概率论与数理统计期末应用题专项训练Word文档下载推荐.docx
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0.8944
0.90230
0.91149
0.91924
值表：
6.
两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和丫，假设X与丫相互独立，都服从参数为T的指数分布.X的密度函数为
7.
现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止.令：
T:
从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密度函数.一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第
二次取红色球的概率为：
。
（2）若有放
回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：
。
（3）若第一次取一只球观查
球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：
&
甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现有一批样本，其中甲厂生产的产品占60%乙厂生产的产品占40%从中任意抽取一件：
（1）抽到次品的概率为：
;
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生
产的概率为：
.
9.某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4
元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5,且每张彩票卖2元。
如果你是顾客，你对于是否购买此彩票的明智选择
为：
—（买，不买或无所谓）。
10.甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1,0.3•现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%80%
5%勺一批产品中随机抽取一件，发现是次品，
求该次品为甲厂生产的概率.
11.某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每
年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。
用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。
已知（1^0.8413，0
（2）=0.9772。
12.某地区参加。
外语统考的学生成绩近似服从正
态分布N（uL）U—未知，该校校长声称学生平
均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平:
=0.05下，检验该校长的断言是否正确。
（此题中皿25（15）=21315）
13.某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽
取100件，经检验发现有84件为一级品，试以5%勺显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。
（已
知Z0.05=1.645，提示用中心极限定理）
14.设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：
（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；
（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。
15.规定某种药液每瓶容量的为，毫升，实际灌装
时其量总有一定的波动。
假定灌装量的方差
2=1,每箱装36瓶，试求一箱中各瓶的平均灌装量与规定值“相差不超过0.3毫升的概率？
（结果请用标准正态分布函数表示）
16.某人下午5:
00下班，他所积累的资料表明:
到家时间
5:
35〜5:
39
40〜5:
44
45〜5:
49
50~5:
54
迟于
54
乘地铁到
家的概率
0.1
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
0.3
0.35
0.2
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结
果他是5:
47到家的，求他此日坐地铁回家的概率。
17.某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重
100kg，设每箱质量服从正态分布，一1.15，某
日开工后，随机抽取10箱，称得质量（kg）为
99.3,98.9,101.0,99.6,98.7,102.2,100.8,99.8,100.9,101.5
现取显著水平一-0.05，试检验下面假设
=100，出2"
00是否成立.
（附:
Zo.05=1.645,Z0.025=1.96,t0.05（9）=1.8331,t0.025（9H2.2622,
to.o5（10）=1.8125,to.025（10）=2.2281）
参考答案
1.解:
按题意日产量X~N（u,；
「2）,uF未知,现取
1'
用t检验,现有n=5,0.05,応5（4）=2.7764,拒绝域
2'
t值不在拒绝域内，故接受H。
，认为日产量没有显著变化.1
2.解：
按题意温度计读数X~N（u,：
2）,uL未知，现取.：
.=0.05检验假设：
用2检验,现有n=5,：
二0.05,ta.025（4）二2.7764,拒绝域为：
护=（n-呼>
右。
5（15）=24.996
0.52
在拒绝域内,故拒绝H。
，认为温度计读数的标准
差为显著超过0.5.1
3.设・“钥匙被找到
“钥匙掉在宿舍里”宀“钥匙掉在教室里”，A3=“钥匙掉在路上”.
由Bayes公式，得
,P（Ap（B|A）
PA3B二飞3—
迟p（APBA）
i1
二0.2083
0.257.45
0.40.50.350.650.250.45
4.设该加油站每次的储油量为a.则由题意，a应
满足03:
100，而且
PXa<
0.02.
100100一
。
乙1100厂
1PXa=fxdx=fxdx^ifxdx=
aa100a20
所以，得1一旦乞50.02，即1-50.02空旦，
7100丁100?
因此有a兰100汇（1-V0?
02）=54.26949481.因此可取a=55（千
升），即可使一周内断油的概率控制在5%以下.
5.设Xk表示该射手射击的第k发时所得的环数
k=1,2,,100，则Xk的分布律为
Xk
10
9
8
7
6
P
0.5
0.3
0.1
0.05
EXk=100.590.380.170.0560.05=9.15
Exk2i；
=1020.5920.3820.1720.05620.05=84.95,所以，DXk二EX：
-〔EXk2=84.95—9.152=1.2275.
因此，XnX2,,X100是独立同分布的随机变
量，故
100
'
Xk-1009.15
900-1009.15
<
1001.2275
..心k..930-1009.15
-.1001.2275一<
1001.2275
-1.35388乞心-1.35388
/00域1.2275
:
」1.35〕応〔1.35=2：
」1.35一1=20.91149—1=0.82289.
6.X的密度函数为fX（x）J
■be-be
fTtVIfXxfYt-xdx=5e^xfYt-xdx
作变换U=t-X，则du=-dx,
当x=0时，u=t；
当x>
•：
：
时，u>
-：
.代入上式,得
t
m一J5e*严）Fy（ud^=5e_5tJe5ufy（udu
It
当t-0时，由fYy]:
=0，知fT0；
当t0时，
fTt=5eJte5u5e®
du=25te§
综上所述，可知随机变量T的密度函数为
（t）=*
广_5t
25tet>
0t兰0•
7.1/3，9/25，21/55
8.0.12，0.5
9.买
10•解：
设Ai,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂,
有：
p（AJ=15%,P（A2）=80%,P（A3）=5%2
B表示取到次品，p（BAJ=0.2,P（BA2）=0.1,P（BA3）=0.3，2'
3
由贝叶斯公式：
p（A1B）=p（Aj卩（BAJ/（Ep（Aj，P（BAQ=0.244
11.解：
设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数，则XsB（10000,0.0064）
该保险公司的利润函数为：
L=120000-1000X。
2‘
所以P{L_48000}=P{120000-1000X_48000}=P{X_72}
=P{JX-64<
丑坐}用中心极限定理
P10000汉0.0064汇0.99367.996
三
（1）=0.84133‘
答：
该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。
8413.
12•解：
按题意学生成绩X~N（u,；
「2）,u,；
「2未知,现取:
=0.05检验假设：
H0:
u二u0=70,H1:
u=u0=702'
用t检验，现有n=16,a=0.05,t°
.025（15）=2.1315,拒绝域为：
又一70
」t=—>
2.1315,2'
、s/J16
由：
又=68,s=3,t=x—7°
_2.67,1'
s/J6
t值在拒绝域内，故拒绝H。
，认为该校长的断言不正确.1'
13.解总体x服从p为参数的0-1分布，
H°
:
p—p°
=0.9,比：
p：
p°
=0.9
X—X100为总体X的样本，在H0成立条件下，选择统计量
经计算该体z「2—0.05，即得Z在拒绝域内,故拒绝H0，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求
14.解：
设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D表示目标被击毁，Hi表示有i门炮同时击中目标（-1,2,3），由题设知事件A,B,C相互独立，故
P（A）=0.2,P（B）=0.3,P（C）=0.5；
P（D|HJ=0.2,P（D|H2）=0.6,P（D|H3）=0.9
P（Hi）=P（ABCABCABC）
二P（ABC）P（ABC）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
=0.47
P（H2）=0.22,P（H3）=0.03
（1）由全概率公式，得
P（D）八P（Hi）P（D|Hi）
y
=0.470.20.220.60.030.9二0.253
（2）由贝叶斯公式，得
P（ABC|D^P（AbCD^P（Abc）P（DIAbC）
P（D）P（D）
』20.70.50.2“0554
0.253
15.解：
记一箱中36瓶药液的灌装量为
X1,X2,,X36，它们是来自均值为」，方差二2=1的总体的样本。
本题要求的是事件
的概率。
根据定理的结果,
Pfx—片兰0.3>
=卩匸0.3兰X—4兰0.3>
=P」
（6分）
（1.8）-1
（4分）
16.已知5:
47到家的前提下，求乘地铁回家的概率，因此应用条件概率公式即
P（A/B）=P（AB）/P（B）求解。
设事件A为5:
47到家，事件B为乘地铁回家，则所求概率可表示为P（B/A）
由于P（B/A）*P（A）=P（AB）=P（A/B）*P（B），所以
P（B/A）=P（A/B）*P（B）/P（A）
带入数据得
0.45*0.5/[0.5*（0.45+0.2）]=9/13；
17.解:
检验假设H°
»
=100，Hi：
HOO
检验统计量Z二°
%~N0,1
Z/n
（3分）
显著性水平、^0.05，查表可得z厂1.96
~2
拒绝域为zz厂1.96
经计算得样本均值是X=100.27
检验统计量的值为z=X；
0=1.724
（2分）
所以，在显著性水平：
=0.05下，接受原假设，
表明这天包装机正常工作。
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