资分别为85元和95元。
在满足如上要求的前提下，如何安排每天（星期一~星期日）
开始轮班的人数，才能使企业每周所支出的总工资最少，试建立该问题的数学模型。
设星期一到星期日开始轮班的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，根据分析计算，对应每人每周的工资分别为：
300元/人、325元/人、360
元/人、360元/人、360元/人、360元/人、335元/人。
要求每周支出总工资最小，且满足每天的职员数目要求，即：
Minz
=300x1
+325x2+360（x2
+
x4
x5
+x6）+335x7
⎧x1+
x4+x5+x6+x7
≥20
⎪x+x+
x+x+x
≥13
⎪12567
⎪x1+x2
⎪x+x
+x3+
+x+x+
x6+x7
x
≥10
≥12
⎪12347
⎨x+x+x+x+x
≥16
⎪12345
⎪x2+x3+x4+x5+x6
⎪x+x+x+x+x
≥18
⎪34567
⎩
⎪xj（j=1,,7）为非负整数
例4.3设备购置问题
某个航空公司为了扩大经营规模想购置一批航空维修设备，投
资的资金总额为N元，想购买的设备种类为n种分别为A1,A2,......
An，其中设备Ai单价为Pi（i=1,2,…,n），现有m个不同的分公司B1,B2,......,Bm需要安装这些设备，其中Bj公司最多可需要bj台（j=1,2,…,m）。
预计将一台设备Ai装置于Bj公司可以盈利cij元，则该航空公司应如何购买安装这些设备，使得航空公司获得的整体利润最大。
分别设yi为购买设备Ai的台数，xij为将设备Ai装置于Bj公司的台数，z为预计总利润（元）。
根据题意得数学规划模型为
max
nm
z=∑∑
cijxij
i=1j=1
⎧∑mx
-y≤
i=12n
⎪j=1
⎪n
iji
0，，，，
s.t.⎪∑
xij
≤bj，j
=1，2，，m
⎨i=1
⎪∑piyi≤M
⎪i=1
⎪x≥0，y≥0，x，y均为整数
⎩ijiiji
例4.4机场选址问题
为了实现n个城市间实现航线连接要修建机场，不同城市间的
客流量为bj人/天（j=1,2,…,n），现拟在m个城市中进行选择修建机场，来满足客流量的需求，备选的每个城市最多只能修建一个机场。
若选择i城市修建机场，将来的运输能力为ai人/天，固定费用为di元/天（i=1,2,…,m），已知i城市至j城市运输成本为cij元/人
。
如何选择机场的位置，能使总的运输成本最低？
设
yi=
⎧1，若在i城市修建机场
⎨0，否则
xij表示从城市i到城市j的运量（人次/天），z表示预计总费用（元/天）mnm
minz=∑∑
∑diyi
⎧∑n
i=1j=1i=1
x≤ai=12
根据题意，该问题的数学模型为
m
⎪∑x
ijiyi，，，，m
=bj=12
i=1
ijj，，，，n
⎪x≥0为整数，y
=0或1
⎩⎪iji
⏹松驰问题的可行解是凸集，两个可行解的线性组合还是可行解；
⏹整数规划问题的可行解是松驰问题可行解的一个子集，两个线性组合不一定是可行解。
⏹整数规划的最优解≤其松弛问题的最优解
⏹整数规划的解是可数个的，最优解不一定发生在极点
松驰问题最优解：
x1*=24/5，x2*=0，z*=96
整数问题最优解：
x1*=4，x2*=1，z*=90
4.1.4整数规化的解题方法：
☐割平面法
☐分枝定界法
☐隐枚举法
4.2整数规化的割平面法
☐用割平面法（cuttingplaneapproach）解整数规划时，若其松弛问题的最优解x*不满足整数规划条件，则从x*的非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加入原松弛问题中，形成一个新的线性规划、然后求解之。
☐若新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；
否则，重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
☐每次增加的线性约束条件应当具备两个基本性质：
⏹其一是己获得的不符合整数要求的线性规划最优解不满
足该线性约束条件，从而不可能在以后的解中再出现；
⏹其二是凡整数可行解均满足该线性约束条件，因而整数最优解始终被保留在每次形成的线性规划可行域中。
☐考虑纯整数规划问题：
=c1x1
+c2x2
++
cnxn
s.t.
⎧a11x1
⎪a21x1
⎨
+a12x2
+a22x2
a1nxna2nxn
≤b1
≤b2
⁝
ax
⎪m11
am2x2
amnxn
≤bm
⎩⎪x1,
x2,,xn
≥0且为整数
•设aij和bi均为整数
☐纯整数规划的松弛问题是一个线性规划问题
☐记Q为m个基变量的下标集合，K为n-m个非基变量的
下标集合，则m个约束方程可表示为:
xi+
∑aijxjj∈K
=bi
i∈Q,
j∈K
对应的最优解为:
X*
=[x*,x
*,...,x
*]T
j
其中:
x*
12
n
⎧⎪bj
=⎨⎪0
j∈Qj∈K
•若各b皆j
为整数．是纯整数规划的最优解；
•若各bj（
j∈Q）不全为整数，不是纯整数规划的可
行解，自然也不是原整数规划的最优解。
若bi0（i∈Q）不是整数,其约束方程为:
i
x0+∑
j∈K
ai0
jxj
=bi0
i0∈Q
（1）
为整数,bi0不是整数,ai0,j不一定是整数
分解bi0和ai0,j为两部分,一部分为最大的整数,
一部分为余下的小数.
ai,j=N+f,N≤ai,j且为整数,0≤f
<
1
（2）
0i0,ji0,ji0,j0i0,j
bi=N
f,N
00
bi
且为整数,0<
f
1（3）
Ni,jxj+∑
fi,jxj
=N+f
j∈Kj∈K
x0+∑Ni,jxj-N=f0-∑
（4）
xj≥0⇒∑
≥0⇒-∑
fi,jxj
≤0⇒
f0-∑
fi,jxj≤
f<
1
j∈Kj∈Kj∈K
而（4）式左边是整数,右边<
1,所以有f
-∑
≤0,即
∑（-fi0,j）xjj∈K
≤-f
（5）
•（5）式为整数规化的割平面法所要增加的约束
•（5）式
∑（-
fi,j）xj
的性质：
a）
将现有的有非整解的X*代入，有
矛盾，则X*不满足（5）式
0≤-f
和（3）式
bi0=Ni+fi,Ni<
bi0且为整数,0<
fi<
1（3）
0000
b）
整数规划模型的整数解一定满足（5）式（前提x
☐（5）式的实际意义：
是整数）
记R为原松弛问题可行域，R’为新约线性规划可行域。
从几何
意义上看，（5．10）实际上对R做了一次“切割”，在留下的R’中，保留了整数规划的所有整数可行解，但不符合整数要求的X*被“切割’掉了。
随着”切割”过程的不断继续，整数
规划
最优解最终有机会成为某个线性规划可行域的顶点，作为该线性规划的最优解而被解得。
例：
用割平面法求解纯整数规划：
=3x-x
=3x1-x2
⎧3x-2x≤3
⎧3x1-2x2
+x3=3
12⎪
5x+4x-x
=10
⎪5x1+4x2
s.t.⎪124
s.t.⎨
⎨2x+x+x=5
⎪2x1+x2≤5
⎪125
⎪⎩x1,x2≥0且为整数
⎪⎩x1,x2≥0且为整数
加入松驰变量化为标准形并用单纯形法解得松驰最优解：
Cj
-1
CB
XB
b
x1
x2
x3
13/7
1
1/7
2/7
9/7
-2/7
3/7
31/7
-3/7
22/7
σ
-5/7
由约束的第一行产生割平面约束：
-1x-2x≤-6,引入松驰变量x得:
737576
-1x-2x+x=-6,代入单纯形表,用对偶单纯形法解得:
737567
x6
-6/7
-1/7
5/4
-1/4
-5/4
5/2
-1/2
-11/2
7/4
1/4
-3/4
-17/4
4.2.2割平面法举例：
第四行割平面约束:
-1x-1x≤-3,引入松驰变量x得:
444647
-1x-1x+x=-3,代入单纯形表,用对偶单纯形法解得:
444674
x7
-5
-2
-4
4.2.3
切割平面的几何意义：
由原约束：
maxz=3x1-x2
+x3=3得：
⎪5x+4x-x=10
⎧x=3-3x+2x
⎨312
⎪⎩x1,x2≥0
⎩x5
=5-2x1-x2
代入：
-1
7
x-2x
375
≤-6
得：
x1≤1
而：
-1x-2x+x=-6
⎧x4
=5x1+4x2
-10
113
⎪代入：
-x-
x≤-
x+x≥3
⎨x=1x-12x-x
4446412
⎩⎪673712
4.3整数规划的分枝定界法
4.3.1思路与解题步骤
o只解松弛问题
1、在全部可行域上解松弛问题
⏹若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最优解
2、分枝过程
⏹若松弛问题最优解中某个xk=bk不是整数，令⎣bk⎦为bk的整数部分
⏹构造两个新的约束条件xk≤⎣bk⎦和xk≥⎣bk⎦+1，分别加于
原松弛问题，形成两个新的整数规划
3、求解分枝的松弛问题—定界过程
⏹设两个分枝的松弛问题分别为问题1和问题2，它们的最优解有如下情况
表4.3.1分枝问题解可能出现的情况
序号
问题1
问题2
说明
无可行解
整数规划无可行解
整数解
此整数解即最优解
非整数解
对问题2继续分枝
较优的一个为最优解
整数解，目标函
数优于问题2
问题1的解即最优解
6
非整数解，目标
函数优于问题1
问题1停止分枝（剪枝），其整数解为界，
o情况2,4,5找到最优解
o情况3在缩减的域上继续分枝定界法
o情况6问题1的整数解作为界被保留，用于以后与问题2
的后续分枝所得到的解进行比较，结论如情况4或5
4.3.2分枝定界法举例
x2B（2,9/4）
7OBJ:
21
A（2.5,2）
OBJ:
23
例4.2.1
f（x）
=6x1
+4x25
C（3,1）
⎧2x1
+4x2≤133
22
⎨2x1
+x2≤72
⎪x1,x2≥0
1234567x1
松弛问题的最优解为x1=2.5,x2=2,OBJ=23
由x1=2.5得到两个分枝如下：
问题I
+x2≤7
问题II
⎪x1≤2⎪x1≥3
⎪⎩x1,x2≥0
⎪⎩x1,x2≥0
表4.3.3分枝问题的松弛解
问题I
问题II
9/4
f（x）
21
22
问题II的解即原整数问题的最优解
☐可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同时继续分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程
☐当有很多变量有整数约束时，分枝即广又深，在最坏情况下相当于组合所有可能的整数解
☐一般整数规划问题属于一类未解决的难题，NP-complete，只有少数特殊问题有好的算法，如任务分配问题、匹配问题
4.3.2分枝定界法举例
maxZ=40X1+90X2
9X1+7X2≤56
7X1+20X2≤70X1,X2≥0
X1,X2为整数
先解
（1）的松弛问题
X*=
4.809
1.817
Z*=355.890，上界Z*
选X1分枝
问题
（2）
X1≤4
问题（3）
X1≥5
解为X1=4
X2=2.1
Z=349.0解为X1=5
X2=1.571
Z=341.39
先选
（2）继续分枝
问题（4）
（2）
X2≤2
问题（5）
X2≥3
S0=0
355.890
X1≤4
X1≥5
（3）
1.571
341.39
2.1
349.0
X2≤2X2≥3
X2≤12
X2≥
340
1.428
327.12
（6）
5.444
307.76
（7）
无解
分枝定界法一般步骤：
（1）、（A）,先解（A）的松弛问题（B）
（2）、①（B）无可行解→（A）无可行解。
②（B）最优解符合（A）要求，停。
③（B）最优解不符合（A）要求，转（3）。
（3）、估整数解S0，作下界
（4）、选（B）解中不符合整数条件的分量Xj（Xj=bj）分枝，作（B）的后续问题（C）、（D）。
（C）：
（B）加约束Xj≤[bj]（D）：
（B）加约束Xj≥[bj]+1
（5）、解（C）、（D）
剪枝条件：
①（C），[（D）]无可行解
②（C），[（D）]对应的目标值S≤S0
③（C），[（D）]对应的目标值Sc>
S0
且解为整数解，令Sc⇒S0
且解为非整数解，令（C），[（D）]取代（B）返回（4）
（6）、全部枝剪完，停
优点：
（1）、任何模型均可用；
（2）、思路简单、灵活；
（3）、速度快；
（4）、适合上机。
（1）、分枝变量选择原则：
①按目标函数系数：
选系数绝对值最大者变量先分。
对目标值升降影响最大。
②选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。
③按使用者经验，对各整数变量排定重要性的优先顺序。
（2）、分枝节点选择：
①深探法（后进先出法）：
最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。
整数解质量可能不高。
②广探法：
选目标函数当前最大值节点，找到的整数解质量高。
慢。
4.40-1规划
4.4.10-1规划举例
0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量xi仅取值0或1，这时xi称为0-1变量，或称二进制变量。
可以引入0-1变量的实际问题很多，如相互排斥的计划，相互排斥的约束条件等等。
【例4.4.1】
（厂址的选定）某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7个位置（点），Ai（i=1，2，…，7）可供选择。
规定：
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个；
在西区，由A4，A5两个点中至少选一个；
在南区，由A6，A7两个点中至少选一个；
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为Ci元，但投资总额不能超过B元。
问应选择哪
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